Преобразования плоскости, движение (стр. 3 из 5)

Äîêàæåì, ÷òî ïîâîðîò ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì:

Ïóñòü ïðè ïîâîðîòå âîêðóã òî÷êè O òî÷êàì X è Y ñîïîñòîâëÿþòñÿ òî÷êè X' è Y'. Ïîêàæåì, ÷òî X'Y'=XY.

Ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé, êîãäà òî÷êè O, X, Y íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Òîãäà óãîë X'OY' ðàâåí óãëó XOY. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü óãîë XOY îò OX ê OY îòñ÷èòûâàåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïîâîðîòà. (Åñëè ýòî íå òàê, òî ðàññìàòðèâàåì óãîë YOX). Òîãäà óãîë ìåæäó OX è OY' ðàâåí ñóììå óãëà XOY è óãëà ïîâîðîòà (îò OY ê OY'):

ñ äðóãîé ñòîðîíû,

Òàê êàê (êàê óãëû ïîâîðîòà), ñëåäîâòåëüíî . Êðîìå òîãî, OX'=OX, è OY'=OY. Ïîýòîìó - ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè. Ñëåäîâòåëüíî X'Y'=XY.

Åñëè æå òî÷êè O, X, Y ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî îòðåçêè XY è X'Y' áóäóò ëèáî ñóììîé, ëþáî ðàçíîñòüþ ðàâíûõ îòðåçêîâ OX, OY è OX', OY'. Ïîýòîìó è â ýòîì ñëó÷àå X'Y'=XY. Èòàê, ïîâîðîò ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.

Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ

Ìîæíî äàòü òàêîå îïðåäåëåíèå:

Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ñ öåòðîì â òî÷êå O ýòî òàêîå îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè, ïðè êîòîðîì ëþáîé òî÷êå X ñîïîñòàâëÿåòñÿ òàêàÿ òî÷êà X', ÷òî òî÷êà O ÿâëÿåòñÿ ñåðèäèíîé îòðåçêà XX'.

Îäíàêî ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîâîðîòà, à èìåííî, ïîâîðîòà íà 180 ãðàäóñîâ. Äåéñòâèòåëüíî,ïóñòü ïðè öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O òî÷êà X ïåðåøëà â X'. Òîãäà óãîë XOX'=180 ãðàäóñîâ, êàê ðàçâåðíóòûé, è XO=OX', ñëåäîâòåëüíî òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì íà 180 ãðàäóñîâ. Îòñþäà òàêæå ñëåäóåò, ÷òî öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.

Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, èçìåíÿþùèì íàïðàâëåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå.Òî åñòü åñëè ïðè öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O òî÷êàì X è Y ñîîòâåòñâóþò òî÷êè X' è Y', òî

XY= - X'Y'

Äîêàçàòåëüñòâî: Ïîñêîëüêó òî÷êà O - ñåðåäèíà îòðåçêà XX', òî, î÷åâèäíî,

OX'= - OX

Àíàëîãè÷íî

OY'= - OY

Ó÷èòûâàÿ ýòî íàõîäèì âåêòîð X'Y':

X'Y'=OY'-OX'=-OY+OX=-(OY-OX)= -XY

Òàêèì îáðàçîì X'Y'=-XY.

Äàêàçàííîå ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðíûì ñâîéñòâîì öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè, à èìåííî, ñïðàâåäëèâî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ïðèçíàêîì öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè: "Äâèæåíèå, èçìåíÿþùåå íàïðàâëåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå, ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé."

Î ñèììåòðèè ôèãóð

Ãîâîðÿò, ÷òî ôèãóðà îáëàäàåò ñèììåòðèåé (ñèììåòðè÷íà), åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå äâèæåíèå (íå òîæäåñòâåííîå), ïåðåâîäÿùåå ýòó ôèãóðó â ñåáÿ.

Íàïðèìåð, ôèãóðà îáëàäàåò ïîâîðîòíîé ñèììåòðèåé, åñëè îíà ïåðåõîäèò â ñåáÿ íåêîòîðûì ïîâîðîòîì.

Ðàññìîòðèì ñèììåòðèþ íåêîòîðûõ ôèãóð:

Îòðåçîê èìååò äâå îñè ñèììåòðèè (ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð è ïðÿìàÿ, ñîäåðæàùàÿ ýòîò îòðåçîê) è öåíòð ñèììåòðèè (ñåðåäèíà).