Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике (стр. 3 из 9)
положительные значения. Вследствие этого его предел — производная f '(х) — положительна или равна нулю
f '(x) ≥ 0
Если в промежутке а<х<bфункция y=f(x) убывающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее значение функции менее предыдущего. Поэтому для каждого данного значения x в то время, когда приращение Δx положительно, приращение Δy отрицательно, отношение Δy/Δx принимает только отрицательные значения и при стремлении Δxк нулю имеет своим пределом отрицательное число или нуль, т. е.
f '(x) ≤ 0.Так как значение производной f '(х) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x):
f '(x) = tgφ,
и у возрастающей функции f '(x) = tgφ ≥ 0, то касательная к графику возрастающей функции образует с осью Ох острый угол или параллельна оси Ох (черт. 106). У убывающей функции f '(х) = tgφ ≤ 0, касательная к графику образует с осью Ох тупой угол или параллельна оси Ох (черт.).
В промежутке a<x<bвозрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ≤ х ≤ b1 (a<a1<b1<b), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f '(x) = 0 на отрезке a1 ≤ х ≤ b1то функция f(x) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей).
Точки графика возрастающей (или убывающей) функции, в которых касательная параллельна оси Ox, являются отдельными точками в том смысле, что абсциссы их не составляют отрезка. На черт. и черт. такими точками являются Р и Р1.
3°. В полных курсах анализа доказываются следующие достаточные признаки возрастания и убывания функции:
функция f(x) возрастает (или убывает) в промежутке a<x<b, если:
1) производная f '(х) не отрицательна (или не положительна) в промежутке а<х<b,
f '(x) ≥ 0 (или f '(x) ≤ 0)
и
2) в этом промежутке не существует отрезка a1 ≤ x ≤ b1 (а<а1<b1<b), во всех точках которого производная f '(х) = 0.
4°. Пример. Определить промежутки возрастания и убывания функции: у = х3 — х2 — 8х + 2.
Решение. Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения х, при которых она положительна или отрицательна:
у' = Зх2 — 2х — 8.
Разложим трехчлен второй степени на множители, так как гораздо легче судить о знаке произведения по знакам множителей, чем о знаке суммы по знакам слагаемых.
Корни трехчлена:
| № про-межутка | Характеристика промежутка | Знак x+4/3 | Знак x-2 | Знак f ’(x) | Даннаяфункция |
1 | - ∞ < x< - 4/3 | — | — | + | возрастает |
2 | -4/3 < x < 2 | + | — | — | убывает |
3 | 2 < х < + ∞ | + | + | + | возрастает |
Следовательно, данная функция возрастает в промежутках- ∞ <x < -4/3 и 2 <x < + ∞ и убывает в промежутке — 4/3 < х <2.
График данной функции представлен на черт.
5°.Функция у = х3(черт.) имеет производную у = 3х2, которая положительна при всяком значении х, отличном от нуля. При х = 0 производная у' = 0. Функция у = х3возрастает в промежутке — ∞<x<+∞; x= 0 есть отдельная единственная точка, в которой производная равна нулю, в ней функция возрастает. Действительно, при х = 0х3 = 0, а при х < 0 х3 < 0 и при х > 0 х3> 0.
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин
1°. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома ( черт.). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?Решение. Пусть ширина участка xм, аплощадь у м2, тогда:
y = (60-2x)x = 60x - 2х2
Значения x и y не могут быть отрицательными, поэтому множитель 60 - 2x > 0, а 0<x<30.
Площадь y есть функция x, определим промежутки ее возрастания и убывания:
y' = 60 - 4x.
y'>0, и функция возрастает, когда x<15; y<0, и функция убывает, когда x>15.
| Если ширина х = | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| то площадь y = | 0 | 250 | 400 | 450 | 400 | 250 | 0 |
Кривая (черт.) поднимается от начала 0 до точки М(х= 15), а затем начинает падать. В точке х= 15 функция имеет наибольшее значение.
Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина х =15м, а длина 60 — 2x = 60 -- 30=30 (м)2°. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 x2, чтобы периметр ее был наименьший?
Решение. Пусть длина равна х м, тогда ширина прямоугольника 36/x м, а периметр:
Y=2(x+36/x)=2x+72/x.
Периметр у есть функция длины x, определенная для всех положительных значений x:
0<x<+∞
Определим промежутки ее возрастания и убывания:
y’=2-72/x2=2(x2-36)/x2=2(x-6)(x+6)/x2.
Знак производной определяется знаком разности x-6. В промежутке0<x<6 y'<0, а в промежутке 6<x<+∞ y'>0.
Периметр убывает в промежутке 0<x<6 и возрастает в промежутке 6<x<+∞. График (черт.) построим по таблице:
Если х = | →0 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | →∞ |
То у = | →∞ | 30 | 26 | 24,4 | 24 | 24,3 | 25 | →∞ |
Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он квадрат.
Максимум и минимум функции
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин имеют важное значение в технике и, как это ясно из примеров, сводятся к отысканию максимума и минимума функции.
Определение. 1. Функция f(x) имеет при х=с максимум, если ее значение при х=с больше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.2. Функция f(x) имеет при x= с минимум, если ее значение при х=с меньше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.
Термины "максимум" и "минимум"объединяются в один общий для них термин "экстремум".
Значение аргумента, которое дает максимум (или минимум) функции, называется точкой максимума (минимума), или точкой экстремума.
Функция может иметь только максимум, например функция y = 60x— 2х2(черт. 111), или только минимум, например функция у = 2х+72/x(черт. 112), или иметь
максимум и минимум, как, например, функция у = х3— — х2 — 8х+2 (черт. 108). Функция может иметь несколько максимумов и минимумов (черт. 113), причем в этом случае максимумы и минимумы чередуются. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума. Например, функции у = х3, y = ctgx, y = axне имеют ни максимума, ни минимума, так как при возрастании х от — ∞ до +∞ первая и третья функции возрастают, а вторая только убывает.