Замечание 1.
В математике называют пространством
= (a, b) совокупность функций ƒ(x), интегрируемых в лебеговом смысле на [a, b] вместе со своими квадратами, для которых введено скалярное произведение по формуле (11). Рассматриваемое пространство есть часть . Пространство обладает многими свойствами пространства , но не всеми.Из свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Буняковского | (ƒ , φ ) |≤ (ƒ , ƒ )½ (φ , φ ) ½, которое на языке интегралов выглядит так:
Величина
называется нормой функции f.
Норма обладает следующими свойствами:
1) || f || ≥ 0, при этом равенство может быть только для нулевой функции f = 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может, конечного числа точек;
2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;
3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,
где α – действительное число.
Второе свойство на языке интегралов выглядит так:
и называется неравенством Минковского.
Говорят, что последовательность функций { fn}, принадлежит к
,сходится к функции принадлежит в смысле среднего квадратического на [a, b] (или ещё по норме ), еслиОтметим, что если последовательность функций ƒn (x) сходится равномерно к функции ƒ(x) на отрезке [a, b], то для достаточно больших n разность ƒ(x) - ƒn(x) по абсолютной величине должна быть мала для всех х из отрезка [a, b].
В случае же, если ƒn(x) стремится к ƒ(x)в смысле среднего квадратического на отрезке [a, b], то указанная разность может и не быть малой для больших n всюду на [a, b]. В отдельных местах отрезка [a, b] эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл от её квадрата по отрезку [a, b] был мал для больших n.
Пример. Пусть на [0, l] заданна изображенная на рисунке непрерывная кусочно-линейная функция ƒn(x) (n = 1, 2,…), причем
(Бугров, стр. 281, рис. 120)
При любом натуральном n
и, следовательно, эта последовательность функций, хотя и сходится к нулю при n → ∞, но неравномерно. Между тем
т. е. последовательность функций {fn (х)} стремится к нулю в смысле среднего квадратического на [0, 1].
Из элементов некоторой последовательности функций ƒ1, ƒ2, ƒ3,… (принадлежащих
) построим рядƒ1 + ƒ2 + ƒ3 +… (12)
Сумма первых его n членов
σ n = ƒ1 + ƒ2 + … + ƒn
есть функция, принадлежащая к
. Если случится, что в существует функция ƒ такая, что|| ƒ- σn|| → 0 (n → ∞),
то говорят, что ряд (12) сходится к функции ƒ в смысле среднего квадратического и пишут
ƒ = ƒ1 + ƒ2 + ƒ3 +…
Замечание 2.
Можно рассматривать пространство
= (a, b) комплекснозначных функций ƒ(x) = ƒ1(x) + iƒ2(x), где ƒ1(x) и ƒ2(x) – действительные кусочно – непрерывные на [a, b] функции. В этом пространстве функции умножаются на комплексные числа и скалярное произведение функций ƒ(x) = ƒ1(x) + iƒ2(x) и φ(х) = φ1(х) +i φ2(х) определяется следующим образом:а норма ƒ определяется как величина
2.1. Интегралы от периодических функций.
Пусть ƒ(x) – периодическая функция, с периодом Т, интегрируемая на любом сегменте вида [х0, х0+Т]. Тогда величина интеграла
остаётся при любом х0 одной и той же: для любых х0, х0'.
2.2. Интегралы от некоторых тригонометрических функций.
Укажем значения некоторых интегралов:
(k = 1,2,…), (13)
(k =1,2,..; m =1,2,…), (14)
(15)
(k =1,2,…; m =1,2,…; k ≠ m),
(k =1,2,…) (16)
Теперь можем вычислить коэффициенты Фурье akи bk ряда (2). Для разыскания коэффициента an при каком-либо определенном значении n≠0 умножим обе части равенства (2) на cosnx и произведя математические операции в пределах от –π до π, получим:
(17) (18) Коэффициенты, определенные по формулам (4), (17), (18) называются коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а составленный тригонометрический ряд (18) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции ƒ(x).В некоторых случаях, для более узких классов функций, формулы (17), (18) были известны ещё Эйлеру. Таким образом, эти формулы ещё называют формулами Эйлера-Фурье.
Обратим внимание, что постоянная
в (2) пишется в таком виде, чтобы придать единообразие формулам (17) и (18).Вышеприведенные соображения показывают, что поиски тригонометрического разложения данной функции целесообразно начать с изучения её ряда Фурье, откладывая на потом строгое изучение вопроса о том, для каких функций ряд сходится, и притом именно к данной функции. Пока же этого не сделано, функции ƒ(x) сопоставляют её формальный ряд Фурье, что обычно записывают в виде:
ƒ(x) ~ , (19)про который известно, что его коэффициенты вычислены по функции ƒ(x) по формулам Эйлера – Фурье (4), (17) и (18), но ничего не утверждается о его сходимости и тем более – о его сходимости к данной функции.
Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него разлагаться. Из сказанного выше следует только, что некоторая функция допускает разложение в равномерно сходящийся ряд вида (19), то этот ряд будет её рядом Фурье.
3. Признаки сходимости рядов Фурье. (стр. 331, Пискунов)
Зададим вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный, для неё ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?
Сформулируем теорему, которая даст достаточные условия представимости функции ƒ(x) рядом Фурье. (из Пискунова)
Определение. Функция ƒ(x) называется кусочно- монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х1, х2, …,хn-1 на интервалы (а, х1), (х1, х2),…, (хn-1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастающая, либо неубывающая.
Теорема.
Если периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π – кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [-π, π], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда s(x) равна значению функции ƒ(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции ƒ(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции ƒ(x)справа и слева, т. е. если х = с – точка разрыва функции ƒ(x), то
.Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики.