Развитие аналитической геометрии (стр. 3 из 4)

так что эта линия первого рода и, как указывает без доказательства Декарт, гипербола (пример этот подробно разобрали комментаторы латинского издания «Геометрии»).

Страница первого издания «Геометрии» Р. Декарта (1637):

начало вывода уравнения линии ЕС

Заменяя прямую CNK другими линиями, можно получать таким образом бесконечное множество кривых. Так, если CNK есть окружность с центром L, то будет описана конхоида (несомненно, что прием Декарта является как раз обобщением античного определения конхоиды), а если CNK есть парабола с диаметром KB, то возникает кривая второго рода, именно та, которую Ньютон впоследствии назвал трезубцем (ср. далее стр. 108). Вообще, заявляет Декарт, если образующая кривая имеет род п, то описанная линия будет рода п -)- 1. Это одна из немногих ошибок Декарта, который не довел, видимо, до конца легкие, по его собственным словам, вычисления. На самом деле, если в подвижной системе координат СВ = у,BL = х', уравнение линии CNK есть

f(x',y) = 0,

то кривая ECG имеет в прежних координатах уравнение

Неточность Декарта показал на частном примере еще Ферма. В рассмотренном только что примере нарисованы две взаимно перпендикулярные координатные оси, хотя и не в обычном для нас положении. Однако чаще всего Декарт, так же как Ферма и ближайшие поколения их последователей, чертил только одну ось с начальной точкой и указывал направление других координат, вообще говоря наклонных. Отрицательные абсциссы lie рассматривались, что иногда приводило к неточным или неполным чертежам. Эти замечания не относятся к Ньютону или Лейбницу. но правильное различение знаков координат и применение обеих осей стало обычным делом уже в XVIII в.

Силу своего метода Декарт затем демонстрирует на предложенной ему Я. Гоолем задаче Паппа о геометрическом месте к 2п или 2n- 1 прямым, которое определяется следующим образом: даны 2п (или 2n- 1) прямых, требуется найти геометрическое место таких точек, чтобы произведение отрезков, приведенных от них под данными углами к п из этих прямых, находилось в данном отношении к произведению аналогичных отрезков. проведенных к остальным п (или n- 1) прямым. Древние знали, что при п = 2 геометрическое место есть коническое сечение, но не оставили анализа и этого случая: случай же n > 2 остался нерассмотренным. Если мы запишем уравнение прямых в виде а_kх + b_kу + c_k = 0, то длины проведенных к ним отрезков d_k пропорциональны левым частям этих уравнений, и для нас отсюда ясно, что уравнение места будет, вообще говоря, кривой порядка п. Декарт, получив выражения для d_k в выбранной им косоугольной координатной системе из геометрических соображений, приходит к тому же общему результату. Более подробно он рассмотрел случаи n = 2 и п = 3. Это прежде всего место к трем или четырем прямым, исследование которого дает ему повод исследовать уравнение второго порядка, весьма общего, хотя и не самого общего вида. Пусть данные прямые суть АВ,AD,EF и GH, причем углы, образуемые с ними отрезками СВ,CD,CF и СH, проведенными из точек С искомого геометрического места, определяемого условием CB- -CF = CD-CH, известны (рис. 8). Декарт принимает одну из данных и одну из проведенных линий, именно АВ и ВС, за оси А В = х, ВС = у и обозначает данные длины отрезков ЕА = k,AG = l. Данными являются также углы треугольников на рис. 8, а значит, отношения их сторон

АВ : BR = z : b,CR : CD = z : с и т. д., где z, b, с, ... суть данные отрезки (Декарт не вводит синусы углов). После этого нее нужные отрезки выражаются через x, у, z,b, с, ..., k,l, линейно относительно х и у:

CB= y,

,

а условие CB·CF = CD·CH выражается уравнением второй степени без свободного члена, решение которого относительно у, после введения некоторых сокращенных обозначений, дает

Однородность полученного уравнения объясняется принятыми для отношений сторон выражениями и, в сущности, не была в глазах Декарта обязательной (ср. стр. 42), но представляла в данном случае то удобство, что в принципе позволяла сразу строить одни отрезки по другим. В приводимом несколько далее числовом примере однородность относительно буквенных величин не соблюдается в отличие от примера Ферма, в алгебре примыкавшего к Виету (ср. стр. 102).

Опираясь на теоремы I книги «Конических сечений» Аполлония, Декарт показывает, что полученное уравнение принадлежит коническому сечению, а в особых случаях, когда радикал обращается в нуль или корень извлекается нацело, оказывается прямой линией: в самостоятельном виде уравнение прямой отсутствует и о «вырождении» кривой второго порядка в пару прямых ничего не говорится. В ходе анализа выясняется, при каких знаках коэффициентов получаются парабола, гипербола и эллипс, в частности окружность, и определяются положение и форма конического сечения — в случае параболы

вершина, диаметр и «прямая сторона»[11], а в случае центральных кривых—центр вершины, «прямая сторона» и диаметры. Здесь же Декарт разбирает числовой пример, беря ЕА = 3, AG = 5, АВ = BR и т. д., а угол ABR равным 60°, так что уравнение есть уу = 2у — ху + 5x — хх: кривая при этом оказывается окружностью. Общее заключение гласит, что к первому роду принадлежат круг, парабола, гипербола и эллипс. Прямая не упоминается, — ее принадлежность к первому роду подчеркнул Дебон, который рассмотрел также случай, когда в уравнении нет членов с х²и у², но есть ху, оставленный Декартом в стороне.

Вслед за тем Декарт изучает еще место к пяти прямым и специально случай, в котором четыре прямые суть эквидистанты АВ,IH,ED,GF,а пятая GA к ним перпендикулярна (рис. 9), причем CF·CD·CH = СВ·СМ·а, где а — расстояние между соседними эквидистантами. Здесь появляется первое в истории аналитической геометрии уравнение кривой третьего порядка. Обозначив СВ = у, СМ = х, Декарт находит

у³ — 2ay² — аау + 2а³ = аху,

т. е. уравнение трезубца (см. стр. 106), и показывает, что эта кривая CEGможет быть, как он утверждал ранее, описана пересечением параболы CKN, диаметр которой KL = а движется по АВ, и линейки GL, вращающейся вокруг точки G и постоянно проходящей через точку L[12]. Он не упускает из виду, что искомым местом служит также кривая NIo, описанная пересечением GL с другой ветвью параболы (HKN), можно взять и сопряженные линии cEGc и пI0, получающиеся, если подвижная парабола обращена вершиной в другую сторону. Чертеж в «Геометрии» недостаточно отчетливо изображает вторую часть трезубца, который состоит из двух отдельных линий, имеющих каждая — в терминологии Ньютона — гиперболическую ветвь с асимптотой АВ и параболическую ветвь, лишенную асимптоты. Как и должно быть, кривая пересекает на чертеже горизонтальную ось при значениях у = — а, у = а, у = 2а, но точка перегиба у части, лежащей справа от асимптоты, не обозначена.

Большое место занимают в «Геометрии» исследование оптических овалов, рассматриваемых в биполярных координатах, и проведение нормалей. Вторая книга сочинения завершается краткими замечаниями о возможности распространения метода на пространственные кривые посредством проектирования их точек на две взаимно перпендикулярные плоскости и заявлением: «Я полагаю теперь, что ничего не пропустил из начал, необходимых для познания кривых линий»[13].

Конечно, в этих словах Декарта, как и в приведенной выше авторской оценке «Введения» Ферма, было несомненное преувеличение. Но действительно, перед геометрией раскрывались невиданно широкие перспективы. Историки науки немало спорили о том, имелась ли у Аполлония аналитическая геометрия и было ли творчество Ферма и Декарта в этой области новаторским. Ответ зависит от определения термина «аналитическая геометрия», который, как отмечалось в другой связи, понимается по-разному. Несомненно, что оба ученых чрезвычайно многим обязаны были древним и что в саму теорию конических сечений они не внесли каких-либо новых теорем, а также не построили ее в чисто аналитическом плане. И вместе с тем Декарт и Ферма закладывали фундамент поистине новой геометрии, хотя «симптомы» Аполлония и соответствовали буквенным уравнениям кривых второго порядка.

Дело в том, что, как правильно писал Г. Цейтен, «геометрическая форма, приданная методом древних самой алгебре, была причиной многочисленных комбинаций между средствами и объектом геометрического исследования — комбинаций, которые должны были оставаться довольно чуждыми аналитической геометрии, в особенности поскольку последняя стремилась превратить геометрические проблемы целиком в задачи исчисления»[14]. И до тех пор, пока средством исследования оставалась геометрическая алгебра, синтетическое рассмотрение неизбежно переплеталось с аналитическим, а в глазах некоторых ученых являлось принципиально господствующим. Ньютон, завершая свой вывод теоремы о том, что место к четырем прямым есть коническое сечение, писал: «Такое решение, как приведенное выше, т. е. исполняемое не с помощью исчисления, но геометрическим построением, и изыскивалось древними»[15]. Между тем после Ферма и Декарта и благодаря им начинает развиваться чисто аналитический метод исследования геометрических образов, в принципе не нуждающийся в обращении к геометрическим построениям и опирающийся лишь на алгебраическое исчисление. Такова общая, идейная сторона дела. К этому следует добавить, что новая алгебра давала средства изучения кривых любого порядка, первые примеры чего имеются уже у Декарта[16] (такое применение геометрической алгебры было невозможно), что система координат становилась свободной от связи с теми или иными исключительными точками и направлениями (например, диаметром и вершиной конического сечения), что приобретали право на существование отрицательные координаты и т. д. Мы не говорим уже о том, что в новой геометрии впервые нашло явное выражение понятие о функции, заданной формулой.