Развитие аналитической геометрии (стр. 2 из 4)

b²- 2dx = у² + 2rу.

Для этого он производит дополнение до квадрата

p¹-(х +d)² = (у + r)², где р² =r² + b² + d²,

затем пишет снова x вместо x + d и y вместо у + r и получает

p²-x² = у².

Следует заметить все же, что Ферма обходит молчанием вопрос об отрицательных координатах, какими оказываются координаты центра (-d, -r) в данной задаче (ибо d и r у него положительные). Разумеется, построить центр для него не представляло труда и в этом случае.

Основные уравнения конических сечений представляют собой у Ферма непосредственное выражение в терминах алгебры их свойств, известных по труду Аполлоиня. Для параболы это уравнения x² = dy и симметричное у² = dx, для эллипса (b²-x²)/y² = const (указывается, что в случае непрямого координатного угла кривая будет эллипсом и при const = 1), для гиперболы (b² + x²)/y² = const. Любопытно, что на рисунке в последнем случае изображены обе ветви гиперболы, хотя опять-таки об отрицательных координатах ничего не сказано. Кроме того, приводится уравнение равносторонней гиперболы ху=с. Все это распространяется на соответствующие уравнения, дополненные линейными членами.

На частном примере уравнения b²- 2x² = 2xy +у² Ферма разбирает и наиболее трудный случай, когда группа старших членов содержит и член с произведением координат. Его выкладки и построения соответствуют переходу к новой системе координат X,Y с прежним началом и осью ординат и с осью абсцисс, образующей угол 45° со старой. В этой системе Х =

х, Y =x + у, так что (2b² — X²)/Y²= 2 и фигура есть эллипс.

Изложив все это, Ферма писал: «Таким образом мы коротко и ясно изложили все, что оставили невыясненным древние относительно плоских и телесных мест»[4]. На самом деле был сделан лишь первый шаг к созданию нового типа геометрии, которая, между прочим, получила свое нынешнее наименование лишь в самом конце XVIII в.[5]

Аналитическая геометрия Декарта

«Введение» Ферма, долгое время остававшееся в рукописи, не нашло того широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта, изданная в 1637 г. О влиянии «Введения» на Декарта не может быть речи. Мы говорили уже, что все основные идеи «всеобщей математики», как в алгебраической, так и в геометрической части, имелись у ее творца не позднее 1632 г.

Изложение аналитической геометрии у Декарта во многом отличается от данного Ферма. В одном оно уступает, ибо разбросано по всем трем книгам «Геометрии» и даже во второй из них, содержащей наиболее важные элементы новой дисциплины, не имеет систематического характера, как во «Введении». Но в других отношениях геометрия Декарта имела решительные преимущества. Не говоря уже о том, что Декарт применял более развитую символику, что его изложение было доступнее и богаче примерами, он выдвинул несколько общих идей и предложений, весьма существенных для последующего.

Один из основных вопросов для Декарта заключался в следующем: какие линии служат предметом геометрии? Ответ определялся верой Декарта в то, что единственным общим методом математики является алгебраический. Сначала этот ответ формулируется в кинематических выражениях: геометрические линии — это те, которые «описаны непрерывным движением или же несколькими такими последовательными движениями. пз которых последующие вполне определяются им предшествующими.— ибо этим путем всегда можно точно узнать их меру»[6]. Напротив, из геометрии, т. е. собственно всеобщей математики, исключаются механические линии, описываемые «двумя отдельными движениями, между которыми и существует никакого отношения, которое можно было бы точно измерить»[7]. Примеры механических линий—спираль и квадратриса: в качестве примера геометрических приводятся кривые, описываемые некоторым шарнирным механизмом, число звеньев которого можно неопределенно увеличивать. Этот механизм, по идее сходный смезолабием предложенным Эратосфеном в III в. до н. э. для построения двух средних пропорциональных, Декарт изобрел между 1619 и 1621 гг.: в третьей части «Геометрии» показано, как можно с его помощью строить любое число средних пропорциональных между двумя данными отрезками

а : x₁ = x₁ : x₂ = x₂ : х₃ = ... =x_n: b.

Уравнения описываемых этим прибором линий

r² (x² + у²)^2n-1 = x⁴ⁿ (n = 0,1, 2,...)

Декарт не привел ни в общем виде, ни для частных значений п.

Кинематическое образование линий являлось отправным пунктом геометрии Декарта и применяется в ней неоднократно. Конечно, данная им при этом кинематическая характеристика геометрических линий как кривых, описываемых одним или несколькими непрерывными движениями, последовательно определяющими друг друга, не вполне отчетлива, так же как и заявление, что для проведения всех таких линий «нужно только то предположение, что две или несколько линий можно перемещать вдоль друг друга и что их пересечения образуют другие линии»[8]. Но в этих утверждениях, по сути дела, Декарт предвосхитил уже упоминавшуюся важную теорему английского ученого А. Кемпе (1876), согласно которой посредством плоских шарнирных механизмов можно описать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной трансцендентной. Свой кинематический способ деления линий на геометрические и механические Декарт тотчас облекает в более ясную аналитическую форму и здесь же предлагает классификацию первых. «Все точки линий,— пишет он,— которые можно назвать геометрическими, т. е. которые подходят под какую-либо точную и определенную меру, обязательно находятся в некотором отношении ко всем точкам прямой линии, которое может быть выражено некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек данной линии»[9]. В этом поистине замечательном по глубине месте своего сочинения Декарт вводит и метод прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой, а вместе с тем понятие о функции как аналитическом выражении, составленном из «неопределенных» отрезков xи у. Несколько перед тем Декарт объяснил, как описывать кривую или, вернее, строить любое число ее точек, вычисляя значения х по данным значениям у,— первой координатой у него служила у.

В 1684 г. Лейбниц назвал геометрические кривые Декарта алгебраическими, а механические — трансцендентными, мотивируя отказ от терминологии Декарта тем, что и механические линии не подлежат исключению из геометрии.

Непосредственно за изложенными общими соображениями Декарт приводит первую общую классификацию алгебраических кривых в зависимости от степени их уравнений, отнеся к роду п кривые с уравнениями степени 2п — 1 и 2п. Классификация требовалась прежде всего для всеобщей математики Декарта (стр. 30), а также была нужна в аналитической геометрии. Предложенное Декартом разделение кривых по родам, себя не оправдавшее, мотивировалось тем, что, по его мнению, кривые с уравнением степени 2п вообще не сложнее, чем с уравнением степени 2п — 1. Все трудности, связанные с четвертой степенью, писал он, приводятся к третьей, а трудности, связанные с шестой степенью,— к пятой и т. д. Общепринятой классификацией плоских кривых по порядкам мы обязаны Ньютону.

Но классификация кривых в прямолинейных координатах по родам или порядкам имеет смысл, если род или порядок кривой не зависит от выбора координатной системы. Это было Декарту ясно, и он, правда мимоходом, но вполне отчетливо, сформулировал фундаментальное предложение об инвариантности рода кривой при замене одной системы прямолинейных координат другой: «Действительно, хотя для получения более короткого и удобного уравнения и нужен весьма тщательный выбор, но все же, какими бы прямую и точку ни взяли, всегда можно сделать так, чтобы линия оказалась того же самого рода: это легко доказать»[10]. Впрочем, доказательство не приводится, да и формулы линейного преобразования координат у Декарта еще отсутствовали.

В качестве первого примера Декарт выводит уравнение линии ЕС, описанной точкой пересечения линейки GL и неопределенно продолженной стороны CNK плоской прямолинейной фигуры NKL, сторона которой KL движется вдоль данной прямой ВА, заставляя вращаться вокруг точки G линейку, неизменно проходящую при этом через точку L. Приняв GA, перпендикуляр к ВА, равным а, KL = b,NL = с, выбрав АВ за ось х и точку А за начало, Декарт обозначает «неопределенные и неизвестные величины» СВ = у, ВА = х. Тогда на основании подобия треугольников СВК и NLK, с одной стороны, и CBL и GAL — с другой, быстро выводится уравнение линии ECG

уу = су-

ху + ау - ас,