Расширения полей (стр. 5 из 7)

Доказательству этой теоремы мы должны предпослать несколько лемм:

Лемма 1. Пусть W, — алгебраическое расширение поля Р. Достаточным условием для того, чтобы W было алгебраически замкнутым, является разложение на линейные множители любого многочлена из P[x] в кольце W[x].

Доказательство. Пусть f(x) — произвольный многочлен из W[x]. Если он не разлагается на линейные множители, то можно присоединить некоторый его корень a и прийти к собственному надполю W'. Элемент aявляется алгебраическим над W, а W является алгебраическим расширением поля P; следовательно, элемент aалгебраичен и над Р. Поэтому он является корнем некоторого многочлена g(x) из P[x].Этот многочлен разлагается в W[x]на линейные множители. Следовательно, a —корень некоторого линейного множителя в W[x],т. е. принадлежит полю W, что противоречит предположению.

Лемма 2. Если поле Pвполне упорядочено, то кольцо многочленов P[x] может быть вполне упорядочено и притом так, что в этом упорядочении поле Pбудет отрезком.

Доказательство. Определим отношение порядка между многочленами f(x) из P[x]следующим образом: пусть f(x)<g(x),когда выполнено одно из условий:

1) степень f(x) меньше степени g(x);

2) степень f(x) равна степени g(x) и равна n, т. е.

f(x) = а₀хⁿ + ...+ а_n,g (x) = b₀хⁿ + ... + b_n

и при некотором индексе k:

а_i = b_iдляi<k,

a_k<b_k, в смысле упорядочения поля Р.

При этом для многочлена 0 делается исключение: ему присваивается степень 0. Очевидно, что таким способом получается некоторое упорядочение, в смысле которого P[x] вполне упорядочено. Показывается это так: в каждом непустом множестве многочленов есть непустое подмножество многочленов наименьшей степени; пусть таковая равна п. В этом подмножестве есть непустое подмножество многочленов, коэффициент а₀ которых является первым в смысле имеющегося порядка среди свободных членов рассматриваемых многочленов; в указанном подмножестве есть в свою очередь подмножество многочленов с первым а₁и т. д. Подмножество с первым а_n которое в конце концов получится, может состоять лишь из одного-единственного многочлена (так как а₀, ..., а_nопределяются однозначно благодаряпоследовательно выполняемому условию минимальности в выборе); этот многочлен является первым элементом в заданном множестве.

Лемма 3. Если поле P вполне упорядочено и заданы многочлен f(x)степени n и n символов a₁ ..., a_n то поле P (a₁ ,..., a_n), в котором f(x) полностью разлагается на линейные множители

_n

Õ(x-a_i), строится единственным образом и является вполне

¹

упорядоченным. Поле Pв смысле этого порядка является отрезком.

Доказательство. Мы будем присоединять корни a₁ ..., a_nпоследовательно, вследствие чего из P = Р₀ последовательно будут возникать поля Р₁, ..., Р_n. Предположим, что Р_i-1 = P(a₁ ..., a_i-1) — уже построенное поле и что P — отрезок в Р_i-1; тогда Р_i будет строиться так.

Прежде всего в силу леммы 2 кольцо многочленов Р_i-1[x] вполне упорядочивается. Многочлен f разлагается в этом кольце на неразложимые множители, среди которых на первом месте будут стоять x - a₁,..., x - a_i-1; среди остальных множителейпусть f_i(x)будет первым в смысле имеющегося порядка. Вместе с символом a_iобозначающим корень многочлена f_i(x), мы определяем поле Р_i= P_i-1 как совокупность всех сумм

_h-1

åc_la^l_i

⁰

где h —степень многочлена f_i(x). Если f_i(x) линеен, то, конечно, мы полагаем Р_i= P_i-1; символ a_iв этом случае не нужен. Построенное поле вполне упорядочивается с помощью следующего условия: каждому элементу поля

_h-1

åc_la^l_i

⁰

сопоставим многочлен

_h-1

å c_lx^l_i

⁰

и элементы поля упорядочим точно так же, как упорядочены соответствующие им многочлены.

Очевидно, тогда Р_i-1 является отрезком в Р_i, а потому и P — отрезок в Р_i.

Тем самым поля Р₁ ,..., Р_n построены н вполне упорядочены. Поле Р_n является искомым однозначно определенным полем P(a₁ ,..., a_n).

Лемма 4. Если в упорядоченном множестве полей каждое предшествующее поле является подполем последующего, то объединение этих полей является полем.

Доказательство. Для любых двух элементов a, b объединения существуют два поля S_a, S_b, которые содержат a, и b и из которых одно предшествует другому. В объемлющем поле определены элементы a + b и a×b и именно так определяются эти элементы в каждом из полей, содержащих a и b, потому что из любых двух таких полей одно предшествует другому и является его подполем. Например, чтобы доказать закон ассоциативности

ab • g = a • bg,

найдем среди полей S_a, Sb, S_g то, которое содержит два других поля (наибольшее); в этом поле содержатся a, b и g и в нем закон ассоциативности выполнен. Тем же способом проверяются все остальные правила вычислений с элементами объединения.

Доказательство основной теоремы распадается на две части: построение поля W и доказательство единственности.

Построение поля W.. Лемма 1 свидетельствует о том, что для построения алгебраически замкнутого расширения W поля P достаточно построить такое алгебраическое расширение поля Р, чтобы каждый многочлен из Р[x]разлагался над этим расширением на линейные множители.

Будем считать, что поле Р, а потому и кольцо многочленов P[x], вполне упорядочены. Каждому многочлену f(x) сопоставим столько новых символов a₁ ,..., a_n какова его степень.

Далее, каждому многочлену f(x) сопоставим два вполне упорядоченных поля Р_f, S_f, которые определяются следующим рекуррентным способом.

1. Поле Р_fявляется объединением поля Р и всех полей S_g для g<f.

2. Поле Р_f вполне упорядочивается так, чтобы Р и все поля S_g при g<fбыли отрезками в Р_f

3. Поле S_fполучается из Р_f присоединением всех корней многочлена f с помощью символов a₁ ,..., a_nв соответствии с леммой 3.

Нужно доказать, что таким способом действительно однозначно определяются вполне упорядоченные поля Р_f , S_f, если только уже определены все предыдущие Р_g, S_gперечисленным выше требованиям.

Если выполнено требование 3, то прежде всего Р_f— отрезок в S_f. Из этого и из требования 2 следует, что поле Р и каждое поле S_g (g<f) являются отрезками в S_f. Предположим, что рассматриваемые требования выполнены для всех предыдущих индексов f, так что

Р — отрезок в S_h при h<f,

S_g— отрезок в S_h при g<h<f.

Отсюда следует, что поле Р и поля S_h (h<f) составляют множество того типа, о котором говорит лемма 4. Следовательно, объединение этих полей снова является полем, которое в соответствии с требованием 1 мы должны обозначить через Р_f. Структура вполне упорядоченного поля на Р_fоднозначно определяется требованием 2, потому что любые два элемента а, bиз Р_f, принадлежат одному из полей Р или S_g и поэтому связаны отношением a<bили а>b, которое должно сохраняться в Р_f. Эго отношение порядка является одним и тем же во всех полях Р или S_g, которые содержат как а, так и b, потому что все эти поля являются отрезками друг друга. Итак, отношение порядка определено. То, что оно определяет вполне упорядоченное множество, очевидно, так как каждое непустое множество x в Р_fсодержит по меньшей мере один элемент из Р или из некоторого поля S_g, а потому и первый элемент из xÇ Р или из xÇS_g. Этот элемент одновременно является и первым элементом в x.

Таким образом, поле Р_fвполне упорядочивается с помощью требовании 1 и 2. Так как поле S_f, однозначно определяется требованием 3, поля Р_fиS_fпостроены.

В силу условия 3 многочлен f(x) полностью разлагается на линейные множители в поле S_f. Далее, с помощью трансфинитной индукции показывается, что S_fявляется алгебраическим над Р. Действительно, предположим, что все поля S_g (g<f) уже алгебраические. Тогда и их объединение с полем Р, т.е. поле Р_f, алгебраическое. Далее, поле S_f в силу условия 3 алгебраично над Р_f, а потому алгебраичнои над Р.

Составим теперь объединение W всех полей S_f; согласно лемме 4 оно является полем. Это поле алгебраично над Р и над ним разлагаются все многочлены f (так как каждый многочлен f разлагается уже над S_f). Следовательно, поле W алгебраически замкнуто (лемма 1).