Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета (стр. 1 из 6)

Программа государственного экзамена по математике

для студентов математического факультета

Московского городского педагогического университета

Алгебра и теория чисел

1.Группы; примеры и простейшие свойства элементов группы.

2. Кольца и поля; примеры и простейшие свойства элементов.

3. Арифметические функции: t(n), s(n), j(n).

4. Алгоритм Евклида и его применения.

5. Сравнения и их свойства. Теоремы Эйлера и Ферма.

6.Базис и размерность векторного пространства.

7. Основные теоремы о системах линейных уравнений.

8. Корни многочлена, теорема Безу, схема Горнера.

9.Разложение многочлена над полем в произведение

неприводимых множителей и его единственность.

10. Теорема о строении простого алгебраического расширения.

1. Группы; примеры и простейшие свойства элементов группы

1⁰. Определение группы.

Всюду в дальнейшем запись (G, *) означает, что на непустом множестве G задана операция “*”.

Определение. Множество (G, *) называется группой, если выполнены следующие условия:

(1) операция “*” ассоциативна, т.е. ("x, y, zÎG) (x*y)*z = x*(y*z);

(2) множество G обладает нейтральным элементом относительно операции*:

($eÎG)("xÎG) x*e = e*x = x;

(3) каждый элемент множества G обладает симметричным элементом:

("xÎG) ($yÎG) x*y = y*x = e.

2⁰. Примеры групп: числовые группы, группы симметрий геометрических фигур, группы подстановок, матричные группы.

Примеры групп весьма разнообразны. Перечислим некоторые из них.

1.Числовые группы (группы, элементы которых являются комплексными числами).

а) Аддитивные группы целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных чисел R, комплексных чисел C.

б) Мультипликативные группы ненулевых рациональных чисел Q*, ненулевых действительных чисел R*, ненулевых комплексных чисел C*, положительных рациональных чисел Q₊, положительных действительных чисел R₊.

2.Группы подстановок S(X) и S_n, действующих на множестве X, в частности, на множестве {1, 2, . . . , n}.

3.Группы движений геометрических фигур. Пусть Ф - какая-нибудь геометрическая фигура на плоскости, O(Ф) - множество движений плоскости, переводящих фигуру Ф на себя. Множество O(Ф) относительно операции композиции (последовательного выполнения) движений является группой. Элементы множества O(Ф) часто называются симметриями фигуры Ф.

Рассмотрим, например, группу симметрий правильного треугольника.

Группа симметрий правильного треугольника состоит из шести элементов: трех отражений a, b, g относительно высот треугольника a - отражение относительно AO, b- BO, g - CO; и трех вращений с центром с точке O на углы 0,

; их удобно обозначить e, r, s. Для описания умножения элементов группы (G, *) можно использовать так называемую таблицу Кэли (таблицу умножения группы).

Для группы симметрий правильного треугольника таблица Кэли имеет вид:

e	r	s	a	b	g
e	e	r	s
r	r	s	e
s	s	e	r
a	g	e	s	r
b	r	e
g	e

Заметим, что вращения перемножаются по правилу r² = s, r³ = e. Далее, квадрат любого отражения равен e.

Легко проверить, чтоab= s, ba= r. Кроме того, ar= g.

Остальные произведения в таблице легко восстановить, используя, например, групповую структуру операции. В частности, имеем:

ag=a(ar)= a²r= er = r;

bg=b(ar)= (ba)r= r² = s.

4. Группы геометрических преобразований. Группы вращений, подобий, гомотетий с заданным общим центром, параллельных переносов.

5. Матричные группы. Укажем на две важнейшие матричные группы:

GL_n(R) - полная линейная группа (группа обратимых матриц),

SL_n(R) - специальная линейная группа

(группа матриц с единичным определителем),

3⁰. Арифметика группы: обратные элементы, степени с целым показателем.

При описании таблицы Кэли группы симметрий правильного треугольника мы использовали так называемые арифметические свойства элементов группы. Отметим важнейшие из них в следующей теореме.

Теорема. Пусть (G,×) - группа. Тогда для ее элементов справедливы равенства:

(а) (xy)(zt) = x(y(zt) = ((xy)z)t;

(б) (xy)^-1 = y^-1x^-1;

(в) (x^p)^q = x^pq; x^px^q = x^p+qдля любых целыхp, q.

Доказательство. Проверим только пункт (б). Имеем:

(xy)(y^-1x^-1) = x(yy^-1)x^-1 = x(1)x^-1 = 1,

(y^-1x^-1)(xy) = y^-1(x^-1x)y = y^-1(1)y = 1;

откуда и получаем требуемое утверждение. ÿ

4⁰. Решение в группах линейных уравнений. В качестве применения простейших свойств приведем следующий простой результат.

Теорема. В произвольной мультипликативной группе G однозначно разрешимо каждое из уравнений:

ax = b, ya = b, где a, b - фиксированные элементы группы.

Доказательство. Допустим, что элемент g удовлетворяет равенству ag = b. Тогда умножая обе части равенства слева на элемент обратный к g, получим

a^-1(ag) = a^-1b, откуда находим g = a^-1b. Легко проверить, что элемент a^-1b является решением уравнения ax = b, т.е. справедливо равенство a(a^-1b) = b.

Аналогично доказывается разрешимость второго уравнения. ÿ

Примеры. 1. Решить уравнение (12)x = (13) в группе подстановок S₃.

Имеем: x = (12)(13) = (123).

2. Решить уравнение rx = a в группе симметрий правильного треугольника.

Имеем: x = r^-1a= g, поскольку sa является отражением и

C(sa) = (Cs)a = Ba = C.

3. Решить уравнение X

= в группе GL₂(R).

Имеем:

X =

= = .

2. Кольца и поля; примеры и простейшие свойства элементов

1⁰. Определение кольца и поля.

Определение. Непустое множество A, на котором заданы операции сложения и умножения, называется кольцом, если выполнены следующие два условия:

а) (A, +) - абелева группа;

б) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для любых элементов x, y, z из A выполнены равенства: (x + y)z = xz + yz; x(y + z) = xy + xz.

Определение. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения в нем коммутативна; кольцо называется ассоциативным, если операция умножения в нем ассоциативна. Кольцо называется кольцом с единицей, если оно обладает нейтральным элементом относительно умножения.

Определение. Пусть A - ассоциативное кольцо с единицей 1. Элемент aÎA называется обратимым, если существует элемент bÎA такой, что ab = ba = 1.

Легко проверить, что элемент b, о котором идет речь находится однозначно, поэтому он обозначается a^-1 и называется элементом обратным к a.

Важнейшим типом колец являются поля.

Определение. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей называется полем, если в нем всякий ненулевой элемент обратим.

2⁰. Примеры колец: числовые кольца, кольца многочленов, кольца последовательностей и функций, кольца матриц, кольца вычетов.

Если группы появляются, прежде всего, как группы обратимых отображений, то возникновение понятия кольца связано с изучением важнейших числовых систем и многочленов.

1.Числовые кольца (кольца, элементы которых являются комплексными числами):

а) (классические числовые кольца) кольцо целых чисел Z, кольцо рациональных чисел Q, кольцо действительных чисел R, кольцо комплексных чисел C.

б) кольцо Z[i] целых гауссовых чисел вида a + bi, где a, b - целые числа;

г) кольцо Z[

] действительных чисел вида a + b с целыми a, b.

2. Кольца многочленов R[x], Q[x], Z[x], C[x] от одной переменной x с действительными, рациональными, целыми и комплексными коэффициентами.