Сборник Лекций 2 по Мат.Анализу

Глава3. Функциянесколькихпеременных

§1. Основныепонятия

Пустьимеется n+1переменнаяx₁,x₂,..., x_n,y, которыесвязаны междусобой так,что каждомунабору числовыхзначений переменныхx₁,x₂,..., x_nсоответствуетединственноезначение переменнойy. Тогдаговорят,что заданафункция fот nпеременных.Число y,поставленноев соответствиенабору x₁,x₂,..., x_nназываетсязначениемфункции fв точке (x₁,x₂,..., x_n),что записываетсяв виде формулыy = f(x₁,x₂,...,x_n)или y =y(x₁,x₂,...,x_n).

Переменныеx₁,x₂,..., x_nявляются аргументамиэтой функции,а переменнаяy   функциейот n переменных.

Далеебудем говоритьлишь о функциидвух переменных.Для функцийбольшего числапеременныхвсе факты,о которых будетидти речь,или аналогичныили сохраняютсябез всякогоизменения.Аргументыфункции двухпеременныхбудем обозначатькак правилоx иy, азначение функцииz.

Будемговорить,что заданафункция двухпеременных,если любой паречисел (x,y)из некоторогомножества Dупорядоченныхпар чисел поставленов соответствиеединственноечисло,которое обозначаетсяf(x,y)и называетсязначениемфункции fв точке (x,y).

МножествоDназываетсяобластьюопределенияфункции.

Посколькулюбую паручисел x,yможно рассматриватькак пару координатточки Mна плоскости,вместо z=f(x,y)можно писатьz=f(M).Приэтом аргументамифункции будуткоординатыx,y точкиM.

Числаx,yможно рассматриватькак координатывектора

,исходящегоиз начала координати с концом вточке M(x,y).Тогда функциядвух переменныхбудет функциейвектора,что записываетсяв виде формулыz = f( ),причем аргументамифункции являютсякоординатывектора  .

Графикфункции двухпеременныхесть множествоточек (x,y,f(x,y)),где (x,y)D.График представляетсобой некоторуюповерхность.Пример такой

поверхностиприводитсяна рисунке 1.

Очевидно,что нельзяввести понятиявозрастанияили убывания(монотонности)функции двухпеременных.Рассмотримграфик некоторойфункции z=f(x,y),изображенныйна рисун-ке 2.Из точки M(x,y)в плоскостиX,Y проведемдва луча l₁и l₂,определяющихнекоторыенаправления.Можно говорить,что в точке Mфункцияf внаправленииl₁возрастает,а в направленииl₂убывает. Этоозначает,что для любойточки M₁, лежащейна луче l₁достаточноблизко к точкеM,выполняетсянеравенствоf(M₁)  f(M).Для любой точкиM₂ ,лежащей на лучеl₂достаточноблизко к точкеM,выполняетсянеравенствоf(M₂)  f(M).

Однимиз подходовк исследованиюфункций двухпеременныхявляется изучениеповеденияфункции в точке,то есть определениенаправлений,в которых функцияубывает иливозрастает,и определениескорости возрастанияили убывания.

Можноиспользоватьдругой подход.Пусть имеетсяфункция z = f(x,y)c графиком,представляющимсобой некоторуюповерхность.

Рассмотримсечение графикафункции плоскостьюz=C (этаплоскостьпараллельнаплоскости XOYи пересекаетось Z вточке z=C ).Спроектируемлинию пересеченияэтой плоскостис поверхностьюz = f(x,y)на плоскостьXOY иполучим такназываемуюлинию уровняC функцииz = f(x,y).Линия уровняпредставляетсобой множествовсех точек вплоскости XOY,для которыхвыполняетсяравенствоf(x,y) = C.Придавая различныезначения параметруC, можнополучить множестволиний уровняфункции f(x,y).Если для каждойлинии уровняуказать соответствующееей значениеC, тополучитсятопографическаякарта поверхности,представляющейсобой графикфункции.

Вмикроэкономике,в предположениичто потребительприобретаетлишь два видатоваров: Aи B,вводится понятиеобщей полезностиTU, какфункции двухаргументов:Q₁и Q₂ – количествпотребленныхтоваров Aи B,соответственно:

TU = TU(Q₁,Q₂).(1)

Очевидно,что все линииуровня функцииTU(Q₁,Q₂)составляютсемействокривыхбезразличия(Курсэкономическойтеории. Подобщей редакциейпроф. ЧепуринаМ.Н. 1995, стр. 125).

Пустьв плоскостиXOY заданыдве точки: M₀(x₀,y₀)и M₁(x₁,y₁).Расстояниемежду этимиточками рассчитываетсяпо формуле

.(2)

Пусть   некотороеположительноечисло. -окрестностьюV_точки M₀(x₀,y₀)называетсямножество всехточек, координатыx,yкоторых удовлетворяютнеравенствам

.

Очевидно,что -окрестностьточки M₀(x₀,y₀)представляетсобой круградиуса  с выколотымцентром.

ТочкаM₀(x₀,y₀)называетсяточкойминимумафункции z = f(x,y),если существуеттакое положительноечисло , что из условияM(x,y)  V_(x₀,y₀)следует f(x,y) > f(x₀,y₀).

ТочкаM₀(x₀,y₀)называетсяточкоймаксимумафункции z = f(x,y),если существуеттакое положительноечисло , что из условияM(x,y)  V_(x₀,y₀)следует: f(x,y) f(x₀,y₀).

Точкиминимума имаксимуманазываютсяточкамиэкстремума.

ЧислоAназываетсяпределомфункции z = f(x,y)в точке M₀(x₀,y₀):

,

еслидля произвольногочисла  > 0найдется такоечисло  > 0,что для всехточек M(x,y)из -окрестноститочки M₀(x₀,y₀)выполняетсянеравенство

|f(x,y) - A| .

Функцияz = f(x,y)называетсянепрерывнойв точке M₀(x₀,y₀),если

.

Двапоследнихопределенияфактическиповторяютопределенияпредела инепрерывностив точке дляфункции однойпеременной.

§2. Частныепроизводные

Частнойпроизводнойпо xфункции z = f(x,y)в точкеM₀(x₀,y₀)называетсяпредел

,

еслиэтот пределсуществует.Обозначаетсяэта частнаяпроизводнаялюбым из следующихсимволов:

; ; .

Частнаяпроизводнаяпо xесть обычнаяпроизводнаяот функцииz = f(x,y),рассматриваемойкак функциятолько от переменнойx прификсированномзначении переменнойy.

Совершенноаналогичноможно определитьчастнуюпроизводнуюпо yфункцииz = f(x,y)в точкеM₀(x₀,y₀):

= .

ВпространствеXYZусловие y = y₀описываетплоскость P,перпендикулярнуюоси OYи пересекающуюэту ось в точкеy₀.Плоскость Pпересекаетсяс графикомфункции z = f(x,y),вдоль некоторойлинии L,как показанона рисунке 1.Тангенс угламежду плоскостьюXOY икасательнойк линииL в точкес координатамиx₀,y₀равен частнойпроизводнойпо xфункции z = f(x,y)в этойточке. В этомсостоит геометрическийсмысл частнойпроизводной.

Аналогичноезаключениеможно сделатьотносительночастной производнойпо y.

Приведемпримеры вычислениячастных производных.Как говорилосьвыше, для вычислениячастной производнойпо xфункции z = f(x,y)нужно положитьпеременнуюy равнойконстанте, апри нахождениичастной производнойпо yнужно считатьконстантойпеременнуюx.

Примеры.1.

.

2.

Есличастные производныефункции z = f(x,y)существуютна некотороммножестве, аточка, в которойвычисляютсячастные производныенесущественна,то пользуютсяболее короткимиобозначениями:

.

Самичастные производныемогут являтьсяфункциями отнесколькихпеременныхна некотороммножестве. Уэтих функцийтоже могутсуществоватьчастные производныепо xи по y.Они называютсявторыми частнымипроизводнымиили частнымипроизводнымивторого порядкаи обозначаютсяz_xx, z_yy, z_xyили

.Согласно определению ; .Последняячастная производнаявторого порядканазываетсясмешанной.Смешаннаячастная производнаявторого порядка,вообще говоря,зависит оттого, в какойпоследовательностиберутся переменные,по которымвычисляетсяпроизводная.Так,производнаяz_xy = (z_x)_yможет не бытьравной z_yx = (z_y)_x.Однако существуеттеорема, утверждающая,что еслисмешанныечастные производныевторого порядканепрерывны,то они не зависятот того, в какойпоследовательностивычислялисьчастные производныепо xи по y.(Рекомендуемчитателю самомуубедиться всправедливостиэтой теоремыдля функций,рассмотренныхв приведенныхвыше примерах1 и 2.)

Отметимочень важноеотличие функциидвух переменныхот функцииодной переменной.Из существованияпервых частныхпроизводныхв точке не следуетнепрерывностьфункции в этойточке. Рассмотрим,например, функцию

.

Графикэтой функцииво всех точках,не принадлежащихосям координатOX иOY,представляетсобой плоскость,параллельнуюплоскости XOY,поднятую на1. Сами эти осикоординат такжепринадлежатграфику рассматриваемойфункции. Очевидно,что в точке(0,0) функция имеетчастные производныепо обоим аргументам,обе равныенулю. Очевиднотакже, что влюбой окрестноститочки (0,0) можнонайти точкуM такую,что f(M) = 1,в то время какf(0, 0) = 0.Это означаетсуществованиеразрыва функциив точке (0,0). (Примервзят из книгиО.С.Ивашева-Мусатова“Начала математическогоанализа”).

84

§3.Дифференциалфункции двухпеременных

Рассмотримфункцию z = f(x,y),имеющую в точкеР₀(х₀,у₀)частные производныеf_x(х₀,у₀)и f_у(х₀,у₀).Перейдём отточки Р₀кточке R₀(x₀+x,y₀+у),придавая переменнымхи ув точке Р₀произвольныеприращенияxиу,соответственно.При этом функцияв точке Р₀получит приращение

f(х₀,у₀) =f(x₀+x,y₀+y) – f(x₀,y₀) = f(R₀) – f(P₀).

Еслиприращениефункции f(x,y)можно представитьв виде

f(х₀,у₀) = f_x(х₀,у₀)x + f_у(х₀,у₀)у + (x;у)x + (x;у)у,(1)

где

,то функцияназываетсядифференцируемойвточке Р₀(х₀,у₀).Сумма первыхдвух слагаемыхв правой частиравенства (1)называетсядифференциаломфункции f(x,y)в точке Р₀и обозначаетсяdf(x₀,y₀):

df(x₀,y₀) = f_x(х₀,у₀)x + f_у(х₀,у₀)у.(2)

Еслиточка, в которойвычисляетсядифференциалне существенна,его принятообозначатьпростоdf.Из определенияследует, чтодифференциалпредставляетсобой главнуючасть приращенияфункции, линейнуюотносительноприращенийеё аргументов.Полагаяпоочерёдноf(x,y) = хиf(x,y) = у,получим, чтодифференциалыdхи dyнезависимыхаргументовфункции хи уравны соответственноx и у .Таким образом

df = f_xdх + f_уdу.

Раньшеговорилосьо том, что изсуществованиячастных производныхв точке не следуетнепрерывностифункции в этойточке. Однако,из справедливостиравенства (1)следует

,

аэто означаетнепрерывностьфункции в точке(х₀,у₀).Следовательно,дифференцируемаяв точке функцияобязательнонепрерывнав этой точке.

Изсказанногоследует, чтосуществованиеобеих частныхпроизводныхфункции в точкене означает,что функциядифференцируемав этой точке.В курсе математическогоанализа доказываетсятеорема, чтофункциядифференцируемав точке, еслиобе частныепроизводныеэтой функциинепрерывныв этой точке.

Нарисунке 1 графикфункции z = f(x,y)представляетсобой поверхностьF.Длина отрезкаР₀Рравна значениюфункции zв точке P₀,

тоесть Р₀Р = f(x₀,y₀)(на рисунке длянаглядностиповерхностьFвыбранатак, что всерассматриваемыезначения функциии приращенияв точке P₀положительны,но это не ограничиваетсправедливостиприведенныхвыше выводови формул в общемслучае). Координатамиточек Q₀,S₀и R₀являются парычисел соответственно(x₀,y₀+у);(x₀+x,y₀)и (x₀+x,y₀+у),причём Q₀Q = f(Q₀),S₀S = f(S₀)и R₀R = f(R₀).Приращениеf(х₀,у₀) функциив точке Р₀равно RR₂.

ПараллелограммPQ₁R₁S₁лежит в плоскости,которая касаетсяповерхностиFв точке Р. ПрямоугольникPQ₂R₂S₂расположенв горизонтальнойплоскости.Очевидно: Q₂Q₁ = f_y(x₀,y₀)yи S₂S₁ = f_x(x₀,y₀)x.

Из легкодоказываемогоравенства

R₂R₁ = S₂S₁ + Q₂Q₁

иформулы (2)следует, чтодифференциалфункции в точкеР₀равен R₂R₁.

Таккак df(x₀,y₀) f(x₀,y₀),дифференциалdfдаёт приближенноезначение приращенияфункции прималых значенияхприращенийаргументов.

88

§4.Производнаяпо направлению.

Пустьв плоскостиXOYрасположенаточка M₀(x₀,y₀).Зададим произвольныйугол и рассмотриммножество точекна той же плоскости,координатыкоторых определяютсяиз формул

x = x₀ + t cos,y = y₀ + t sin.(1)

Здесьt  параметр,который можетбыть равен любому числу.Из формул (1)следует:

(y - y₀)/(x - x₀) = tg

Этоозначает, чтовсе точки M(x,y),координатыкоторых удовлетворяютравенствам(1), лежат на прямой,проходящейчерез точкуM₀(x₀,y₀)и составляющейугол сосью OX.Каждому значениюtсоответствуетединственнаяточка M(x,y),лежащая на этойпрямой, причемсогласно формуле(1) из §1 расстояниемежду точкамиM₀(x₀,y₀)и M(x,y)равно t.Можно считатьэту прямуючисловой осьюс положительнымнаправлением,определяемымвозрастаниемпараметра t.Обозначимположительноенаправлениеэтой оси символомl.

Производнойфункции z = f(x,y)в точке M₀(x₀,y₀)по направлениюlназываетсячисло

.(2)

Производнойфункции понаправлениюможно датьгеометрическуюинтерпретацию.Если черезпрямую l,определяемуюформулами (1),провести вертикальнуюплоскость P(на самом делев трехмерномпространствеуравнения (1)определяютэту самую плоскость),то эта плоскость пересечет поверхность-графикфункции z = f(x,y)вдоль

некоторойпространственнойкривой L.Тангенс угламежду горизонтальнойплоскостьюи касательнойк этой кривойв точке M₀(x₀,y₀)равенпроизводнойфункции в этойточке по направлениюl.

Влюбом курсематематическогоанализа доказывается,что производнаяпо направлению,определяемаяформулой (2), можетбыть представленав виде

.(3)

Заметим,что частнаяпроизводнаяпо xтоже являетсяпроизводнойпо направлению.Это направлениеопределяетсяравенствами:cos = 1;sin = 0.Аналогичночастная производнаяпо y— это производнаяпо направлению,которое можнозадать условиямиcos = 0;sin = 1.

Прежде,чем анализироватьформулу (3), приведемнекоторыепонятия и фактыиз курса векторнойалгебры. Пустьв плоскостис системойкоординат XOYзадан направленныйотрезок

или (что то жесамое) вектор,причем точкаM₀(x₀,y₀)являетсяего начальнойточкой, а M₁(x₁,y₁) конечной точкой.Определимкоординатувектора по осиOXкак число, равноеx₁   x₀,а координатупо оси ,как число, равноеy₁   y₀.Если задатьупорядоченнуюпару любыхчисел aи b,то эти числаможно рассматриватькак координатынекотороговектора в плоскостиXOY,причем длинаэтого вектораопределенаформулой

,

атангенс угланаклона вектора к осиOXопределяетсяиз формулыtg = b/a(отметим,что зная величинуtg ,а также знаклюбого из чиселaи b,мы можем определитьугол  с точностьюдо 2).

Представлениевектора в видепары его координатбудем записыватьв виде

или .Такое представлениеимеет однухарактернуюособенность:оно неопределяетместоположениевектора наплоскостиXOY.Чтобы его определить,нужно нарядус координатамивектора задавать,например, координатыего начальнойточки или, какеё можно назвать,точки приложениявектора.

Еслизаданы двавектора:

и ,то скалярнымпроизведением этих векторовназываетсячисло ( угол междувекторами).

Влюбом курсевекторнойалгебры доказывается,что скалярноепроизведениевекторов

и равно суммепроизведенийодноименныхкоординат этихвекторов:

 = a₁b₁ + a₂b₂.(4)

Пустьв некоторойобласти Gплоскости XOYзаданафункция z = f(x,y),имеющая непрерывныечастные производныепо обоим аргументам.Градиентомили вектором-градиентом

функции f(x,y)в точке (x,y)  Gназываетсявектор, которыйзадается формулой

.

Функцияfопределяетдля каждойточки областиGвектор-градиент,исходящий изэтой точки.

Возвратимсятеперь к формуле(3). Ее правую частьмы можем рассматривать,как скалярноепроизведениевекторов. Первыйиз них   вектор-градиентфункции z = f(x,y)вточке M₀(x₀,y₀):

.

Второй– вектор

.Это вектор,имеющий длину1 и угол наклонак оси ,равный .

Теперьможно сделатьвывод, чтопроизводнаяфункции z = f(x,y)понаправлению,определяемомууглом наклона к осиOX,в точке M₀(x₀,y₀)может бытьвычислена поформуле

.(5)

Здесь   угол междувектором

и вектором ,задающим направление,по которомуберется производная.Здесь такжеучтено, что .

Изформулы (5) можносделать оченьважное заключение:производнаяпо направлениюот функцииz = f(x,y)в точке M₀(x₀,y₀)достигаетнаибольшегозначения, еслиэто направлениесовпадает снаправлениемвектора-градиентафункции врассматриваемойточке,так как cos  1,и равенстводостигаетсятолько если = 0(очевидно, чтодругие решенияуравненияcos = 1 нас в данномслучае неинтересуют).Иначе можносказать, чтовектор-градиентфункции в точкенаправлен всторону наискорейшеговозрастанияфункции в этойточке.

Крометого из формулы(5) следует, чтонаибольшеезначение производнойпо направлениюв точке илинаибольшеезначение скоростивозрастанияфункции в точкеравно длиневектора-градиентафункции в этойточке.

Пример.Требуется найтипроизводнуюфункции

по направлению,составляющемуугол в 60с осью OX,в точке (1;3).

Найдемчастные производныефункции:

Теперь можноопределитьградиент функциив точке (1;3): .Принимая вовнимание равенство ,воспользуемсяформулой (4):

.

92

§5.Экстремумфункции двухпеременных.

ТочкаM₀(x₀,y₀)является точкоймаксимума(минимума)функции z = f(x,y),если найдетсятакая окрестностьточки M₀,что для всехточек M(x,y)из этой окрестностивыполняетсянеравенство f(x,y) f(x₀,y₀)( f(x,y)>f(x₀,y₀)).

Точкимаксимума иминимума называютсяточкамиэкстремума.

Сформулируемнеобходимоеусловие экстремума.Если в точкеэкстремумасуществуетпервая частнаяпроизводная(по какому-либоаргументу), тоона равна нулю.

Точкиэкстремумадифференцируемойфункции (тоесть функции,имеющей непрерывныечастные производныево всех точкахнекоторойобласти) надоискать толькосреди тех точек,в которых всепервые частныепроизводныеравны нулю.

Там,где выполняетсянеобходимоеусловие, экстремумаможет и не быть(здесь полнаяаналогия сфункцией однойпеременной).

Пример:

z = xy;z_x = y;z_y = x;z_x(0,0) = 0;z_y(0,0) = 0.

Обечастные производныев точке (0,0)  обращаютсяв 0. Однако точка(0,0)  не являетсяточкой экстремума,так как в нейсамой z = 0,а в любой еёокрестностиесть точки, гдеz(x,y) > 0(это точки, лежащиевнутри первогои третьегокоординатныхуглов), и естьточки, где z(x,y) 

Дляответа на вопрос,является литочка областиопределенияфункции точкойэкстремума,нужно использоватьдостаточноеусловие экстремума.Ниже приводитсяего формулировка.

Пустьz_x(x₀,y₀) = 0и z_y(x₀,y₀) = 0,а вторые частныепроизводныефункции zнепрерывныв некоторойокрестноститочки (x₀,y₀).Введем обозначения:A = z_xx(x₀,y₀);B = z_xy(x₀,y₀);C = z_yy(x₀,y₀);D = AC - B².

Тогда,если D 0,то в точке (x₀,y₀)экстремуманет.

ЕслиD > 0,то в точке (x₀,y₀)экстремумфункции z,причем еслиA > 0,то минимум, аесли A 0,то максимум.

ЕслиD = 0,то экстремумможет быть, аможет и не быть.В данном случаетребуютсядополнительныеисследования.

Исследованиефункции двухпеременныхна экстремумсводится кследующему:сначала выписываютсянеобходимыеусловия экстремума:

z_x(x,y) = 0;

z_y(x,y) = 0

которыерассматриваютсякак системауравнений. Еерешением являетсянекотороемножествоточек. В каждойиз этих точеквычисляютсязначения Dи проверяетсявыполнениедостаточныхусловий экстремума.

§6.Метод наименьшихквадратов

Пустьпроводитсяnоднородныхиспытаний илиэкспериментов,и результатомкаждого испытанияявляется парачисел – значенийнекоторыхпеременныхxи y.Испытание сномером iприводит кчислам x_i, y_i.В качествеиспытанияможно, например,рассматриватьвыбор определенногопредприятияв данной отраслипромышленности,величиной xсчитать объемпроизводствапродукции(например вмиллионахрублей), величинойy– объем экспортаэтого видапродукции (вмиллионахрублей), и обследоватьnпредприятийотрасли.

Итогомэтих испытанийявляется таблица:

			.. .
			.. .

гдекаждому числуx_i(величину рассматриваемкак независимыйпоказательили фактор)поставленов соответствиечисло (величину рассматриваемкак зависимыйпоказатель–результат).

Вкачестве значений

часто рассматриваютсямоменты времени:t₁, t₂, ..., t_n,взятые черезравные промежутки.Тогда таблица

			.. .
			.. .

называетсявременнымрядом.

Нас интересуетвопрос, какнайти приближеннуюформулу дляфункции y = f(x),которая “наилучшимобразом” описывалабы данные таблицы.

Пустьточки с координатами(x_i,y_i)группируютсяна плоскостивдоль некоторойпрямой. Задачазаключаетсяв том, чтобынайти параметрыa₀и a₁этой прямой:

y = a₀ + a₁x,(1)

причемэто нужно сделатьтак, чтобы оналучше любойдругой прямойсоответствоваларасположениюна плоскостиэкспериментальныхточек (x_i, y_i).

Признакомнаилучшейпрямой считаетсяминимум суммыквадратовотклоненийфактическихзначений y,полученныхиз таблицы, отвычисленныхпо формуле (1).Этасумма квадратоврассчитываетсяпо формуле

S² = (y₁ – (a₀ + a₁x₁))² + (y₂ – (a₀ + a₁x₂))² +...+ (y_n – (a₀ + a₁x_n))² =

.

Обратимвнимание нато, что все x_iи y_i— известныеиз таблицычисла, а S²есть функциядвух переменныхa₀и a₁.

S² = S²(a₀,a₁)

Можнопоказать, чтографик функцииS²выглядит примернотак, как изображенона рисунке.Единственнаяточка, в которойобе частныепроизводные и равны нулю,является точкойминимума.

Отсюдаследует, чтоточку минимумаможно искать,используя лишьнеобходимыеусловия экстремума:

,(2)

.(3)

Насамом деле дляфунуции S² = S²(a₀,a₁)достаточнолегко проверитьвыполнениедостаточныхусловия экстремума,тогда не нужнообращатьсяк графику функции.Проверку выполнениядостаточныхусловий предоставляемчитателю сделатьсамому.

Уравнения(2) и (3) можно преобразовать:

.(4)

Получиласьтак называемаясистеманормальныхуравненийотносительнонеизвестныхвеличин a₀и a₁.

Формула(1) с параметрамиa₀,a₁определеннымииз системы (4),называетсяуравнениемрегрессии.Прямая линия,описываемаяэтим уравнением,называетсялиниейрегрессии.Для временныхрядов обычновместо слова“регрессия”употребляетсяслово тренд.

Еслиэкспериментальныеточки в плоскости

группируютсявдоль некоторойкривой линии,то можно подобратьвместо формулы(1) другую подходящуюформулу, например,y = a₀ + a₁x + a₂x²или y = a₀ exp(a₁x)с параметрамисоответственноa₀, a₁, a₂и a₀, a₁,подставитьее в выражение и искать минимумполучившейсяфункции S²при помощичастных производныхпо параметрам.

Упражнения

1. Найтичастные производныепервого порядкаот следующихфункций:

1)	;	2)	;
3)	;	4)	;
5)	;	6)	;