Представление чисел в виде суммы двух квадратов и ... (стр. 2 из 3)

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые сомножители вида 4k+3 входят в разложение этого числа на простые сомножители с четными показателями.

Единственность представления простого числа в виде суммы двух квадратов По теореме Ферма-Эйлера любое простое число р, которое при делении на 4 дает остаток 1, представимо в виде суммы двух квадратов. Осталось доказать, что такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых. Теорема: Никакое простое число не может быть представлено в виде суммы квадратов двух целых чисел существенно разными (т. е. не получающимися один из другого перестановкой слагаемых) способами.

Доказательство. Если бы простое число p имело два существенно разных представления, p = a² + b² = c² + d², то разложения p = (a + bi)(a - bi) = (c + di)(c - di) представляют собой противоречие . Можно обойтись в доказательстве теоремы 9 и без комплексных чисел. Предположим, что простое число p двумя существенно разными (т. е. отличающимися не только порядком слагаемых) способами разложено в сумму квадратов натуральных чисел:

p = a² + b² = c² + d².

Тогда

и Следовательно, a²c² = (-b²)(-d²)(mod p), т. е. число a²c² - b²d² кратно p. (Если рассуждения со сравнениями по модулю p непривычны и потому подозрительны, можно получить то же самое, рассматривая тождество a²c² - b²d² = a²(c² + d²) - (a² + b²)d²).)

Поскольку число p простое, из делимости произведения (ac + bd)(ac - bd) на p следует, что один из множителей кратен p. Если число ac + bd кратно p, то воспользуемся формулой (1):

p² = (ac + bd)² + (ad - bc)².

Если

то противоречие очевидно, ибо первое слагаемое (ac + bd)² кратно p² и потому не меньше p². Если же ad - bc = 0, то ad = bc. Поскольку как числа a и b, так и числа c и d взаимно просты, имеем a = c и d = b.

Случай, когда ac - bd кратно p, можно рассмотреть аналогично, воспользовавшись формулой p² = (ac - bd)² + (ad + bc)².

Итак, простое число нельзя двумя существенно разными способами представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Число, единственным образом представимое в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, не всегда является простым: 10 = 1² + 3², 25 = 3² + 4². Легко сформулировать условия, при которых число имеет единственное представление в виде суммы двух квадратов. Однако боле целесообразной представляется следующая задача, описанная далее.

КОЛИЧЕСТВО представЛЕНИЙ ЧИСЛА в виде суммы двух квадратов

В III веке нашей эры греческий математик Диофант не только знал, что число 65 представимо двумя способами, но и объяснял это тем, что 65 является произведением чисел 13 и 5, каждое из которых — сумма двух квадратов. Комплексных чисел Диофант не знал, иначе он непременно выписал бы разложения 5 = (2 + i)(2 - i), 13 = (3 + 2i)(3 - 2i и продолжил бы свои объяснения следующим образом:

65 = (2 + i)(3 + 2i) ^. (2 - i)(3 - 2i) = (4 + 7i) ^. (4 - 7i) =
= 4² + 7² = (2 + i)(3 - 2i) ^. (2 - i)(3 + 2i)=
= (8 - i) ^.(8 + i) = 8² + 1².

По-разному группируя множители, получаем два разных разложения!

Следующий пример — число 25. 25 — наименьшее число, двумя способами представимое в виде суммы квадратов двух целых чисел. Оба эти разложения легко получить, по- разному группируя множители:

25 = (2 + i)^2.(2 - i)² = (3 + 4i) ^. (3 - 4i) =
= 3² + 4² = (2 + i)(2 - i) ^. (2 + i)(2 - i) =
= 5 ^. 5 = 5² + 0².

Последнийпример — число 5746. Как мы хорошо знаем, всякому представлению 5746 = a² + b² соответствует разложение 5746 = (a + bi)(a - bi) на сопряженные множители. Поэтому разложим рассматриваемое число сначала на простые натуральные, а затем и на простые гауссовы множители:

5746 = 2 ^. 13^2. 17 = (1 + i)(1 - i)(3 + 2i)²(3 - 2i)²(4 + i)(4 - i).

Теперь мы должны из нескольких этих множителей составить a + bi, да так, чтобы произведение остальных множителей равнялось a - bi. Этонетрудносделать:

a + bi = (1 + i)(3 + 2i)²(4 + i) = -45 + 61i,

a - bi = (1 - i)(3 - 2i)²(4 - i) = -45 - 61i.

При этом, разумеется, 45² + 61² = 2025 + 3721 = 5746. Легко найти и еще два варианта:

a + bi = (1 + i)(3 + 2i)(3 - 2i)(4 + i) = 39 + 65i

или

a + bi = (1 + i)(3 - 2i)²(4 + i) = 75 - 11i.

Они приводят к представлениям 39² + 65² = 1521 + 4225 = 5746 и 75² + 11² = 5625 + 121 = 5746. Никаких других представлений нет

Аналогично можно найти число представлений в виде суммы двух квадратов любого натурального числа

где p₁, ..., p_r — попарно различные простые числа, каждое из которых дает остаток 1 при делении на 4, Q — число, не имеющее простых делителей кроме тех, которые дают остаток 3 при делении на 4. А именно, если Q не является точным квадратом, то n не представимо в виде суммы двух квадратов; если же Q — точный квадрат, то, применив необходимое число раз теорему 2, получаем: количество представлений числа n в виде суммы двух квадратов равно количеству представлений числа в виде суммы двух квадратов. Формулу для этого количества нашел немец Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859).

Итак, количество представлений числа m в виде суммы квадратов двух целых чисел равно [((a₁ + 1)^. ... ^.(a_r + 1) + 1)/2]. (Если число сомножителей равно О, то произведение считается равным 1. Представления, отличающиеся порядком слагаемых, не различаются.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА В ВИДЕ

Теорема: положительное нечетное число представимо в виде

тогда и только тогда, когда каноническое разложение данного числа не содержит простых чисел р вида 8n+5 и 8n+7. Данная теорема представима в виде уравнения:

=N, где N-положит. нечетное число. (1)

Число таких представлений равно 2v, где v-число решений сравнения

(2)

Доказательство. Если нечетное N не имеет простых делителей вида 8n+5 и 8n+7, то сравнение (2) имеет решения, т.е. v<>0 (не равно нулю). Тогда получаем, что число форм {N, B, C} с дискриминантом D=-8, таких, что 0

B<2N, равно v.

Далее докажем, что все формы с дискриминантом D=-8 эквивалентны форме {0, 1, 2}.

Действительно если у приведенной положительно определенной формы {a,b,c} дискриминант D=

=-8, то, поскольку , имеем , т.е. ac=2, a=1, c=2, b=0.

Таким образом, при D=-8, так же как при D=-4 и при D=-3 имеется один класс положительно определенных форм. Для каждой из v форм вида {a,b,c} существуют два унимодулярных линейных преобразования, переводящих {a,b,c} в {N, B, C}, и тогда получаем, что уравнение (1) имеет 2v решений с взаимно простыми значениями x, y. Число решений сравнения (2) определяется теоремой. Согласно этой теореме, если N=

где все —простые числа вида 8+1 и 8n+3, то v= и число представлений N в виде (1) равно . В частности, отсюда вытекает, что любое простое число р вида 8n+1 или 8n+3 единственным образом может быть представлено в виде суммы квадрата и удвоенного квадрата натуральных чисел.

Примечание. При четном N=2

могут быть два случая:

1) Если

нечетное, то, заменяя в уравнении (1) x через 2 и сокращая на 2, мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в вышеуказанной теореме.

2) Если

четно, т. е. 4 ,то из равенства (1) следует 2&bsol;х, 2&bsol;у, т. е. не существует решений уравнения (1) с взаимно простыми x и y.

Число решений уравнений (1) и

, рассмотренного в первой части реферата, было легко определить благодаря тому, что для дискриминантов D=-4 и D=-8 существует всего только по одному классу квадратичных форм. Легко видеть, что если {a,b,c} —положительно определенная форма с взаимно простыми a,b,c и если существует только один класс примитивных форм с дискриминантом D= , то можно определить число собственных решений уравнения:

=N. Известно, что для следующих значений -D 100:

-D=3, 4, 7, 8, 11, 12, 16, 19, 27, 28, 43, 67

существует только по одному классу таких квадратичных форм.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На Рождество 1640 года в письме от 25 декабря Пьер Ферма извещал знаменитого Мерсенна, друга Декарта и главного посредника в переписке ученых того времени, о том, что "всякое простое число, которое при делении на четыре дает единицу, единственным способом представимо как сумма двух квадратов".