Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике (стр. 9 из 9)
Ф = BS = B0(1 + αH)S, где S = πd2/4 – площадь контура.
ЭДС индукции, возникающая в кольце,
E = - Ф’(t) = - (B0(1 + αH)S)’ = - B0SαH’(t).
Производная H’(t) = νн – это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом,Ei = - B0Sα( - νн).
Так как скорость кольца направлена против оси H, то νн = - ν, где ν – модуль скорости кольца и Ei = B0Sαν.
По кольцу протекает индукционный ток
J = Ei /R = B0Sαν/R.
В результате в кольце за промежуток времени Δt выделяется количество теплоты
Q = J2RΔt.
На высоте H1 кольцо обладает механической энергией
W1 = mgH1 + mν2/2,
на высоте H2
W2 = mgH2 = mgH2 + mν2/2
(ν = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии
W1 = W2 + Q => mgH1 = mgH2 + J2RΔt => mg(H1 - H2) = (B0Sαν/R)2RΔt =>
mg(H1 - H2) = (B0Sαν)2Δt/R (*)
Разность (H1 - H2) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому H1 - H2 = νΔt, и уравнение (*) примет вид:
mgνΔt = (B0Sαν)2Δt/R => mg = (B0Sα)2ν/R =>
ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2.
Ответ: ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2.
Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R(см. рис.).
Решение:
При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E;rгр = r0*m;
а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E,
По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m)
Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn;
J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n);
Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю.
J’n-(kE(R—kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;
n2 = kr/R; .
n = √kr/R = √3,6*0,4/0,9 = 4;
m = k/n = 36/4 = 9;
при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;
Ответ: n = 4, m = 9.
Задача 7. Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна m кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью m кг/с.
Решение.
Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу
Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:dP/dt = FS
P – импульс системы платформа-песок, FS – сила, действующая на систему платформа-песок.
Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:
dp/dt = F
Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени Dt:
Dp = (M+m(t+Dt))(u+Du) – (M+mt)u =FDt
где u – скорость платформы
Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:
Dp = muDt + MDu+mDut+ mDuDt =FDt
Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0
Mdu/dt+mtdu/dt+mu=F
или
d[(M+mt)u]/dt = F
Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю:
(M+mt)u = Ft
Следовательно:
u = Ft/(M+mt)
Тогда, ускорение платформы:
a = du/dt = (F(M+mt)-Ftm)/(M+mt)2 = FM / (M+mt)2
Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.
Изменение импульса за малый промежуток времени:
Dp = (M-m(t+Dt))(u+Du) +mDtu – (M-mt)u = FDt
Слагаемое mDtu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время Dt
Тогда:
Dp = MDu - mtDu - mDtDu = FDt
Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0
(M-mt)du/dt = F
или
a1=du/dt= F/(M-mt)
Ответ:a = FM / (M+mt)2 , a1= F/(M-mt)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. М64 И. Ф. Суворов “Курс высшей математики для техникумов”. М.: Просвещение, 1964.
2. М 71 В. В. Ткачук “Математика—абитуриенту”. М.: Просвещение, 1980.
3. P60 Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов “Стереометрия в задачах”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 1998.
4. P60 В. А. Колесников. “Физика. Теория и методы решения конкурсных задач. Часть II”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 2000.
5. Л77 Л. М. Лоповок “1000 проблемных задач по математике”. М.: Просвещение, 1995.
6. М89 Д. Т. Письменный “Математика для старшеклассников. Теория\задачи”. М.: “Айрис”, “Рольф”, 1996.
7. С 82 М. Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”. Спб.: Союз, 1997.
8. В20 В. И. Васюков, И. С. Григорьян, А. Б. Зимин, В. П. Карасева “Три подсказки – и любая задача решена! Часть III”. М.: Учебный центр “Ориентир” при МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.
9. Э 61 В. А. Чуянов “Энциклопедический словарь юного физика”. М.: Педагогическа-Пресс, 1999.
10. Б 27 А. Б. Басков, О. Б. Баскова, Н. В. Мирошин “Математика. Часть 2. Алгебра и начала анализа”. М.: МИФИ, 1997.
РЕЦЕНЗИЯ НА РАБОТУ