Пустьимеется n+1переменнаяx1,x2,..., xn,y, которыесвязаны междусобой так,что каждомунабору числовыхзначений переменныхx1,x2,..., xnсоответствуетединственноезначение переменнойy. Тогдаговорят,что заданафункция fот nпеременных.Число y,поставленноев соответствиенабору x1,x2,..., xnназываетсязначениемфункции fв точке (x1,x2,..., xn),что записываетсяв виде формулыy = f(x1,x2,...,xn)или y =y(x1,x2,...,xn).
Переменныеx1,x2,..., xnявляются аргументамиэтой функции,а переменнаяy функциейот n переменных.
Далеебудем говоритьлишь о функциидвух переменных.Для функцийбольшего числапеременныхвсе факты,о которых будетидти речь,или аналогичныили сохраняютсябез всякогоизменения.Аргументыфункции двухпеременныхбудем обозначатькак правилоx иy, азначение функцииz.
МножествоDназываетсяобластьюопределенияфункции.
Посколькулюбую паручисел x,yможно рассматриватькак пару координатточки Mна плоскости,вместо z=f(x,y)можно писатьz=f(M).Приэтом аргументамифункции будуткоординатыx,y точкиM.
Числаx,yможно рассматриватькак координатывектора
Графикфункции двухпеременныхесть множествоточек (x,y,f(x,y)),где (x,y)D.График представляетсобой некоторуюповерхность.Пример такой
поверхностиприводитсяна рисунке 1.
Однимиз подходовк исследованиюфункций двухпеременныхявляется изучениеповеденияфункции в точке,то есть определениенаправлений,в которых функцияубывает иливозрастает,и определениескорости возрастанияили убывания.
Можноиспользоватьдругой подход.Пусть имеетсяфункция z = f(x,y)c графиком,представляющимсобой некоторуюповерхность.
Вмикроэкономике,в предположениичто потребительприобретаетлишь два видатоваров: Aи B,вводится понятиеобщей полезностиTU, какфункции двухаргументов:Q1и Q2 – количествпотребленныхтоваров Aи B,соответственно:
TU = TU(Q1,Q2).(1)
Очевидно,что все линииуровня функцииTU(Q1,Q2)составляютсемействокривыхбезразличия(Курсэкономическойтеории. Подобщей редакциейпроф. ЧепуринаМ.Н. 1995, стр. 125).
Пустьв плоскостиXOY заданыдве точки: M0(x0,y0)и M1(x1,y1).Расстояниемежду этимиточками рассчитываетсяпо формуле
Пусть некотороеположительноечисло. -окрестностьюVточки M0(x0,y0)называетсямножество всехточек, координатыx,yкоторых удовлетворяютнеравенствам
Очевидно,что -окрестностьточки M0(x0,y0)представляетсобой круградиуса с выколотымцентром.
ТочкаM0(x0,y0)называетсяточкойминимумафункции z = f(x,y),если существуеттакое положительноечисло , что из условияM(x,y) V(x0,y0)следует f(x,y) > f(x0,y0).
ТочкаM0(x0,y0)называетсяточкоймаксимумафункции z = f(x,y),если существуеттакое положительноечисло , что из условияM(x,y) V(x0,y0)следует: f(x,y) f(x0,y0).
Точкиминимума имаксимуманазываютсяточкамиэкстремума.
ЧислоAназываетсяпределомфункции z = f(x,y)в точке M0(x0,y0):
еслидля произвольногочисла > 0найдется такоечисло > 0,что для всехточек M(x,y)из -окрестноститочки M0(x0,y0)выполняетсянеравенство
|f(x,y) - A| .
Функцияz = f(x,y)называетсянепрерывнойв точке M0(x0,y0),если
Двапоследнихопределенияфактическиповторяютопределенияпредела инепрерывностив точке дляфункции однойпеременной.
Частнойпроизводнойпо xфункции z = f(x,y)в точкеM0(x0,y0)называетсяпредел
еслиэтот пределсуществует.Обозначаетсяэта частнаяпроизводнаялюбым из следующихсимволов:
Частнаяпроизводнаяпо xесть обычнаяпроизводнаяот функцииz = f(x,y),рассматриваемойкак функциятолько от переменнойx прификсированномзначении переменнойy.
Совершенноаналогичноможно определитьчастнуюпроизводнуюпо yфункцииz = f(x,y)в точкеM0(x0,y0):
Аналогичноезаключениеможно сделатьотносительночастной производнойпо y.
Приведемпримеры вычислениячастных производных.Как говорилосьвыше, для вычислениячастной производнойпо xфункции z = f(x,y)нужно положитьпеременнуюy равнойконстанте, апри нахождениичастной производнойпо yнужно считатьконстантойпеременнуюx.
Примеры.1.
2.
Есличастные производныефункции z = f(x,y)существуютна некотороммножестве, аточка, в которойвычисляютсячастные производныенесущественна,то пользуютсяболее короткимиобозначениями:
Самичастные производныемогут являтьсяфункциями отнесколькихпеременныхна некотороммножестве. Уэтих функцийтоже могутсуществоватьчастные производныепо xи по y.Они называютсявторыми частнымипроизводнымиили частнымипроизводнымивторого порядкаи обозначаютсяzxx, zyy, zxyили
Отметимочень важноеотличие функциидвух переменныхот функцииодной переменной.Из существованияпервых частныхпроизводныхв точке не следуетнепрерывностьфункции в этойточке. Рассмотрим,например, функцию
Графикэтой функцииво всех точках,не принадлежащихосям координатOX иOY,представляетсобой плоскость,параллельнуюплоскости XOY,поднятую на1. Сами эти осикоординат такжепринадлежатграфику рассматриваемойфункции. Очевидно,что в точке(0,0) функция имеетчастные производныепо обоим аргументам,обе равныенулю. Очевиднотакже, что влюбой окрестноститочки (0,0) можнонайти точкуM такую,что f(M) = 1,в то время какf(0, 0) = 0.Это означаетсуществованиеразрыва функциив точке (0,0). (Примервзят из книгиО.С.Ивашева-Мусатова“Начала математическогоанализа”).
Рассмотримфункцию z = f(x,y),имеющую в точкеР0(х0,у0)частные производныеfx(х0,у0)и fу(х0,у0).Перейдём отточки Р0кточке R0(x0+x,y0+у),придавая переменнымхи ув точке Р0произвольныеприращенияxиу,соответственно.При этом функцияв точке Р0получит приращение
f(х0,у0) =f(x0+x,y0+y) – f(x0,y0) = f(R0) – f(P0).
Еслиприращениефункции f(x,y)можно представитьв виде
f(х0,у0) = fx(х0,у0)x + fу(х0,у0)у + (x;у)x + (x;у)у,(1)
где
df(x0,y0) = fx(х0,у0)x + fу(х0,у0)у.(2)
Еслиточка, в которойвычисляетсядифференциалне существенна,его принятообозначатьпростоdf.Из определенияследует, чтодифференциалпредставляетсобой главнуючасть приращенияфункции, линейнуюотносительноприращенийеё аргументов.Полагаяпоочерёдноf(x,y) = хиf(x,y) = у,получим, чтодифференциалыdхи dyнезависимыхаргументовфункции хи уравны соответственноx и у .Таким образом
df = fxdх + fуdу.
Раньшеговорилосьо том, что изсуществованиячастных производныхв точке не следуетнепрерывностифункции в этойточке. Однако,из справедливостиравенства (1)следует
аэто означаетнепрерывностьфункции в точке(х0,у0).Следовательно,дифференцируемаяв точке функцияобязательнонепрерывнав этой точке.
Изсказанногоследует, чтосуществованиеобеих частныхпроизводныхфункции в точкене означает,что функциядифференцируемав этой точке.В курсе математическогоанализа доказываетсятеорема, чтофункциядифференцируемав точке, еслиобе частныепроизводныеэтой функциинепрерывныв этой точке.
Нарисунке 1 графикфункции z = f(x,y)представляетсобой поверхностьF.Длина отрезкаР0Рравна значениюфункции zв точке P0,
ПараллелограммPQ1R1S1лежит в плоскости,которая касаетсяповерхностиFв точке Р. ПрямоугольникPQ2R2S2расположенв горизонтальнойплоскости.Очевидно: Q2Q1 = fy(x0,y0)yи S2S1 = fx(x0,y0)x.
Из легкодоказываемогоравенства
R2R1 = S2S1 + Q2Q1
иформулы (2)следует, чтодифференциалфункции в точкеР0равен R2R1.
Таккак df(x0,y0) f(x0,y0),дифференциалdfдаёт приближенноезначение приращенияфункции прималых значенияхприращенийаргументов.
Пустьв плоскостиXOYрасположенаточка M0(x0,y0).Зададим произвольныйугол и рассмотриммножество точекна той же плоскости,координатыкоторых определяютсяиз формул
x = x0 + t cos,y = y0 + t sin.(1)
Здесьt параметр,который можетбыть равен любому числу.Из формул (1)следует:
(y - y0)/(x - x0) = tg
Этоозначает, чтовсе точки M(x,y),координатыкоторых удовлетворяютравенствам(1), лежат на прямой,проходящейчерез точкуM0(x0,y0)и составляющейугол сосью OX.Каждому значениюtсоответствуетединственнаяточка M(x,y),лежащая на этойпрямой, причемсогласно формуле(1) из §1 расстояниемежду точкамиM0(x0,y0)и M(x,y)равно t.Можно считатьэту прямуючисловой осьюс положительнымнаправлением,определяемымвозрастаниемпараметра t.Обозначимположительноенаправлениеэтой оси символомl.
Производнойфункции z = f(x,y)в точке M0(x0,y0)по направлениюlназываетсячисло
Производнойфункции понаправлениюможно датьгеометрическуюинтерпретацию.Если черезпрямую l,определяемуюформулами (1),провести вертикальнуюплоскость P(на самом делев трехмерномпространствеуравнения (1)определяютэту самую плоскость),то эта плоскость пересечет поверхность-графикфункции z = f(x,y)вдоль
Заметим,что частнаяпроизводнаяпо xтоже являетсяпроизводнойпо направлению.Это направлениеопределяетсяравенствами:cos = 1;sin = 0.Аналогичночастная производнаяпо y— это производнаяпо направлению,которое можнозадать условиямиcos = 0;sin = 1.
Прежде,чем анализироватьформулу (3), приведемнекоторыепонятия и фактыиз курса векторнойалгебры. Пустьв плоскостис системойкоординат XOYзадан направленныйотрезок
атангенс угланаклона вектора к осиOXопределяетсяиз формулыtg = b/a(отметим,что зная величинуtg ,а также знаклюбого из чиселaи b,мы можем определитьугол с точностьюдо 2).
Представлениевектора в видепары его координатбудем записыватьв виде
Еслизаданы двавектора:
Влюбом курсевекторнойалгебры доказывается,что скалярноепроизведениевекторов
Пустьв некоторойобласти Gплоскости XOYзаданафункция z = f(x,y),имеющая непрерывныечастные производныепо обоим аргументам.Градиентомили вектором-градиентом
Функцияfопределяетдля каждойточки областиGвектор-градиент,исходящий изэтой точки.
Возвратимсятеперь к формуле(3). Ее правую частьмы можем рассматривать,как скалярноепроизведениевекторов. Первыйиз них вектор-градиентфункции z = f(x,y)вточке M0(x0,y0):
Второй– вектор
Теперьможно сделатьвывод, чтопроизводнаяфункции z = f(x,y)понаправлению,определяемомууглом наклона к осиOX,в точке M0(x0,y0)может бытьвычислена поформуле
Здесь угол междувектором
Изформулы (5) можносделать оченьважное заключение:производнаяпо направлениюот функцииz = f(x,y)в точке M0(x0,y0)достигаетнаибольшегозначения, еслиэто направлениесовпадает снаправлениемвектора-градиентафункции врассматриваемойточке,так как cos 1,и равенстводостигаетсятолько если = 0(очевидно, чтодругие решенияуравненияcos = 1 нас в данномслучае неинтересуют).Иначе можносказать, чтовектор-градиентфункции в точкенаправлен всторону наискорейшеговозрастанияфункции в этойточке.
Крометого из формулы(5) следует, чтонаибольшеезначение производнойпо направлениюв точке илинаибольшеезначение скоростивозрастанияфункции в точкеравно длиневектора-градиентафункции в этойточке.
Пример.Требуется найтипроизводнуюфункции
Найдемчастные производныефункции:
ТочкаM0(x0,y0)является точкоймаксимума(минимума)функции z = f(x,y),если найдетсятакая окрестностьточки M0,что для всехточек M(x,y)из этой окрестностивыполняетсянеравенство f(x,y) f(x0,y0)( f(x,y)>f(x0,y0)).
Точкимаксимума иминимума называютсяточкамиэкстремума.
Сформулируемнеобходимоеусловие экстремума.Если в точкеэкстремумасуществуетпервая частнаяпроизводная(по какому-либоаргументу), тоона равна нулю.
Точкиэкстремумадифференцируемойфункции (тоесть функции,имеющей непрерывныечастные производныево всех точкахнекоторойобласти) надоискать толькосреди тех точек,в которых всепервые частныепроизводныеравны нулю.
Там,где выполняетсянеобходимоеусловие, экстремумаможет и не быть(здесь полнаяаналогия сфункцией однойпеременной).
Пример:
z = xy;zx = y;zy = x;zx(0,0) = 0;zy(0,0) = 0.
Обечастные производныев точке (0,0) обращаютсяв 0. Однако точка(0,0) не являетсяточкой экстремума,так как в нейсамой z = 0,а в любой еёокрестностиесть точки, гдеz(x,y) > 0(это точки, лежащиевнутри первогои третьегокоординатныхуглов), и естьточки, где z(x,y)
Дляответа на вопрос,является литочка областиопределенияфункции точкойэкстремума,нужно использоватьдостаточноеусловие экстремума.Ниже приводитсяего формулировка.
Пустьzx(x0,y0) = 0и zy(x0,y0) = 0,а вторые частныепроизводныефункции zнепрерывныв некоторойокрестноститочки (x0,y0).Введем обозначения:A = zxx(x0,y0);B = zxy(x0,y0);C = zyy(x0,y0);D = AC - B2.
Тогда,если D 0,то в точке (x0,y0)экстремуманет.
ЕслиD > 0,то в точке (x0,y0)экстремумфункции z,причем еслиA > 0,то минимум, аесли A 0,то максимум.
ЕслиD = 0,то экстремумможет быть, аможет и не быть.В данном случаетребуютсядополнительныеисследования.
Исследованиефункции двухпеременныхна экстремумсводится кследующему:сначала выписываютсянеобходимыеусловия экстремума:
zx(x,y) = 0;
zy(x,y) = 0
которыерассматриваютсякак системауравнений. Еерешением являетсянекотороемножествоточек. В каждойиз этих точеквычисляютсязначения Dи проверяетсявыполнениедостаточныхусловий экстремума.
Пустьпроводитсяnоднородныхиспытаний илиэкспериментов,и результатомкаждого испытанияявляется парачисел – значенийнекоторыхпеременныхxи y.Испытание сномером iприводит кчислам xi, yi.В качествеиспытанияможно, например,рассматриватьвыбор определенногопредприятияв данной отраслипромышленности,величиной xсчитать объемпроизводствапродукции(например вмиллионахрублей), величинойy– объем экспортаэтого видапродукции (вмиллионахрублей), и обследоватьnпредприятийотрасли.
Итогомэтих испытанийявляется таблица:
| | | .. . | |
| | | .. . | |
Вкачестве значений
| | | .. . | |
| | | .. . | |
Нас интересуетвопрос, какнайти приближеннуюформулу дляфункции y = f(x),которая “наилучшимобразом” описывалабы данные таблицы.
Пустьточки с координатами(xi,yi)группируютсяна плоскостивдоль некоторойпрямой. Задачазаключаетсяв том, чтобынайти параметрыa0и a1этой прямой:
y = a0 + a1x,(1)
причемэто нужно сделатьтак, чтобы оналучше любойдругой прямойсоответствоваларасположениюна плоскостиэкспериментальныхточек (xi, yi).
Признакомнаилучшейпрямой считаетсяминимум суммыквадратовотклоненийфактическихзначений y,полученныхиз таблицы, отвычисленныхпо формуле (1).Этасумма квадратоврассчитываетсяпо формуле
S2 = (y1 – (a0 + a1x1))2 + (y2 – (a0 + a1x2))2 +...+ (yn – (a0 + a1xn))2 =
Обратимвнимание нато, что все xiи yi— известныеиз таблицычисла, а S2есть функциядвух переменныхa0и a1.
S2 = S2(a0,a1)
Отсюдаследует, чтоточку минимумаможно искать,используя лишьнеобходимыеусловия экстремума:
Насамом деле дляфунуции S2 = S2(a0,a1)достаточнолегко проверитьвыполнениедостаточныхусловия экстремума,тогда не нужнообращатьсяк графику функции.Проверку выполнениядостаточныхусловий предоставляемчитателю сделатьсамому.
Уравнения(2) и (3) можно преобразовать:
Получиласьтак называемаясистеманормальныхуравненийотносительнонеизвестныхвеличин a0и a1.
Формула(1) с параметрамиa0,a1определеннымииз системы (4),называетсяуравнениемрегрессии.Прямая линия,описываемаяэтим уравнением,называетсялиниейрегрессии.Для временныхрядов обычновместо слова“регрессия”употребляетсяслово тренд.
Еслиэкспериментальныеточки в плоскости
1. Найтичастные производныепервого порядкаот следующихфункций:
1) | | 2) | |
3) | | 4) | |
5) | | 6) | |