Решение задач с помощью ортогонального проектирования (стр. 5 из 7)

С помощью вспомогательного луча l строим точку Н (опорная задача3). Далее искомое сечение строится так, как это сделано способом выносных чертежей.

4.1. Расстояние от точки до прямой.

Для определения расстояния от точки до прямой обычно рассматривают треугольник, одной из вершин которого является заданная точка, а две другие лежат на заданной прямой. Искомое расстояние находят как высоту этого треугольника , для чего в большинстве случаев подсчитывают сначала стороны треугольника. Вычисление сторон треугольника и затем его высоты выполняют поэтапно-вычислительным методом.

Задача 9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ АВ=АA₁=а, AD=3a. На ребре A₁B₁ взята точка Р – середина этого ребра, а на ребре AD – точка Q, такая, что AQ:AD=2:3. Найти расстояние от вершины D₁ до прямой PQ.

Решение. (рис. 23). 1 способ. Подсчитаем стороны треугольника D₁PQ. Из прямоугольного треугольника D₁DQD₁Q=a√2. Из прямоугольного треугольника A₁D₁P

В плоскости АВB₁ через точку P проведем прямую PP’║AA₁ и точку P’ соединим с точкой Q. Из прямоугольного треугольника РР’Q:

Если далее в треугольнике D₁PQD₁H┴PQ, то

2 способ. Координатный метод решения (рис. 24). Введем в пространстве прямоугольную систему координат Вxyz, приняв за ее начало точку В, за единицу измерения отрезок, равный АВ, а за координатные оси Вх, Ву и Вz соответственно прямые ВА, ВС и ВВ₁ с направлением на них от точки В к точкам А, С и В. Тогда в этой системе координат В(0; 0; 0), А(а; 0; 0), С(0;3а;0) и В₁(0; 0; а).

Найдем координаты точек D₁, Рисунка и Q. Получаем D₁ (а; 3а; а), P(½а; 0; а) и Q (а; 2а; 0).

Теперь подсчитаем cosD₁PQ. По теореме косинусов получаем

Это и есть искомое расстояние.

4.2. Расстояние от точки до плоскости.

Можно предложить следующий план нахождения расстояния от заданной точки W до заданной плоскостиα поэтапно-вычислительным методом:

1. Построим плоскость β, проходящую через точку W перпендикулярно какой-нибудь прямой m₁, лежащей в плоскости α.

2. Найдем прямую m₂ – линию пересечения плоскостей β и α.

3. Выберем на прямой m₂ какие-нибудь две точки U и Т и подсчитаем высоту WH треугольника WUT.

Так как прямая m₁ перпендикулярна плоскости β, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости β, и, в частности,

m₁┴WH. Таким образом, WH┴ m₁ и WН┴ m₂, т. е. прямая WН перпендикулярна плоскости α, и, значит, WH – искомое расстояние.

Задача 10. В заданном прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ с соотношением ребер АВ:АD:АA₁=1:2:1 точка Р- середина ребра АA₁. Найти расстояние от вершины D₁ до плоскости В₁DР, считая АВ=а.

Решение (рис. 25). Находим прямую S₁S₂ – след плоскости B₁DP на плоскости A₁B₁C₁ и строим сечение параллелепипеда заданной плоскостью B₁DP. Проведем решение в соответствии с предложенным выше планом.

1. Построим плоскость β, проходящую через точкуD₁ перпендикулярно, например, прямой S₁S₂ , лежащей в плоскости B₁DP. Одна прямая, проходящая через точку D₁ и перпендикулярная прямой S₁S₂ , на изображении уже есть – это прямая DD₁. Для построения второй прямой подсчитаем стороны прямоугольного треугольника D₁S₁S₂ . Ясно, что D₁S₁=2D₁А₁=4а, D₁S₂=2D₁С₁=2а, и тогда

Если D₁L┴ S₁S₂, то в треугольнике D₁S₁S₂ D₁S₁² = S₁L∙ S₁S₂, откуда

Таким образом, точка L может быть построена с помощью вспомогательного луча l. Прямыми D₁D и D₁L определяется плоскость β.

2. Найдем прямую, по которой пересекаются плоскости β и B₁DP. Так как точки D и L – общие точки этих плоскостей, то прямая DL – линия их пересечения.

3.

Подсчитаем расстояние от точки D₁ до прямой DL. Если D₁Н – высота треугольника D₁DL, то выражая площадь этого треугольника двумя способами, получим: D₁H∙DL= DD₁∙ D₁L,

4.3. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми а и b можно использовать следующий план:

1. На одной из данных прямых, например на прямой b, выбираем некоторую точку W и строим плоскость α, определяемую прямой α и точкой W.

2. В плоскости α через точку W проводим прямую а₁а║а.

3. Строим плоскость β, определяемую пересекающимися прямыми а₁ и b.

Ясно, что так как прямая α параллельна прямой а₁ , то прямая α параллельна и плоскости β. Поэтому точки прямой а одинаково удалены от плоскости β. Расстояние от любой точки U прямой а до плоскости β равно расстоянию между скрещивающимися прямыми а и b. Таким образом, задача нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми может быть сведена к задаче нахождения расстояния от точки до плоскости.

Задача 11. В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проектируется в точку О – середину ребра АВ, и угол АМВ=90⁰. На ребре МА взята P – середина этого ребра, а грани МВС взята точка Q, в которой пересекаются медианы грани МВС. Найти расстояние между прямыми АВ и PQ, если ВС=а.

Решение (рис. 26). Выполним дополнительные построения в соответствии с рекомендуемым выше планом.

1.

Через прямую АВ и точку P, лежащую на другой заданной прямой, уже проведена плоскость α – это плоскость МАВ.

2. В плоскости МАВ через точку Р проведем прямую РК║АВ.

3. Строим плоскость β, определяемую прямыми PQ и РК.

Ясно, что так как точка Q – точка пересечения медиан треугольника МВС, то прямая KQ пройдет через вершину С.

Таким образом, в сечении пирамиды плоскостью β получаем треугольник СКР. Так как прямая АВ║РК, то прямая АВ параллельна плоскости СКР. Найдем расстояние, например, от точки О –середины ребра АВ до плоскости СКР. Для этого через точку О проведем плоскость γ , перпендикулярную какой-нибудь прямой. Лежащей в плоскости СКР, например, прямой РК.

Так как прямая РК║АВ, то плоскость γ будет тогда перпендикулярна и прямой АВ. Итак, в плоскости МАВ прямая ОМ перпендикулярна прямой АВ, и, легко убедиться, в плоскости АВС прямая ОС перпендикулярна прямой АВ. Тогда плоскость, определяемая пересекающимися прямыми ОМ и ОС, - это и есть плоскость γ перпендикулярная прямой АВ, т. е. и прямой РК.

Находим линию пересечения плоскостей СКР и γ – прямую CL. Расстояние от точки О до прямой СL равно расстоянию между скрещивающимися прямыми АВ и PQ. Найдем его как высоту прямоугольного треугольника LCO. Если ОН – высота этого треугольника, то ОН∙СL=OC∙OL, где из прямоугольного треугольника АВС находим ОС=½АВ=½ а√2, из прямоугольного треугольника МАВ OL=½OM=¼ a√2, и из прямоугольного треугольника LCO

Таким образом, искомое расстояние ОН.

4.4. Угол между скрещивающимися прямыми.

При решении задач на нахождение угла φ между скрещивающимися прямыми а и b в общем случае можно поступить следующим образом:

1. Через одну из данных прямых, например через а, и через какую-нибудь точку W, взятую на другой прямой, проведем плоскость α.

2. В плоскости α через точку W проведем затем прямую а₁║а.

Угол между прямыми а₁ и b равен искомому углу φ. (если φ-угол между прямыми, 0 ≤ φ ≤ 90º.)

3. Выбрав на прямой а₁ какую-нибудь точку К и на прямой b – точку L, получим треугольник WKL. Если этот треугольник не прямоугольный, то, подсчитав все его стороны, по теореме косинусов находим cosKWL. Понятно, что если cosKWL>0, то угол острый, т.е. cosφ=cosKWL. Если же cosKWL<0, то угол KWL тупой, т.е. φ=180º-KWL. Но cos(180º- KWL)= - cos KWL. Таким образом, в этом случае cosφ= - cosKWL.

Задача 12. Все боковые грани призмы ABCA₁B₁C₁ –квадраты. На ребрах АВ, A₁C₁, A₁B₁ и CС₁ взяты соответственно точки P, Q, R, С₂ – середины этих ребер. Найти угол между прямыми PQ и С₂R.