Производная фун f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х0;f(x0)).
Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М0 (при Dх®0), то секущая приближ-ся к касат.
y|(x0)=limDх®0(f(x0+Dx)-f(x0))/ /Dx=limDх®0Dy/Dx=limDх®0tga==lima®a0tga=tga0.
L: y-f(x0)=f\(x0)(x-x0)
Nl=y-f(x0)=-(x-x0)/f\(x0).
3. Основ теоремы о производных.
1. y=U(x)+V(x), y|=U|(x)+ V|(x). Док-во: для х+Dх имеем: y+Dy=(u+Du)+(v+Dv). Следовательно, Dy=Du+Dv, Dy/Dx=Du/Dx+Dv/Dx, y|=limDx®0Dy/Dx = limDx®0Du/Dx+ limDx®0Dv/Dx=U|(x)+V/(x).
2. y=uv, y|=u|v+uv|. Док-во: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,
y|= limDx®0Dy/Dx= limDx®0Duv/Dx + limDx®0Dvu/Dx + limDx®0DuDv/Dx={ limDx®0Du=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u|v+uv|.
3. y=u/v, y|=(u|v-uv|)/v2. Док-во: y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv)
Dy/Dx...
4. y=ax, y|=axln a. Док-во: ln y=x ln a, y|/y=ln a, y|=yln a y|=axln a.
Неявно задан фун и нахождение ее производ.
Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество(º)· {F(x;y)=0,$у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) º0}
Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)]/=0/}
Формула Лейбница.
y(n)=(uv)(n)=(u)(n)v+nu(n-1)v|+([n(n-1)]/[1*2])*n(n-2)v||+…+uv(n)
Дифференцирование ф-ии в точке.
Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х0, если Dy=ADx+O(Dx), где А не зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. limDx®0O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.
Теорема:y=f(x) дифф-ма в т-ке Х0 т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f\(x0).
Необход усл-ие дифф-ти:если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)
f\(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDx®0[(ADx+O(Dx))/Dx] = limDx®0(A+O(Dx)/Dx)=A => Dy=f\(x0)Dx+O(Dx) => limDx®0Dy=0 => f(x) – непрерывна.
Достат усл-ие дифф-ти:если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: $f\(x0) – число, f\(x0)=limDx®0Dy/Dx => Dy/Dx=f\(x0)+a(Dx) {a(Dч) – б.м.}, Dy=f\(x0)Dx+a(Dx)Dx => Dy=f\(x0)Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => limDx®0O(Dx)/Dx=limDx®0a(Dx)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит DХ.
Приближ знач ф-ии в некот т-ке: Dy=f(x0+Dx)-f(x0) =>f(x0+Dx)=f(x0)+Dy»f(x0)+df(x0)=f(x0)+f\(x0)dx, dx=Dx.