Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике (стр. 5 из 9)

Так же доказывается теорема и в случае f "(с)<0.

3°. Доказанная теорема определяет второй способ нахождения экстремума. Он отличается от первого тем, что третья и четвертая операции первого способа заменяются: а) нахождением второй производной и б) определением ее знака в стационарной точке. Результат исследования можно выразить так:

Если знак числа f "(с),	то при х = с f(x) имеет
плюс минус	минимум максимум

Если f '(с) = 0, то исследование функции на максимум и минимум надо провести первым способом.

4°. Пример 1. Исследовать вторым способом на максимум и минимум функцию: у = 5 — х² — х³ — x⁴/4.

Решение. 1. Находим первую производную:

y ' = - 2х - Зx² — x³

2. Приравниваем первую производную нулю и решаем полученное уравнение:

— 2x — Зx² — x³ = 0, или x(x²+3х+2) = 0,

отсюда x = 0 или x²+ 3х + 2 = 0.

Решая квадратное уравнение x² + 3х + 2 = 0, получаем:

x = (-3 ⁺ 1)/2.

Стационарных точек три: x₁ = — 2, x₂ = — 1 и х₃ = 0.

3. Находим вторую производную:

у" = — 2 - бx — Зx².

4. Определяем знак второй производной, заменяя х его значением сначала в первой, затем во второй и потом в третьей стационарной

точке:

при х = — 2 у'' = — 2 — 6(— 2) — 3(— 2)² = — 2, при х = — 1 у" = — 2 — 6(— 1) — 3(— l)² = + 1, при x = 0 у" = — 2.

Следовательно, данная функция имеет минимум при х = —1 и максимум при х = — 2 и при х =0,

Пример 2, Исследовать на максимум и минимум функцию: у = х⁴.

Решение: 1)y' = 4x³;

2) 4х³ = 0; х = 0;

3) y" = 12x²;

4) при х = 0 y" = 0.

Так как оказалось, что вторая производная равна нулю, то исследование ведем первым способом: при х < 0у' = 4x³ < 0, а при х > 0 у' = 4x³ > 0. Следовательно, функция у = х⁴имеет минимум в точке x = 0.

5°. Второй способ нахождения экстремума имеет смысл применять в том случае, когда вторая производная отыскивается просто; если же дифференцирование сопровождается трудными преобразованиями и не упрощает выражение первой производной, то первый способ может быстрее привести к цели.

Направление вогнутости кривой

Пусть две точки M₁ и M₂ имеют одну и ту же абсциссу. Если при этом ордината точки M₁более (менее) ординаты точки M₂, то говорят, что точка M₁ лежит выше (ниже) точки M₂. Говорят также, что в промежутке а<х<bлиния y = f(x) лежит выше (ниже) линии у=φ(х), если в этом промежутке каждая точка первой линии лежит выше (ниже) соответствующей ей точки второй линии, т. е. если

f(x)> φ(x) [или f(x)< φ(x)].

Определение. В промежутке а < х < b кривая— график дифференцируемой функции y=f(x) — называется вогнутой вверх (вниз), если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке данного промежутка.

Кривая, изображенная на черт., является вогнутой, вверх в промежутке а < х < bи вогнутой вниз в промежутке b < х < с.

2°. В более подробных курсах анализа доказывается, что если производная f '(х) — возрастающая (убывающая) функция в промежутке а < х < b, то кривая y=f(х) является вогнутой вверх (вниз) в этом промежутке.

Чтобы уяснить эту теорему, наметим на оси Ох (черт.)

произвольно ряд точек и проведем через каждую из них

прямую так, чтоб и угловом коэффициент прямой возрастал с возрастанием абсциссы намеченных точек; затем, приняв эти прямые за касательные к некоторой кривой линии [tgφ = f '(x)], построим эту кривую линию. Мы видим, что она может лежать только выше каждой из проведенных касательных.

3°. Достаточный признак вогнутости вверх (вниз). Если в промежутке а<х<b вторая производная f ''(x) положительна (отрицательна), за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то кривая у=f(х) в этом промежутке вогнута вверх (вниз).

Действительно, если в промежутке а<х<bвторая производная f "(x), например, положительна, за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то первая производная f '(х)—возрастающая функция, а кривая y = f(x), согласно предыдущему, является вогнутой вверх.

Если f "(x) = 0 не в отдельных точках, а в некотором промежутке, то в этом промежутке f '(x) — постоянная функция, af(x) — линейная функция, график ее — прямая линия, и говорить о вогнутости не имеет смысла.

Точки перегиба

1°. Определение, Если в некоторой окрестности точки х = с кривая —график дифференцируемой функции y = f(x) — имеет слева и справа от точки х = с вогнутости противоположного направления, то значение х = с называется точкой перегиба.

Точку М кривой (черт.), абсцисса которой х = с, называют также точкой перегиба, она отделяет дугу кривой, вогнутую вверх, от дуги, вогнутой вниз. Точкой перегиба может быть только та точка, в которой к кривой имеется касательная. В окрестности точки перегиба кривая лежит по обе стороны от касательной: выше и ниже ее. Заметим, что она расположена также по обе стороны от нормали. Но такая точка, как Р (черт.), в которой единственной касательной не имеется, точкой перегиба не является.

2°. Так как слева и справа от точки перегиба х = с вогнутости кривой y=f(x) разного направления, то вторая производная f "(x) имеет слева и справа от точки х = с разные знаки или равна нулю. Полагая вторую производную непрерывной и окрестности точки х = с, заключаем, что в точке перегиба она равна нулю, т. е.

f(c) = 0.

3°. Отсюда следует правило нахождения точек перегиба:

1) найти вторую производную данной функции;

2) приравнять ее нулю и решить полученное уравнение (или найти те значения х, при которых производная теряет числовой смысл), из полученных корней отобрать действительные и расположить их no величине от меньшего к большему;

3) определить знак второй производной в каждом, из промежутков, отграниченных полученными корнями;

4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если одинаковыми, то точки перегиба нет.

4°. Примеры. Найти точки перегиба и определить промежутки вогнутости вверх и вниз кривых:

1) у = lп х.

Р е ш е н и е. Находим вторую производную:

y '=1/x; y ''= -1/x².

При всяком значении x = (0 < х <+∞) у" отрицательна. Значит, логарифмика точек перегиба не имеет и обращена вогнутостью вниз.

2) у = sinx.

Решение. Находим вторую производную:

y' =cos x, y'' = -sin x.

Полагая - sinx = 0, находим, что x = kπ, где k - целое число.

Если 0 < x< π, то sinx положителен и y '' отрицательна, если же π < x< 2π, то sinx отрицателен и y'' положительна и т. д. Значит, синусоида имеет точки перегиба 0, π, 2π,...

В первом промежутке 0 < x< π она обращена вогнутостью вниз, во втором - вогнутостью вверх и т. д.

Механическое значение второй производной

Предположим, что точка движется прямолинейно и пройденный ею путь определяется уравнением s = f(t), где t время. Скорость vв момент времени tесть производная от пути по времени, т. е.

v=ds/dt.

Скорость изменения скорости в момент времени tесть ускорение а,

a=(v)' = (ds/dt)' = (d²s/dt²).

Вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения в данный момент времени.

Пример. Прямолинейное движение точки совершается по закону:

s = (t³ — 2) м.

Определить ускорение в момент t = 10 сек.

Решение. Ускорение а = d²s/dt².

Дифференцируя функцию s=t³ — 2, находим d²s/dt² =6t

Следовательно,

a = 6t = 6*10 = 60; a = 60 м&bsol;сек².

2°. Если движение неравномерное, то сила F, производящая его, непостоянна, каждому моменту времени tсоответствует определенное значение действующей силы F, и сила, таким образом, есть функция времени t, F=f(t).

По закону Ньютона, в каждый момент времени действующая сила Fравна произведению массы т на ускорение а, т. е.

F=ma, илиf(t) = ma.

При прямолинейном движении a =d²s/dt², поэтому

f(t) = m*d²s/dt².

Зная уравнение прямолинейного движения, можно дифференцированием найти значение действующей силы в каждый момент времени.

Пример. Определить силу, под действием которой материальная точка совершает прямолинейные колебания по закону

s = А*sin(ωt + ω₀).