Решение задач с помощью ортогонального проектирования (стр. 6 из 7)

Решение (рис. 27). Выполним сначала необходимые дополнительные построения.

1. Через прямую С₂R и точку Р, взятую на прямой PQ, проведем плоскость α, в результате чего получим сечение призмы – четырехугольник PRС₁C.

2. В плоскости α через точку P проведем прямую PC₃║ С₂R. Угол между прямыми PQ и PC₃ равен искомому углу.

3. На прямой PQ возьмем точку Q, а на прямой PC₃ – точку C₃ и найдем cosQPC₃.

Подсчитаем с этой целью стороны треугольника QPC_3. Для выполнения необходимых подсчетов пусть ребро призмы равно а.

В прямоугольном треугольнике PСC₃ СР=½ а√3, СC₃=С₁С₂=½ а.

В прямоугольном треугольнике QС₁С₃ С₁Q=½ а, С₁С₃=½ 3а.

Соединим точку R с точкой Q. В прямоугольном треугольнике PQRPR=a, QR=½ a.

Итак, в треугольнике PQС₃ известны все стороны. Далее С₃Q²= =С₃P²+PQ²-2 С₃P·PQcosQPC₃,

Таким образом, угол QPC₃ тупой, поэтому искомый угол φ=180º- QPC₃, и, значит, cos φ =cos(180º- QPC₃)= - сosQPC₃.

4.5. Угол между прямой и плоскостью.

При решении задач этого типа применяется либо поэтапно-вычислительный метод, либо геометрический. Пусть в задаче требуется найти угол φ между прямой АВ и плоскостью α. При решении задачи поэтапно-вычислительным методом необходимо сначала построить проекцию прямой АВ на плоскость α. Для этого следует из какой-нибудь точки прямой АВ опустить перпендикуляр на плоскость α. Затем необходимо подсчитать какие-нибудь две стороны полученного треугольника, в который входит угол φ, и найти какую-либо тригонометрическую функцию угла φ, а потом и сам угол.

Задача 13. В правильной призме ABCA₁B₁C₁ угол между прямыми АB₁ и A₁С равен 2α. Найти угол между прямой BC₁ и плоскостью AСC₁.

Решение (рис. 28). Выполним дополнительные построения. В плоскости ABB₁ через точку A₁ проведем прямую, параллельную прямой B₁А, и точку пересечения построенной прямой с прямой ВА обозначим D. Тогда угол DA₁C=2α. Соединим точку D с точкой С и проведем в треугольнике A₁CD медиану A₁К. Так как заданная призма – правильная, то ее боковые грани – равные прямоугольники, и, следовательно, B₁А=A₁C. Кроме того, B₁А=A₁D. Тогда и A₁D=A₁C, т. е. в треугольнике A₁CDA₁К┴СD. Проведем далее в равностороннем треугольнике АВС медиану ВМ. Тогда ВМ┴АС. Но ясно и то, что прямая A₁А перпендикулярна плоскости АВС, т. е. A₁А┴ВМ, или, наоборот, ВМ ┴ A₁А. Так как прямая ВМ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости AСС₁, и, значит, соединив точку М с точкой С₁, получим прямую С₁М – проекцию прямой ВС₁ на плоскость AСС₁ и прямоугольный треугольник С₁ВМ, угол ВС₁М которого является углом между прямой ВС₁ и плоскостью АСС₁.

Рассмотрим прямоугольные треугольники С₁ВМ и А₁DK. У них С₁В=А₁D, и так как в треугольнике АCDCD=АС√3, то DK=½АС√3. Но и а треугольнике АВС ВМ=½АС√3. Таким образом, ВМ=DK. Итак, прямоугольные треугольники С₁ВМ и А₁DK равны (по гипотенузе и катету). Тогда углы ВС₁М и DА₁K равны. Но ясно, что угол DА₁K=α. Следовательно, и угол ВС₁М=α.

4.6. Угол между плоскостями.

Пусть П₁ и П₂ – данные плоскости, пересекающиеся по прямой АВ (рис. 29). Через некоторую точку F прямой АВ проведем в плоскости П₁ прямую FC^AB, а в плоскости П₂ прямую FD^AB. Плоскость CFD, таким образом, перпендикулярна прямой АВ, и угол jмежду прямыми FC и FD является углом между плоскостями П₁ и П₂ . По определению угла между прямыми 0°<j£90°.

Одним из методов решения задач на нахождение угла между плоскостями является поэтапно-вычислительный метод. Применение этого метода может опираться на использование формулы

, где S_ф-площадь фигуры F, лежащей в одной из плоскостей П₁ или П₂ , S_пр- площадь ортогональной проекции фигуры Ф на другую плоскость из этих плоскостей, j - угол между плоскостями П₁ и П₂ . В некоторых же случаях применение поэтапно-вычислительного метода связано с необходимостью построения угла j между плоскостями и затем треугольника, содержащего угол j или угол j₁=180°-j. Подсчитывая стороны этого треугольника, находят какую-либо тригонометрическую функцию угла j (или угла j₁), а затем и угол j.

Если рассматриваемый треугольник не является прямоугольным, то обычно находят cosj (или cosj₁). Если при этом cosj =m³0, то угол j - это искомый угол и j=arcosm; если cosj =m<0, то искомым является угол j₁=180°--j. В этом случае угол cosj₁=cos(180°--j)= -cosj , и, следовательно, j₁=arcos(-m).

Задача 14. На ребрах АС и МА правильного тетраэдра МАВС взяты соответственно точки К и L – середины этих ребер. Найти угол между плоскостями BLK и МАС.

Решение (рис. 30). Построим угол между плоскостями BLK и МАС. Для построения перпендикуляра из точки В на прямую LK – линию пересечения плоскостей BLK и МАС воспользуемся тем, что в треугольнике BLKBL=BK (как медианы равносторонних треугольников). Тогда медиана ВР является перпендикуляром к стороне LK. Так как в треугольнике ALKAL=AK, то медиана АР перпендикулярна стороне LK. Таким образом, угол между прямыми ВР и АР – угол между плоскостями BLK и МАС.

Пусть прямая АР пересекает ребро МС в точке N. Найдем угол ВРА треугольника ВРА. Полагая для выполнения подсчетов ребро тетраэдра равным а, получаем

Из прямоугольного треугольника ВРК, в котором находим, что

Теперь в треугольнике ВРА известны все стороны. По теореме косинусов получаем

или

Так как cosBPA<0. то ÐВРА – тупой. Таким образом, углом между прямыми ВР и АР является угол j=180°-ÐВРА. Тогда cos j=cos (180° -ÐВРА)=--cos BPA=

Итак, угол между плоскостями BLK и МАС – j=arccos

4.7. Двугранный и многогранный углы.

Если j - величина двугранного угла, то 0°<j<180°. При решении задач на нахождение двугранного угла могут быть применены геометрический, а также поэтапно-вычислительный методы. Применение поэтапно-вычислительного метода связано необходимость построения линейного угла искомого двугранного угла j и с построением треугольника, содержащего этот угол j или угол j₁=180°-j.Подсчитывая стороны построенного треугольника, находят угол j.

Задача 15. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник. Боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, и АС=ВС. На ребре МС взята точка К – середина этого ребра. Найти двугранный угол ВКАС, если: а)МВ=АС; б)МВ=2АС.

Решение а) (рис. 31, а). Геометрический метод. Так как прямая МВ перпендикулярна плоскости АВС, то МВ^АС, т. е. И АС^МВ. Таким образом, АС^ВС и АС^МВ, следовательно, АС^ВК, т. е. и ВК^АС (1).

Так как в треугольнике МВС МВ=ВС, то ВК не только медиана этого треугольника, но и ВК^МС (2).

Из результатов (1) и (2) следует, что прямая ВК перпендикулярна плоскости МАС. Тогда плоскость АВК, проходящая через прямую ВК, также перпендикулярна плоскости МАС. Другими словами, двугранный угол ВАКС равен 90°.

б) (рис. 31, б) Поэтапно-вычислительный метод. Построим линейный угол искомого двугранного угла, ребром которого является прямая АК, а гранями – полуплоскости ВАК и САК.

1. В треугольнике АСК через вершину С проведем прямую, перпендикулярную ребру АК искомого двугранного угла. Подсчитаем для этого все стороны треугольника АСК, полагая, например, АС=а. Тогда ВС=а, МВ=2а, МС=аÖ5, СК=½СМ=½Ö5, АК²=АС²+СК², т. е. АК=

.

Если СН^АК, то СН·АК=АС·СК, откуда СН=

. Тогда АН= , и, следовательно, АН:АК=4:9, откуда ясно построение точки Н и затем прямой СН, которая перпендикулярна прямой АК.

2. В треугольнике АВК через вершину В проведем прямую, перпендикулярную ребру АК двугранного угла ВАКС. Для этого подсчитаем стороны треугольника АВК. Получаем АВ=аÖ2, ВК=½МС=½а√2 и АК=

.

Если BF^АК, АВ²-AF²=ВК²-KF², или 2а²-AF²=

откуда AF=а, и, следовательно, AF:АК=2:3. Таким образом, ясно построение точки F и затем прямой BF, которая перпендикулярна прямой АК.