Приложения производной (стр. 4 из 10)
5) заменить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.
Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых определяется знак производной.
Будем говорить, что криваяy = f(x)в точкеx0обращена выпуклостью вверх, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1а).
Рисунок 1  Рисунок 2. |
В самом деле, пусть абсцисса x1 точки A меньше абсциссы x2 точки B (рис. 2). Проведем касательные t1 и t2 соответствено в точках A и B к кривой y = f(x). Пусть a и j - углы наклона касательных t1 и t2. Тогда из рис. 2 видим, что j - внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a. Следовательно tgj > tga или f '(x1 ) > f '(x2 ).
Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x) убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале (a, b): f ''(x)£0.
 Рисунок 3. |
Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно видно, что tga > tgj т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а поэтому в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b) функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)³0.
Докажем, что и наоборот, еслиf ''(x)£0в некотором интервале(a, b), то в этом интервале криваяy = f (x)обращена выпуклостью вверх; еслиf ''(x)³0в интервале(a, b), то в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз.
Запишем уравнение касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к кривой y = f (x) в точке x0, где a < x0 b, в виде y = y0 + f '(x0 )(x - x0 ). Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому последнее уравнение можно записать в виде y = f(x0 ) + f '(x0 )(x - x0 ). (1)
Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:
(2)Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение (1), получим:
(3)Если f ''[x0 + Q(x - x0 )]£0, где 0 < Q < 1, то имеем f(x) - y £ 0
откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.
Если f ''[x0 + Q(x - x0 )]³0, то имеем f(x) - y ³ 0 откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.
Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то высказанное выше утверждение доказано.
 Рисунок 4. |
Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой (рис.4). (В этом определении предполагается, что в точке перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная касательная).
Теорема 8.Пусть функцияf(x)имеет непрерывную вторую производнуюf ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] - точка перегиба кривойy = f(x). Тогдаf ''(x0 ) = 0или не существует.
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 - h, x0 ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x0, x0 +h) - больше нуля.
Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных значений к положительным, она при x = x0 обращается в нуль: f ''(x0 ) = 0.
 Рисунок 5. |
На рис.5 изображен график функции
. Хотя при x0 = 0 имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем 
Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой перегиба, так как при x < 0 f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при x > 0 f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.
Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x) обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это условие не является достаточным.
Теорема 9.Если вторая производнаяf ''(x)непрерывна и меняет знак приx = x0, то точкаA[x0 ; f(x0 )] является точкой перегиба кривойy = f(x)при условии, конечно, что в точкеAсуществует касательная.
Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x0 - h < x < x0 и f ''(x) > 0 при x0 < x < x0 + h. Тогда в интервале (x0 - h; x0 ) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x0 ; x0 + h) - выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x0 ; f(x0 )] есть точка перегиба кривой, что и требовалось доказать.
6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика.
1. Находим область определения функции f(x)
2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим их на чертеж.
3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей координат и начала координат.
4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в точке x0 разрыв, то отмечаем ее на чертеже.
5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.
6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной и минимальной ординатами.
7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.
8. Вычерчиваем кривую y = f(x).
6.6. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде y - y1 = f '(x1)(x - x1)
Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен
, а уравнение записывается в виде 