Преобразование Фурье (стр. 2 из 2)
Эту теорему мы приводим без доказательства, но ниже докажем теорему единственности при более сильных ограничениях.
§2. Формальный поиск решения.
Применим преобразование Фурье
(3)Выкладки этого пункта будем проделывать, не заботясь об обосновании. Дифференцируя (3) по t, устанавливаем:
Кроме того, по свойству 3) преобразования Фурье
Учитывая (1), имеем
(4)Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение с параметром y, находим
Где g(y) – произвольная функция. Используя (2), определяем g(y):
§3. Решение задачи Коши с начальной функцией из класса Шварца.
Теорема 2. Если jÎS(R), то формула
(5)дает решение задачи (1), (2), бесконечно дифференцируемое при t³0.
Доказательство. Так как
, то 
при любом t³0 и обратное преобразование Фурье в формуле (5) определено. Дифференцируя (5) по t, имеем 
(6)так как
, то интеграл (6) сходится равномерно при t³0, и дифференцирование законно. Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u(x,t) по t и x.Дифференцируя (5) дважды по x, устанавливаем:
(7)Из формул (6),(7) вытекает, что функция u(x,t) удовлетворяет уравнению (1). Справедливость условия (2) очевидна. Теорема доказана.
§4. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.
Преобразуем формулу (5) к более удобному ”явному” виду. Для этого запишем ее в интегралах
меняем порядок интегрирования
(8)В формуле (8) внутренний интеграл есть преобразование Фурье от функции
при значении аргумента –(x-z), поэтому из (9.2) имеем 
Подставляя это в (8), получим
(9)Функцию
называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Легко проверяются следующие свойства этой функции:
§5. Решение задачи с непрерывной ограниченной начальной функцией.
Теорема 3. Пусть j(z) ограничена и непрерывна на вещественной оси. Тогда формула (9) дает решение задачи (1),(2).
Доказательство. Продифференцируем (9) под знаком интеграла
(10)Чтобы обосновать законность такого дифференцирования, достаточно показать равномерную сходимость по x интеграла (10), для чего произведем замену
Из ограниченности функции j следует равномерная сходимость интеграла как по xÎR, так и по t>e.
Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u(x, t) по x и t при t>0. Из свойства 3) фундаментального решения следует, что u есть решение уравнения (1).
Для доказательства (2) снова сделаем замену переменной интегрирования в (9):
Так как последний интеграл сходится равномерно по x и t, то возможен предельный переход под знаком интеграла
Теорема доказана.
§6. Единственность решения в классе ограниченных функций.
Теорема 4. Пусть ограниченная функция u(x, t) является решением задачи (1), (2) с начальной функцией jº0. Тогда u(x, t)º0.
Доказательство. Рассмотрим функцию
u(x, t)=e(x2+3a2t)+du(x, t),
где e>0, d - любого знака. Легко проверить, что
(11)Так как функция u ограничена, то функция v(x, y) в области t>0 достигает минимума в некоторой точке (x0, t0). Покажем, что v(x0, t0)³0. Пусть, напротив v(x0, t0)<0. Тогда, очевидно, t0>0, так как v(x, 0)º0. Как необходимые условия минимума имеем соотношения
которые противоречат (11).
Итак, v(x, t)³0 при всех x и t³0. При фиксированных x и t,переходя к пределу при e®0 в неравенстве
e(x2+3a2t)+du(x, t)³0,
получаем du(x, y)³0. Ввиду произвольности знака d отсюда следует u=0.Теорема доказана