Равногранный тетраэдр (стр. 1 из 2)

Кировский Физико-математический лицей

Реферат на тему

''Свойства равногранного тетраэдра''

Выполнил : ученик 10 ''А'' класса Соболев Александр

Проверила : Прокашева Маргарита Анатольевна

Киров 2003 г.

У любого тетраэдра 4 вершины, 6 рёбер, 4 грани, 4 трёхгранных угла, 6 двугранных углов, 12 плоских углов. Если все 6 рёбер равны, то равными будут и грани, и трёхгранные углы, и плоские; в этом случае тетраэдр - правильный. Из равенства всех 4 граней, однако, ещё не следует правильность тетраэдра; тетраэдр, у которого все грани равны, называется равногранным. Чтобы представить себе равногранный тетраэдр, отличный от правильного, возьмём произвольный остроугольный треугольник из бумаги и будем сгибать его по средним линиям. Тогда три вершины сойдутся в одну точку, а половинки сторон сомкнутся, образуя боковые рёбра тетраэдра (рис. 2).

Перечислим теперь свойства тетраэдра, каждое из которых является необходимым и достаточным условием равногранности, включая определение:

(0) Грани равны.

(1) Скрещивающиеся рёбра попарно равны (2) Трёхгранные углы равны.

(3) Противолежащие двугранные углы равны.

(4) Два плоских угла, опирающиеся на одно ребро, равны.

(5) Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180.

(6) Развёртка тетраэдра - треугольник или параллелограмм

(7) Описанный параллелепипед - прямоугольный.

(8) Тетраэдр имеет три оси симметрии.

(9) Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.

(10) Средние линии попарно перпендикулярны.

(11) Периметры граней равны.

(12) Площади граней равны.

(13) Высоты (тетраэдра) равны. 19=>18

(14) Отрезки, соединяющие вершины с центром тяжести пртивоположных граней, равны.

(15) Радиусы описанных около граней окружностей равны.

(16) Центр тяжести (тетраэдра) совпадает с центром описанной сферы.

(17) Центр тяжести (тетраэдра) совпадает с центром вписанной сферы.

(18) Центр вписанной сферы совпадает с центром описанной.

(19) Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около них окружностей.

(20) Сумма внешних единичных векторов, перпендикулярных к граням, равна 0 (рис. 4).

(21) Сумма косинусов всех двугранных углов равна 2.

Все перечисленные условия являются одновременно и свойствами и признаками равногранного тетраэдра. Чтобы вывести равногранность из какого-нибудь условия, надо выстроить целую цепочку промежуточных условий, в которой каждое прямое следствие предыдущего.

Проще всего устанавливается, что (0)<=>(1)<=>(2)<=>(3)<=>(4).

Докажем (0)<=>(1).

(0)=>(1).

Все грани тетраэдра АВСD равны по условию. Рассмотрим треугольники АDВ и DАС: АD – общая, тогда АВ равна либо DС (если так, то из равенства треугольников АDВ и DАС следует АС=DВ; а из равенства треугольников АDВ и СВD следует АD=ВС, т.е. скрещивающиеся рёбра попарно равны), либо АС (если так, то из равенства треугольников АDВ и DАС следует DВ=DС, т.е. треугольник – равнобедренный, а остальные – нет, т.е. противоречие)

(0)<=(1).

По условию АВ=DС, ВС=АD, АС=ВD (рис.1), тогда треугольники АВD, СDВ, ВАС равны по третьему признаку равенства.

Докажем (1)<=>(2).

(1)=>(2).

Из (1) следует, что треугольники АВD, СDВ, ВАС (рис.1) равны (доказано выше). Тогда равны и соответствующие углы треугольников, т.е. трёхгранные углы ВАСD, АВСD, САВD, DАВС равны, т.к. любой трёхгранный угол однозначно определяется своими тремя плоскими углами.

Т.к. трёхгранный угол однозначно определяется своими тремя плоскими углами, то сдедующие доказательства будут аналогичны предудущему.

Дальше можно рассуждать по следующей схеме: (4)=>(5)=>(6)=>(1) (откуда уже следует равносильность первых шести условий).

Докажем (4)=>(5).

Из условия следует, что углы ADB=ACB, ADC=ABC, BDC=BAC. Тогда треугольники ABC, ADC, ADB, BCD подобны, но треугольники ADB и DAC имеют общую сторону, т.е. они равны, аналогично равны екжду собой и остальные треугольники, т.е. тетраэдр – равногранный.

Докажем (5)=>(6).

Разрежем тетраэдр АВСD по рёбрам АВ, АС, АD и рассмотрим развёртку А₁ВА₂DА₃С (рис. => ), тогда в точках В, С и D приложены по три угла, сумма которых 180°, поэтому углы А₁ВА₂, А₂ОА₃, А₃СА₁ — развернутые; значит, А₁А₂А₃ — треугольник, содержащий точки В, С, D и являющийся разверткой тетраэдра АВСD, Для остальных разверток рассуждение аналогично.

Докажем (6)=>(1).

Посмотрев на рисунок можно увидеть, что на развёртке (например треугольник) скрещивающиеся рёбра являются противоположными сторонами параллелограмма, т.е. они равны.

Наш следующий шаг - доказательство равносильности (1)<=>(7).

Докажем (1)<=>(7).

В самом деле, поскольку скрещивающиеся ребра тетраэдра — диагонали граней описанного параллелепипеда, из попарного равенства ребер следует, что грани описанного параллелепипеда — прямоугольники и наоборот.

Теперь мы предлагаем рассуждать по схеме (7)=>(8)=>(9)=>(10)=>(7).

Докажем (7)=>(8).

Взглянув на (рис. =>), вы легко установите, что осями симметрии являются прямые, соединяющие центры симметрии противоположных граней описанного (прямоугольного) параллелепипеда, или, что здесь то же самое, общими перпендикулярами скрещивающихся рёбер.

Докажем (8)=>(9).

Общими перпендикулярами скрещивающихся рёбер являются отрезки соединяющие середины противоположных граней описанного параллелограмма (прямоугольного) (рис. ^), а это значит, что эти отрезки попарно перпендикулярны (т.к. каждый из отрезков перпендикулярен граням, которые он соединяет).

Докажем (9)=>(10).

Отрезки, соединяющие середины скрещивающихся рёбер – перпендикулярны, но это и есть средние линии.

Докажем (10)=>(7).

Следующая цепочка рассуждений (0)=>(11),(12),(13),(14),(15). Мы докажем, что (11)=>(1), (12)=>(3), (13)=>(12), (14)=>(1), (4)=>(15); тем самым будет установлена равносильность первых 15 свойств.

Докажем (11)=>(1).

Запишем условие (11) в виде a₂+b₂+c₂ ⁽¹⁾ =a₂+b₁+c₁ ⁽²⁾ =b₂+a₁+c₁ ⁽³⁾ =c₂+a₁+b₁ ⁽⁴⁾, где a₁b₁c₁ – длины рёбер тетраэдра, исходящих из одной вершины, a₂b₂c₂ – длины соответственно скрещивающихся с ними рёбер. (1)-(2)=(3)-(4) или b₂+c₂-b₁-c₁=b₂+c₁-c₂-b₁, т.е. 2с₂=2с₁ или по-другому с₂=с₁, рассуждая аналогично для a₁,a₂,b₁,b₂, получаем a₁=a₂, b₁=b₂, c₁=c₂, а это и есть запись условия (1).

Докажем (12)=>(3).

Для этого утверждения предварительно заметим, что S₄=S₁c₁₄+S₂c₂₄+S₃c₃₄ (**), где S_i - площади i-й грани, а с_ij – косинус двугранного угла между i-й и j-й гранью. Соотношение (**) сразу следует из теоремы о площади проекции, если спроектировать все грани тетраэдра на четвёртую грань. Написав ещё три таких соотношения (для трёх других граней) и воспользовавшись условием (12), приходим к системе с₁₄+с₂₄+с₃₄=с₁₃+с₂₃+с₃₄=с₁₂+с₂₃+с₂₄=с₁₂+с₁₃+с₁₄, которая решается точно так же как система из предыдущего утверждения. Получим с₁₄=с₂₃, с₂₄=с₁₄, с₃₄=с₁₂ , откуда следует равенство соответствующих углов, т.е. (3).

Докажем (13)=>(12).

Утверждение очевидно следует из формулы для объёма тетраэдра V=Sh/3: S₁h₁/3=S₂h₂/3=S₃h₃=S₄h₄/3 S₁=S₂=S₃=S₄ по условию => h₁=h₂=h₃=h₄.

Докажем (14)=>(1).

Обозначим через О_i центр тяжести i-й грани и выразим |DO₄| через стороны /DA/=/a/, /DB/=/b/, /DC/=/c/ (рис. =>). /DO₄/ = =/DA/ + + /AO₄/ = /DA/ + 2/3*/AE/ = /DA/ + 2/3*1/2*(/AB/ + /AC/) = = 1/3*(/DA/ + /AB/) + 1/3*(/DA/ + /AC/) + 1/3*/DA/ = 1/3*/DA/ + + 1/3*/DB/ + 1/3*/DC/ = 1/3*(/a/+/b/+/c/). Отсюда находим скалярный квадрат вектора /DO₄/ : (DO₄)²=1/9*(a²+b²+c²+2/a/*/b/+2/a/*/c/+2/b/*/c/). Обозначив a₁=|a|, b₁=|b|, c₁=|c|, a₂=|BC|, b₂=|AC|, c₂=|AB| и воспользовавшись тем, что /AB/=/b/-/a/, /BC/=/c/-/b/, /CA/=/a/-/c/, можно DO₄ выразить в виде (DO₄)² = 1/3*((a₁)²+(b₁)²+(c₁)²) + 1/9*((a₂)²+(b₂)²+(c₂)²).

Напишем ещё три таких соотношения для трёх остальных граней:

(DO₃)²=1/3*((a₂)²+(b₂)²+(c₁)²) + 1/9*((a₁)²+(b₁)²+(c₂)²);

(DO₂)²=1/3*((a₂)²+(b₁)²+(c₂)²) + 1/9*((a₁)²+(b₂)²+(c₁)²);

(DO₁)²=1/3*((a₁)²+(b₂)²+(c₂)²) + 1/9*((a₂)²+(b₁)²+(c₁)²).

По условию DO₁=DO₂=DO₃=DO₄ приравняем, например, DO₁=DO₂, получаем :

1/3*((a₁)²+(b₂)²+(c₂)²) + 1/9*((a₂)²+(b₁)²+(c₁)²) = 1/3*((a₂)²+(b₁)²+(c₂)²) + 1/9*((a₁)²+(b₂)²+(c₁)²),

1/3*(a₁)² + 1/3*(b₂)² + 1/9*(a₂)² + 1/9*(b₁)² = 1/3*(a₂)² + 1/3*(b₁)² + 1/9*(a₁)² + 1/9*(b₂)²,

2/9*(a₁)² + 2/9*(b₂)² = 2/9*(a₂)² + 2/9*(b₁)²,

(a₁)² + (b₂)² = (a₂)² + (b₁)² (***),

Приравняв DO₃=DO₄, получаем :

1/3*((a₂)²+(b₂)²+(c₁)²) + 1/9*((a₁)²+(b₁)²+(c₂)²) = 1/3*((a₁)²+(b₁)²+(c₁)²) + 1/9*((a₂)²+(b₂)²+(c₂)²),