Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике (стр. 8 из 9)
OD = a√3 /6,
AO2 = TO*OP = TO(2R - TO),a2/3 = a(2R – a/3)/3, a = 3R/2.
S∆MBK = BK*LM*1/2, BK = const,
S∆MBK = f(LM),__
LM = √MN2+NL2
Пусть MD = x, тогда MN = xcos / NMD; _
cos Ð NMD = TO/TD = a/(3√a2/9+a2/12 = 2/√7, MN = 2x/√7 .
Из∆ONL: LN = ON cos30o (ÐONL = 30o);
ON = OD – ND, _ _ _ _ _
ND = x sinÐNMD =x √3/√7, ON = a√3/6 - x√3/√7,
LN = (a√3/6 - x√3/7)√3/2 = (a/4 – 3x/(2√7)),
LM = √4x2/7+(a/4 – 3x/(2√7))2. _ _
Если LM’(x) = 0, то 8x/7+2(a/4 – 3x/(2√7))(-3/2√7) = 0,
8x/7 – 3a/4√7 + 9x/14 = 0,
25x/14 = 3a/4√7,
x = 21a/50√7. __ __
MN = (21a/50√7)*(2/√7) = 3a/25,
LN = a/4 – (3/2√7)*(21a/50√7) = 4a/25,
LM = √a2/625 + 9a2/625 = a√10/25. _
S∆MBK = a√3/2*a/5*1/2 = a√3/20 = 9√3 R2/80.
Ответ: 9√3 R2/80.
Задача 8. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между боковой гранью пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот объем.
Решение. SABC – правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу радиусом R,
SO*1,5 = AD,
LMN – правильная четырехугольная призма.
Найти. Vпр = f(LM).
ПустьSO = H, тогдаAD = 1,5H;
SO1 = R – радиус сферы; LM = x –высота призмы.
∆SKO1подобен∆SOD => O1K/OD = SO1/SD => OK1 = OD*SO1/SD.
Из ∆AO1O: R2 = AO2 + O1O2 = (2AD/3)2 + (AD*2/3 - R)2,
R2 = 4AD2/9 + 4AD2/9 –AD*R*4/3,
8AD2/9 = AD*R*4/3 => AD = 3R/2.
Отсюда OD = R/2;
AO1= RиSO1 = R; _
SD = √R2 + R2/4 = R√5/2, _
OK1 = 2*R*R/(2R√5) = R√5/5;
O1K = R√5/5.
Из∆O1FN => R2 = (O1K + x)2 + NF2,
 |
NF = √R2 – R2/5 – 2x(√5)2/5 – x2 ,
Sосн = 2NF2. _
Vпр = Sосн*x = 2(R2 – R2/5 – 2x√5 R/5 - x2)*x;
Vпр = 2(4R2x/5 – 2x2√5 R/5 - x3);
V’пр(x) = 2(4R2/5 – 2x√5 R/5 - 3x2) = 0; _
x 1,2 = (2R√5/5 + √4R2/5 + 12R2/5)/(-3) = (2R√5/5 + 4R/√5)/(-3);
x = 2√5 R/15 _ _
Vпр.max = 2(4R2*2√5R/(5*15) – 2√5R*4R2/(45*5) - _ 40√5R3/(225*15)) = 16R3√5(1 – 1/3– 5/45)/75 = 16√5R3/135.
Ответ: 16√5R3/135 м3 при H = 2√5R/15.
 |
Задача 9. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена так, что ее нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины верхнего основания принадлежат боковой поверхности конуса. Отношение длины диагонали основания призмы к ее высоте равно отношению длины диаметра цилиндра к его высоте. При какой высоте цилиндра объем призмы будет наибольшим? Найти этот объем призмы, если высота конуса – H и радиус основания – R.
Дано. ASO – конус;
SO = H;
AO = R;
CL/CM = BK/BN;
Найти. BN, чтобыVпр = max
Решение. BN = x, CM = h, Vпр = SоснCM = CL2h/2.
∆CSDподобен∆ASO: CD/AO = SD/SO;
CD/R = (H – x - h)/H;
CD = R(H – x -h)/H.
∆BSEподобен∆ASO: BE/AO = SE/SO;
BE/R = (H - h)/H;
BE = R(H - h)/H.
Находим отношение CD/BE = (H – x - h)/(H - x).
Исходя из условия (CL/CM = BK/BN) задачи делаем вывод,
чтоCD/BE = h/x, т. е. (H – x - h)/(H - x) = h/x => h = (Hx – x2)/H
ТогдаCD = R(H – x – (Hx – x2)/H)/H = R(H2 – Hx – Hx +x2)/H2 = R(H - x)2/H2,
CL = 2CD = 2R(H - x)2/H2.
V = 4R2(H - x)4(H - x)x/(2H*H4) = 2R2(H - x)5x/H5;
V’(x) = 2R2((H - x)5 – 5(H - x)4 x)/H5 = 0,(H – x) – 5x = 0, x = H/6.
V = 2HR2(5H/6)5/(6H5) = 2R2H*55/66.
Ответ: при H/6, Vmax = 2R2H*55/66.
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 – b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние между частицами.
Найти:
а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы;
б) выяснить устойчиво ли это положение;
в) Fmax значение силы притяжения;
г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).
U = a/r2 – b/r; Решение:a и b — counts; Для определения r0соответствующего равновесному
r0 — ? положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.Fmax — ? Используя связь между потенциальной энергией поля
U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (-2a/r3+b/r2) = 0;
приэтомr = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b;
Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:
d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)<0;
равновесие устойчивое.
Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:
F = 2a/r3— b/r2;
dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0;
приr = r1 = 3a/b;
подставляя, получу Fmax = 2a/r31 — b/r31 = - b3/27a2;
U(r) = 0; приr = a/b; U(r)minприr = 2, a/b = r0;
F = 0;F(r)maxпри r = r1 = 3a/b;
Задача 2. Три резистора сопротивлениями R1, R2, R3 соединены параллельно. Сопротивление R1в 9 раз больше сопротивления R2. Если все три резистора соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.
Определить сопротивления резисторов при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим.
R1 = 9 R2 Решение:При параллельном соединении резисторов эквивалентное
R1, R2, R3 сопротивление по формуле:
1/Rэкв = 1/R1+1/R2+1/R3;Rэкв max— ?выражуR3черезR2:
R3 = R— R1—R2=R—10R2;
тогда1/Rэкв = (10R—91R2)/(9R2(R—10R2));
Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].
Возьмем производную от f(1/Rэкв) по R2и преобразуем ее:
(1/Rэкв)’ = -910(R2—R/7)(R2—R/13)/(9R22 (R-10R2)2);
В интересующем нас интервале только одна точка R2 = R/13 в которой эта производная меняет знак с “—” слева на ”+”справа. Поэтому в точке R2 = R/13 достигается минимум функции 1/Rэкв и максимум функции Rэкв, при этом
R1 = 9R/13; R2 = 1R/13; R3 = 3R/13;
Rэкв max = 9R/169;
Задача 4. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону B = B0(1 + αH), где α = const (черт.).
Решение. Пусть n– нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля.,