Преобразования плоскости, движение (стр. 2 из 5)
Äâå ôèãóðû íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îäíó èç íèõ ìîæíî ïåðåâåñòè â äðóãóþ íåêîòîðûì äâèæåíèåì.
Âèäû äâèæåíèé
Íà ïëîñêîñòè ñóùåñòâóþò ÷åòûðå òèïà äâèæåíèé:
1. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.
2. Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ
3. Ïîâîðîò âîêðóã òî÷êè
4. Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ
Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå êàæäûé âèä.
Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ
Ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íàçûâàåòñÿ òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè ïëîñêîñòè ïåðåìåùàþòñÿ â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè íà îäèíàêîâîå ðàññòîÿíèå.
Ïîäðîáíåå: ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïðîèçâîëüíûì òî÷êàì ïëîñêîñòè X è Y ñòàâèò â ñîîòâåòñâèå òàêèå òî÷êè X' è Y', ÷òî XX'=YY' èëè åùå ìîæíî ñêàçàòü òàê: ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ýòî îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè ïëîñêîñòè ïåðåìåùàþòñÿ íà îäèí è òîò æå âåêòîð - âåêòîð ïåðåíîñà. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ çàäàåòñÿ âåêòîðîì ïåðåíîñà: çíàÿ ýòîò âåêòîð âñåãäà ìîæíî ñêàçàòü, â êàêóþ òî÷êó ïåðåéäåò ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè. 
Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, ñîõðàíÿþùèì íàïðàâëåíèÿ. Äåéñâòèòåëüíî, ïóñòü ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå òî÷êè X è Y ïåðåøëè â òî÷êè X' è Y' ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî XX'=YY'. Íî èç ýòîãî ðàâåíñòâà ïî ïðèçíàêó ðàâíûõ âåêòîðîâ ñëåäóò, ÷òî XY=X'Y', îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî âî-ïåðâûõ XY=X'Y', òî åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, è âî âòîðûõ, ÷òî XY X'Y', òî åñòü ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ñîõðàíÿþòñÿ íàïðàâëåíèÿ.Ýòî ñâîéñòâî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà - åãî õàðàêòåðíîå ñâîéñòâî, òî åñòü ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: äâèæåíèå, ñîõðàíÿþùåå íàïðàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì.
Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ
Òî÷êè X è X' íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a, è êàæäàÿ èç íèõ ñèììåòðè÷íîé äðóãîé, åñëè a ÿâëÿåòñÿ ñåðèäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì îòðåçêà XX'. Êàæäàÿ òî÷êà ïðÿìîé a ñ÷èòàåòñÿ ñèììåòðè÷íà ñàìîé ñåáå (îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a). Åñëè äàíà ïðÿìàÿ a, òî êàæäîé òî÷êå X ñîîòâåòñâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà X', ñèììåòðè÷íàÿ X îòíîñèòåëüíî a.
Ñèììåòðèåé ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì êàæäîé òî÷êå ýòîé ïëîñêîñòè ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå òî÷êà, ñèììåòðè÷åíàÿ åé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a.
Äîêàæåì, ÷òî îñåâàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì óñïóëüçóÿ ìåòîä êîîðäèíàò: ïðèìåì ïðÿìóþ a çà îñü x äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò. Òîãäà ïðè ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî íåå òî÷êà, èìåþùàÿ êîîðäèíàòû (x;y) áóäåò ïðåîáðàçîâàíà â òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (x, -y).
Âîçüìåì ëþáûå äâå òî÷êè A(x1, y1) è B(x2, y2) è ðàññìîòðèì ñèììåòðè÷íûå èì îòíîñèòåëüíî îñè x òî÷êè A'(x1,- y1) è B'(x2, -y2). Âû÷èñëÿÿ ðàñòîÿíèÿ A'B' è AB, ïîëó÷èì
Òàêèì îáðàçîì îñåâàÿ ñèììåòðèÿ ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèå, ñëåäîâòåëüíî îíà ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
Ïîâîðîò
Ïîâîðîò ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî öåòðà O íà äàííûé óãîë () â äàííîì íàïðàâëåíèè îïðåäåëÿåòñÿ òàê: êàæäîé òî÷êå X ïëîñêîñòè ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñâèå òàêàÿ òî÷êà X', ÷òî, âî-ïåðâûõ, OX'=OX, âî-âòîðûõ è, â-òðåòèõ, ëó÷ OX' îòêëàäûâàåòñÿ îò ëó÷à OX â çàäàííîì íàïðàâëåíèè. Òî÷êà O íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ïîâîðîòà, à óãîë -óãëîì ïîâîðîòà.