Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

Магнитогорский государственный технический университет

Подготовил: Григоренко М.В.

Студент группы ФГК-98

Магнитогорск –1999

Ведение

Для решения были предложены следующие уравнения:

x³ – 4x – 2 = 0 и 4x = cosx

При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция (¦(x) = x³ – 4x – 2 и ¦(x) = 4x – cosx), а решениями уравнения являются нули соответствующей функции.

Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы на всей области определения (–¥ ; ¥).

Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью (0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована ЭВМ и программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные специально для решения данных задач.

Способ хорд

Теоретическая часть

Данный способ можно свести к следующему алгоритму:

1. Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри каждого отрезка [x₁;x₂] функция монотонная, а на его концах значения функции ¦(x₁) и ¦(x₂) разных знаков. Так как функция ¦(x) непрерывна на отрезке [x₁;x₂], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной точке между x₁и x₂.

2. Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y = ¦(x), соответствующие абсциссам x₁и x₂. Абсцисса a₁точки пересечения этой хорды с осью ОХ и будет приближенным значением корня. Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки A(x₁;¦(x₁)) и B(x₂; ¦(x₂)), в каноническом виде:

;

Учитывая, что y = 0 при x = a₁, выразим из данного уравнения a₁:

3. Чтобы получить более точное значение корня, определяем ¦(а₁). Если на данном отрезке мы имеем ¦(x₁)<0, ¦(x₂)>0 и ¦(a₁)<0, то повторяем тот же прием, применяя формулу (1) к отрезку [a₁;x₂]. Если ¦(x₁)>0, ¦(x₂)<0 и ¦(a₁)>0, то применяем эту формулу к отрезку [x₁;a₁]. Повторяя этот прием несколько раз, мы будем получать все более точные значения корня а₂, а₃ и т.д.

Пример 1. x³ – 4x – 2 = 0

¦(x) = x³ – 4x – 2,

¦¢(x) = 3x² – 4,

производная меняет знак в точках

¦¢(x)

+ – +

¦(x)

функция ¦(x) монотонно возрастает при xÎ(–¥;

] и при хÎ[

;¥), и монотонно убывает при xÎ[

;

Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых находится по одному корню.

Для удобств дальнейших вычислений сузим эти участки монотонности. Для этого подставляем наугад в выражение ¦(х) наугад те или иные значения х, выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки:

¦(–2)= –2,

¦(–1)= 1,

¦(0)= –2,

¦(1)= –5,

¦(2)= –2,

¦(3)= 13.

Таким образом, корни находятся в интервалах

(–2;–1), (–1;0), (2;3).

Пункты 2 и 3 алгоритма выполняются при помощи ЭВМ (текст соответствующей программы приводится в Приложении 1) Программа выводит последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью для каждого из участков:

Для (–2;–1): Для (–1;0):

a1=-1.33333 при х1=-2.00000 и x2=-1.00000

a2=-1.55000 при х1=-2.00000 и x2=-1.33333

a3=-1.63653 при х1=-2.00000 и x2=-1.55000

a4=-1.66394 при х1=-2.00000 и x2=-1.63653

a5=-1.67195 при х1=-2.00000 и x2=-1.66394

a6=-1.67423 при х1=-2.00000 и x2=-1.67195

a7=-1.67488 при х1=-2.00000 и x2=-1.67423

a8=-1.67506 при х1=-2.00000 и x2=-1.67488

a9=-1.67511 при х1=-2.00000 и x2=-1.67506

a10=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67511

a11=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67513

для (2;3)

a1=2.13333 при х1=2.00000 и x2=3.00000

a2=2.18501 при х1=2.13333 и x2=3.00000

a3=2.20388 при х1=2.18501 и x2=3.00000

a4=2.21063 при х1=2.20388 и x2=3.00000

a5=2.21302 при х1=2.21063 и x2=3.00000

a6=2.21386 при х1=2.21302 и x2=3.00000

a7=2.21416 при х1=2.21386 и x2=3.00000

a8=2.21426 при х1=2.21416 и x2=3.00000

a9=2.21430 при х1=2.21426 и x2=3.00000

a10=2.21431 при х1=2.21430 и x2=3.00000

Приближенным значением корня уравнения на отрезке

(–2;–1) является x = –1,6751