Развитие аналитической геометрии (стр. 1 из 4)
МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМ. А. А. КУЛЕШОВА
Реферат
Развитие аналитической геометрии
Выполнила
студентка
физико-математического
факультета
V курса, группы “Г”
Гуленкова Оксана
Могилев 2002.
Алгебраические методы в геометрии
Применение алгебры в геометрии имело к началу XVII в. долгую историю. Еще древние вавилоняне решали многие задачи на прямоугольные треугольники, выражая искомые отрезки, как корни численных квадратных уравнений; аналогичные приемы употреблялись впоследствии неоднократно. В классической! Греции важным средством геометрического исследования, в частности конических сечений, служила геометрическая алгебра, в которой место вычислений занимали построения отрезков.
Бурные успехи символической и числовой алгебры в XVI в. явились основой гораздо более обширных приложений алгебраического метода в геометрии, приведших к созданию новой аналитической геометрии. Первоначально работы в этом направлении не выходили за пределы традиционных постановок и решений вопросов, иногда довольно сложных. Большое число таких задач было рассмотрено Виетом, за которым последовали и другие, например Марин Геталдич (Гетальди, 1566—1627), уроженец югославского города Дубровник (Рагуза), в то время бывшего самостоятельной республикой. Ученик Хр. Клавия и хороший знаток греческих авторов, Гетальди испытал особенно сильное влияние Виета, с которым познакомился в бытность в Париже. В «Собрании различных задач» (Variorumproblematumcollectio, Veneliae, 1607) и посмертно изданном труде «О математическом анализе и синтезе» (Deresolutioneetcompositionemathematica, Romae, 1630) Гетальди средствами алгебры Виета решает разнообразные задачи на деление отрезков, построение треугольников и так называемые вставки (ср. т. I, стр. 84); по большей части его задачи выражаются уравнениями первой или второй степени относительно искомого неизвестного отрезка. В некоторых случаях применяется чисто геометрическое решение. Упомянем античную задачу о вставке между продолжением стороны квадрата и ближайшей перпендикулярной стороной отрезка данной длины, продолжение которого проходит через вершину квадрата, не лежащую на названных сторонах. Гетальди отнес задачу к тем, которые не относятся к алгебре (subalgebramnoncadunt), и решил ее геометрически. Данная задача привлекла внимание и других ученых. Жирар (1629) выразил ее уравнением четвертой степени и показал, как связан выбор знаков перед радикалами, входящими в его корни, с положением частей искомого отрезка. Декарт (1637) рассмотрел ее с целью привести пример уравнения четвертой степени, распадающегося на два квадратных (коэффициенты которых, между прочим, квадратично иррациональны относительно исходных коэффициентов). Попутно Декарт указал, как от более или менее удачного выбора неизвестной зависит сравнительная простота уравнения. Эти соображения Декарта подробнее развиты во «Всеобщей арифметике» Ньютона. Оригинальное решение принадлежит еще Гюйгенсу.
Алгебраическим решением геометрических задач занимались, как видно, очень многие. К уже названным можно добавить, например, имя английского алгебраиста Вильяма Отреда (1574—1660), на книге которого, озаглавленной, подобно одному из сочинений ал-Каши, «Ключ математики» (Clavismathematicae, Londini, 1631)[1], отразилось несомненное влияние «Собрания различных задач» Гетальди.
Аналитическая геометрия
Описанная алгебраическая трактовка вопросов геометрии подготовляла почву для создания аналитической геометрии, предметом которой является уже нс только нахождение отдельных отрезков, выражаемых корнями уравнений с одним неизвестным, но изучение свойств различных геометрических образов, прежде всего алгебраических линий и поверхностей, выражаемых уравнениями с двумя или более неизвестными или координатами.
Координаты появились еще в древности, притом в различных формах, между собой непосредственно не связанных. С одной стороны, это были географические координаты, именовавшиеся долготой и широтой, причем положение пунктов земной поверхности, изображенной в виде прямоугольника, характеризовалось парой чисел. Сходными были астрономические координаты, служившие для определения положения светил на небесной сфере. Другой вид координат представляли собой отрезки, зависимости между которыми, так называемые симптомы (см. т. I, 130), выражали определяющие свойства этих кривых. В этом случае речь шла не о числовых координатах любых точек с отсчетом от фиксированного меридиана и параллели, а об отрезках диаметров и хорд, связанных с точками рассматриваемой фигуры.
Своеобразной разновидностью координат были отрезки широт и долгот в теории изменения форм Орема. Здесь не было ни числовых координат любых точек, ни «симптомов», выраженных средствами геометрической алгебры; словесно сформулированная зависимость между широтой и долготой формы изображалась плоской линией.
Координатные отрезки древнегреческой геометрии стали известны в Европе частью по арабским сочинениям, но главным образом по трудам Архимеда и особенно Аполлония. Параллельные хорды или полухорды, сопряженные некоторому диаметру, Аполлоний называл, если перевести с греческого, «по порядку проведенными линиями», а отрезки этого диаметра от его конца до хорды — «отсеченными на диаметре по порядку проведенными (линиями)» (на рис. 6 соответственно у и x). В своем упоминавшемся ранее латинском издании «Конических сечений» (Венеция, 1566) Федориго Коммандино первые
выражения передал оборотом ordinatimapplicatae, т. е. «по порядку приложенные» (т. е. направленные)[2], а второе — quaeabipsisexdiametroadverticemabscinduntur, т. е. «которые отсекаются ими па диаметре от вершины». Отсюда берут начало термины abscissa, т. е. «отсеченная», ordinata и applicata, которые, впрочем, укоренились не сразу. Слово «абсцисса», встречавшееся в смысле отрезка у различных авторов, например Кавальерп (1635), становится техническим термином координатной геометрии в 1668 г. у Микеланджело Риччи (1619—1692) ii особенно у Лейбница, начиная с рукописей 1673 г. Ферма и Декарт в своих основоположных сочинениях по аналитической геометрии (1636—1637; писали еще об «отрезках диаметра». Слово «ордината» в нашем смысле применял другой переводчик па латынь «Конических сечений» — Франчсско Мавролико. Ферма пользовался термином applicata, Декарт — appliqueeparordre, т. е. французским переводом ordinatimapplicata, но также (в письме 1638 г.) словом ordonnee, которое незадолго перед тем в 1637 г. употребил в своем курсе П. Эригон (в латинском тексте 1644г.—ordinata); затем им стал регулярно пользоваться Лейбниц.
В середине XVIII в. слово «ордината» начинает вытеснять в геометрии на плоскости слово «аппликата». Обе координаты первоначально назывались неизвестными величинами, как у Ферма, или неопределенными, как у Декарта; слово «координаты» ввел в 1692 г. Лейбниц, имея в виду уже любые криволинейные координаты. Но еще и позднее понятие о координатах связывалось с отрезками диаметров и хордами плоских кривых. Так обстоит, например, дело в статьях «Abscissa, dieAbscisse» и «Ordinatae, ordinatimapplicatae, dieOrdinaten» «Математического словаря» (MathematischesLexicon, Leipzig, 1716) Xp. Вольфа (ср. стр. 35).
Термин «ось», который у Аполлония относился к взаимно перпендикулярным сопряженным диаметрам, употребил в более широком смысле И. Барроу (1670). Обозначение начальной точки буквой О восходит к ее наименованию origine — «начало», данному Ф. Лагиром в 1679 г.; двадцатью годами ранее Я. де Витт писал об initiumimmutabile, неподвижном начале. Декарт еще говорил о точке, с которой начинаются вычисления. Вернемся от истории терминологии к истории геометрических методов и идей.
Аналитическая геометрия Ферма
К разработке начал новой аналитической геометрии независимо друг от друга и одновременно приступили оба крупнейших французских математика XVII в.— Ферма и Декарт. Небольшое «Введение в изучение плоских и телесных мест» (Adlocospianosetsolidosisagoge) Ферма было написано несколько ранее 1637 г., но при жизни Ферма распространялось через Мерсепна и других только в рукописном виде. Напомним, что «плоские и телесные места» — термины греческой геометрии — означали прямые и окружности и соответственно эллипсы, параболы и гиперболы. Работа написана в обозначениях Виета с соблюдением однородности уравнений.
Ферма формулирует принцип аналитической геометрии следующим образом: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины (quantitatesignotae), налицо имеется место, и конец одной из них описывает прямую или же кривую линию... Для установления уравнений удобно расположить обе неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин»[3]. Как мы видим, под неизвестными величинами (координатами) Ферма понимает прямолинейные отрезки: первую из них он всякий раз обозначает NZ и алгебраически буквой А, а вторую соответственно ZI и Е. Затем по порядку рассматриваются различные плоские и телесные места.
Уравнение прямой, проходящей через начальную точку, Ферма выводит в форме
D на А равно В на Е,
т. е. dx = by (на рис. 7 нанесена лишь часть прямой NI, так как Ферма пользуется положительными координатами). К этому случаю приводится общее уравнение первой степени (с указанным ограничением) и несколько далее однородное уравнение второй степени, причем здесь говорится лишь об одной из двух возможных прямых. Первое приведение по существу состоит в преобразовании координат, именно в параллельном сдвиге вдоль горизонтальной оси: от уравнения вида с -dx = by Ферма переходит к d(r- х) = by, где dr = с. Идею преобразования координат путем параллельного переноса системы Ферма более отчетливо выражает в следующих примерах: установив сначала, что в прямоугольной системе уравнение окружности с центром в начальной точке есть b2-x2 = у2, он правильно характеризует общее уравнение окружности и для образца преобразует к основной форме уравнение