Сборник Лекций по матану

Глава2. Дифференциальноеи интегральноеисчислениефункции однойпеременной

§1. Основныепонятия

ПустьD—некотороемножествочисел. Еслизадан закон,по которомукаждому числуxиз множестваDставится всоответствиеединственноеопределенноечислоy,то будем говорить,что на множествеDзадана функция,которую назовёмf.Число y— это значениефункции fвточке x,что обозначаетсяформулой y= f(x).

Числоxназываетсяаргументомфункции, множествоD — областьюопределенияфункции, а всезначения yобразуют множествоE,которое называетсямножествомзначений илиобластью измененияфункции.

Функцияfназываетсявозрастающей(убывающей) намножестве G,еслидля любых чиселх₁их₂измножестваG,такихчтоx₁ x₂,выполняетсяусловиеf(x₁) f(x₂)(f(x₁) > f(x₂)).

Таккак между множествомдействительныхчисел и множествомточек числовойоси можно установитьвзаимно-однозначноесоответствие,в дальнейшемизложениипонятиям “числох”и“точка хчисловой оси”в некоторыхслучаях будетпридаватьсяодин и тот жесмысл. Например,вместо “значениефункции призначении аргумента,равном х₁”будет говориться“значениефункции в точкех₁”.В нижеследующемопределенииможно вездезаменить выражение“точка х”на выражение“число х”.

Пусть— некотороеположительноечисло. -окрестностьюточки x₀ называетсямножество всехточек x,принадлежащихпромежутку(x₀   , x₀ + ),кроме самойточки x₀.Принадлежностьточки x окрестноститочки

можно выразитьс помощью двойногонеравенства

0 x – x₀ .

Числоназываетсярадиусомокрестности.

§2.Предел и непрерывностьфункции

Рассмотримфункцию y = x²вточке x₀ = 2.Значение функциив этой точкеравно 4.

Отметимоднуособенностьповеденияфункциивэтой точке. Можно

выбратькакое-либоположительноечисло ипостроить-окрестностьточки y₀ = 4.Очевидно, чтонайдется такаяокрестностьточки x₀ = 2(на рисунке 1эта окрестностьимеет радиус), что если xбудет лежатьв этой окрестности,то соответствующеезначение y,равное x²,попадет в-окрестностьточки y₀ = 4.Это заключениесправедливодля любого,сколь угодномалого числа .Здесьточка x₀ = 2выбрана произвольно.Можно было быдля даннойфункции выбратьлюбую другуюточкуисделать подобноезаключение.

Рассмотримфункцию

.Этафункция неопределенав точке x₀ = 2.При x₀  2её можно преобразовать:

.

Графикфункции представленна рисунке 2.Хотя исходнаяфункция неопределенав точке x₀ = 2и естественноне равна 3 в этойточке, точкаy₀ = 3имеет характернуюособенность.Выбрав положительноечисло ,можно утверждать,что если рассматриватьзначения x,расположенныедостаточноблизко к точкеx₀ = 2(или лежащиев некоторойокрестноститочки x₀ = 2,причем радиусэтой окрестностизависит от ),то соответствующиезначения yпопадутв -окрестностьточки y₀ = 3.Всё сказанноеостаётся справедливымнезависимоот того, насколькомалым выбраноположительноечисло .

Введемпонятие пределафункции. ЧислоAназываетсяпределомфункцииy = f(x)в точке x₀(иногда говорят,при x,стремящемсяк x₀),если для любогоположительногочисла можно найтитакое положительноечисло ,что для всехxиз-окрестноститочки x₀соответствующиезначения yпопадаютв -окрестностьточки y = A.

Можносформулироватьопределениепредела функциипо-другому.ЧислоAназываетсяпределомфункцииy = f(x)в точке x₀,если для любогоположительногочисла можно найтитакое положительноечисло ,что для всехx,удовлетворяющихусловию

0 x – x₀ ,

выполняетсяусловие

y – A .

Тотфакт, что Aестьпредел функцииy = f(x)в точкеx = x₀,записываетсяформулой

.

Каквидно из второгоиз рассмотренныхвыше примеров,для того, чтобыфункция имелапредел в точкеx = x₀,не требуется,чтобы она былаопределенав этой точке.

Рассмотримфункцию

.Очевидно, чтоесли x > 0,то y = 2^x;если x  0,то y = –2^x;при x = 0функция неопределена.

Графикфункции изображенна рисунке 3.Легко убедитьсяв том, что, согласноприведенномувыше определениюпредела, этафункция в точкеx = 0предела неимеет.

Функцияy = f(x)называетсянепрерывнойв точкеx = x₀,если она определенав этой точкеи ее значениеf(x₀)равно пределуфункции в этойточке:

.

Функцияy = x²непрерывнав точкеx = 2,как и во всехточках числовойоси. Функция

не являетсянепрерывнойв точке x = 2.Функция

не являетсянепрерывнойв точке x = 0.

Функция,непрерывнаяв каждой точкеоткрытогопромежутка,называетсянепрерывнойна этом промежутке.

Приведемсвойства пределафункции.

1. Функцияне может иметьв одной точкедва разныхпредела.

2.

,если C — постояннаяфункция.

3.Если существует

иC— постояннаяфункция, то

.

4. Еслисуществуют

и ,то существует ,равный ,атакже существует ,равный .Еслипри этом ,то существует ,равный .

Введемопределениятак называемых“одностороннихпределов”.

ЧислоBназываетсяпределомфункции f(x)в точке aсправа(это записываетсяв виде формулы

 ),если для любогоположительногочисла найдетсяположительноечисло ,такое что изиз условия0 x – a будет следоватьB –f(x)  .

Согласноприведенномуопределению

.Отметим, чтообыкновенногопредела функция в точке x = 0не имеет.

ЧислоСназываетсяпределомфункции f(x)в точке bслева(это записываетсяв виде формулы

 ),если для любогоположительногочисла найдетсяположительноечисло такое, что из условия 0 b – x будет следоватьC – f(x) .

Очевидно,что функция

(её график, изображенна рисунке 3)имеет дваодностороннихпредела в точкеx = 0:

; .

Функцияf(x)называетсянепрерывнойв точке aсправа(непрерывнойв точке bслева), если

( ).

Функция

непрерывнасправа в точкеx=0.

Функцияназываетсянепрерывнойна замкнутомпромежутке[a,b],если она непрерывнана открытомпромежутке(a, b),непрерывнасправа в точкеaи непрерывнаслева в точкеb.

Достаточнопросто можнодоказать теорему,связывающуюпонятия пределафункции в точкеи одностороннихпределов. Мыограничимсятолько формулировкойтеоремы.

Длятого, чтобывыполнялосьравенство

,необходимои достаточно,чтобы одновременновыполнялисьдва равенства:

;

Вдальнейшемнам понадобятсяпонятия пределафункции в бесконечноудалённыхточках. Рассмотримсначала функциюf(x),определеннуюна полубесконечномпромежутке(х₀; ).ЧислоАназываетсяпределом функцииf(x)прих,стремящемсяк бесконечности:

,

еслидля любогоположительногочисламожнонайти такоеположительноечислоM(зависящееот),чтодля всех чиселх,превосходящихМ,выполняетсяусловие:

f(x)– A .

Пустьтеперь функцияf(x)определенана полубесконечномпромежутке
(–;х₀).ЧислоАназываетсяпределом функцииf(x)прих,стремящемсяк минус бесконечности:

,

еслидля любогоположительногочисламожнонайти такоеположительноечислоM(зависящееот),чтодля всех чиселх,меньших,чем– М,выполняетсяусловие:

f(x)– A .

Отметимдва, так называемых,"замечательныхпредела".

1. 

.Геометрическийсмысл этойформулы заключаетсяв том, что прямая является касательнойк графику функции

в точке .

2. 

.Здесь e— иррациональноечисло, приблизительноравное 2,72.

Приведемпример примененияпонятия пределафункции вэкономическихрасчетах. Рассмотримобыкновеннуюфинансовуюсделку: предоставлениев долг суммыS₀с условием, чточерез периодвремени Tбудет возвращенасумма S_T.Определимвеличину rотносительногоростаформулой

.(1)

Относительныйрост можновыразить впроцентах,умножив полученноезначение rна 100.

Изформулы (1) легкоопределитьвеличину S_T:

S_T = S₀(1 + r)

Прирасчете подолгосрочнымкредитам,охватывающимнесколькополных лет,используютсхему сложныхпроцентов. Онасостоит в том,что если за 1-йгод сумма S₀возрастаетв (1 + r)раз, то за второйгод в (1 + r)раз возрастаетсумма S₁ = S₀(1 + r),то естьS₂ = S₀(1 + r)².АналогичнополучаетсяS₃ = S₀(1 + r)³.Из приведенныхпримеров можновывести общуюформулу длявычисленияроста суммыза nлет при расчетепо схеме сложныхпроцентов:

S_n = S₀(1 + r)ⁿ.

Вфинансовыхрасчетах применяютсясхемы, где начислениесложных процентовпроизводитсянесколько разв году. При этомоговариваютсягодоваяставкаrи количествоначисленийза годk.Как правило,начисленияпроизводятсячерез равныепромежуткивремени, тоесть длинакаждого промежуткаT_kсоставляет

часть года.Тогда для срокав Tлет (здесь Tне обязательноявляется целымчислом) суммаS_Tрассчитываетсяпо формуле

(2)

Здесь

— целая частьчисла ,которая совпадаетс самим числом,если, например,T  целое число.

Пустьгодовая ставкаравна rи производитсяnначисленийв год черезравные промежуткивремени. Тогдаза год суммаS₀наращиваетсядо величины,определяемойформулой

(3)

Втеоретическоманализе и впрактике финансовойдеятельностичасто встречаетсяпонятие “непрерывноначисляемыйпроцент”. Чтобыперейти к непрерывноначисляемомупроценту, нужнов формулах (2)и (3) неограниченноувеличиватьсоответственно,числа kиn(тоесть устремитьkиnк бесконечности)и вычислить,к какому пределубудут стремитьсяфункции S_T и S₁.Применим этупроцедуру кформуле (3):

.

Заметим,что предел вфигурных скобкахсовпадает совторым замечательнымпределом. Отсюдаследует, чтопри годовойставке rпри непрерывноначисляемомпроценте суммаS₀за 1 год наращиваетсядо величиныS₁^*,которая определяетсяиз формулы

S₁^* = S₀e^r.(4)

Пустьтеперь суммаS₀предоставляетсяв долг с начислениемпроцента nраз в год черезравные промежуткивремени. Обозначимr_eгодовую ставку,при которойв конце годасумма S₀наращиваетсядо величиныS₁^* изформулы (4). В этомслучае будемговорить, чтоr_e— это годоваяставка приначислениипроцента nраз в год, эквивалентнаягодовому процентуrпри непрерывномначислении.Изформулы (3) получаем

.

Приравниваяправые частипоследнейформулы и формулы(4), полагая впоследнейT = 1,можно вывестисоотношениямежду величинамиrиr_e:

, .

Этиформулы широкоиспользуютсяв финансовыхрасчётах.

47

§3. Производная

Рассмотримфункцию y=f(x),непрерывнуюв некоторойокрестноститочки x.Пусть x  приращениеаргумента вточке x.Обозначим черезyили fприращениефункции, равноеf(x+x) – f(x).Отметим здесь,что функциянепрерывнав точке x,если в этойточке бесконечномалому приращениюаргументаxсоответствуетбесконечномалое приращениефункции f.

Отношениеf /x,как видноиз рисунка 1,равно тангенсуугла ,который составляетсекущая MNкривой y = f(x)c положительнымнаправлениемгоризонтальнойоси координат.

Представимсебе процесс,в котором величинаx,неограниченноуменьшаясь,стремится кнулю. При этомточка Nбудетдвигаться вдолькривой y = f(x),приближаяськ точке M,а секущая MNбудет вращатьсяоколо точкиM так,что при оченьмалых величинахxеё уголнаклона будет скольугодно близокк углу наклона касательнойк кривой в точкеx. Следуетотметить, чтовсе сказанноеотносится кслучаю, когдаграфик функцииy = f(x)не имеет изломаили разрывав точкеx, то естьв этой точкеможно провестикасательнуюк графику функции.

Отношениеy / xили, что то жесамое (f(x + x)  f(x)) / x,можнорассматриватьпри заданномx какфункцию аргументаx.Эта функцияне определенав точке x = 0.Однако её пределв этой точкеможет существовать.

Еслисуществуетпредел отношения(f(x + x) – f(x)) / xв точке x = 0,то он называетсяпроизводнойфункцииy = f(x)в точкеx иобозначаетсяyили f(x):

.

Нахождениепроизводнойфункции y = f(x)называетсядифференцированием.

Еслидля любогочисла xиз открытогопромежутка(a, b)можно вычислитьf(x),то функцияf(x)называетсядифференцируемойнапромежутке(a, b).

Геометрическийсмыслпроизводнойзаключаетсяв том, что производнаяфункции f(x)в точкеx равнатангенсу угланаклона касательнойк графику функциив этой точке.

Производнаяэто скоростьизмененияфункции в точкеx. Изопределенияпроизводнойследует, чтоf (x)  f / x,причемточность этогоприближенногоравенства темвыше, чем меньшеx.Производнаяf (x)является приближеннымкоэффициентомпропорциональностимежду f иx.

Производнаяфункции f(x)не существуетв тех точках,в которых функцияне являетсянепрерывной.В то же времяфункция можетбыть непрерывнойв точке x₀,но не иметь вэтой точкепроизводной.Такую точкуназовём угловойточкой графикафункции илиточкой излома.Графическиепримеры приведенына рисунке 2.

Такфункция y = x не имеет производнойв точке x = 0,хотя являетсянепрерывнойв этой точке.

Нижеприводитсятаблица производныхэлементарныхфункций.

f(x)		f(x)		f(x)
C	0			cosx	-sinx
x	1	lnx	1/x	tgx	1/cos2x
xn	nxn-1	ax	axlna	arcsina
	1/(2 )			arccosa	-
1/x	-1 / x2	sinx	cosx	arctgx	1/(1+x2)

Приведемтеперь основныесвойства производной.

1. Еслифункция имеетпроизводнуюв точке, то онанепрерывнав этой точке.

2.Если существуетf (x), и С  произвольноечисло, то функция

имеет производную:(Cf(x)) = Cf (x).

3.Если существуютf (x)и g (x),то функцияS(x) = f(x) + g(x)имеет производную:S (x) = f (x) + g (x).

4.Если существуютf (x)и g (x),то функцияP(x) = f(x)g(x)имеет производную: P (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x).

5.Если существуютf (x)и g (x)и при этом g(x)  0,то функцияD(x) = f(x) / g(x)имеет производную:D (x) = (f (x)g(x)  f(x)g (x)) / g²(x).

Влюбом курсематематическогоанализа доказываетсятеорема о производнойсложной функции.Мы ограничимсялишь ее формулировкой.

Пустьфункция g(x)имеет производнуюв точке x,а функция f(z)имеет производнуюв точке z = g(x).Тогда сложнаяфункция F(x) = f(g(x))имеет вточке xпроизводнуюF (x) = f (z)g (x).

Приведемпримеры вычисленияпроизводнойсложной функции.

§4. Дифференциалфункции

Рассмотримдве функции:y₁ = f₁(x)и y₂ = f₂(x),которые имеютпроизводныеf₁ (x)и f₂ (x)в каждой точкенекоторойобластиD. Возьмемкакую-либоточку xиз области Dи дадим аргументуприращениеx.Тогда функции получат соответственноприращенияy₁ = f₁(x + x)  f₁(x)и y₂ = f₂(x + x)  f₂(x).Из графиков,изображенныхна рисунке 3,видно, что вобоих случаяхприращенияy₁и y₂можно представитьв виде суммдвух слагаемых:

y₁ = (C₁ - A₁) + (B₁ - C₁); y₂ = (C₂ - A₂) + (B₂ - C₂)(1)

Первыеслагаемые вправых частяхобоих выражений(1)легковычисляютсяиз сходныхформул:C₁ – A₁ = tg₁ x = f₁ (x)x;C₂ – A₂ = tg₂ x = f₂ (x)x.

Величинаf (x) xназываетсяглавной частьюприращенияфункции y = f(x)в точке x.(Здесь мы говоримтолько о функции,имеющей в точкеx производную).Главная частьприращенияфункции линейнаотносительноприращенияаргумента x(можносказать –пропорциональнаприращениюx).Это означает,что если приращениеаргумента xуменьшить вk раз,то и главнаячасть приращенияфункции уменьшитсяв kраз.

Формулы(1) можно переписатьв виде:

y₁ = f₁ x + r₁; y₂ = f₂ x + r₂.(2)

Здесьr₁ = B₁ – C₁;r₂= B₂– C₂.

Величиныr₁и r₂в формулах (2)при уменьшенииx в kраз уменьшаютсяболее чем в kраз, что можновидеть, сравниваярисунки 3 и 4, иговорят, чтоr₁и r₂стремятся кнулю быстрее,чем x .

Назовемфункцию  (z)бесконечномалой вточке z = z₀,если .

Пустьфункции  (z)и  (z)являютсябесконечномалыми в точкеz = z₀..Функция  (z)называетсябесконечномалой болеевысокого порядка,чем функция (z),если

.

Величиныr₁и r₂в формулах (2)являются функциямиаргумента x,бесконечномалыми в точкеx = 0.Можно показать,что

.Это означает,что функцииr₁(x)и r₂(x)являютсябесконечномалыми функциямиболее высокогопорядка, чемx,в точке x = 0.

Такимобразом приращениефункции y = f(x)в точке,в которой существуетеё производная,может бытьпредставленов виде

y = f(x) x + (x),

где (x)  бесконечномалая функцияболее высокогопорядка, чемx,в точке x = 0.

Главная,линейная относительноx,частьприращенияфункции y = f(x),равная f (x) x,называетсядифференциаломи обозначаетсяdy:

dy = f (x) x.(3)

Еслисюда подставитьфункцию f(x) = x,то, так как x = 1,формула (3)приметвид: dx = x.Эта формулалегко истолковываетсяс помощью графикафункции y = x,из котороговидно, что приращениеэтой функциисодержит лишьглавную часть.Таким образом,для функцииy = x приращениесовпадает сдифференциалом.Теперь формулудифференциала(3) можно переписатьтак

dy = f (x) dx.

Отсюдаследует, что

,

тоесть производнаяфункции f(x)равнаотношениюдифференциалафункции кдифференциалуаргумента x.

Очевидныследующиесвойствадифференциала.

1.dC = 0( здесь и в следующейформуле Cпостоянная);

2.d(Cf(x)) = Cdf(x);

3.Если существуютdf(x)и dg(x),то d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x),d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x).Если при этомg(x) 0,то

Пустьy = f(x)  функция,имеющая производнуюв точке x,тогда dy = df(x) = f (x)dx.Если аргументx являетсяфункцией x(t)некоторойнезависимойпеременнойt, тоy = F(t) = f(x(t))сложнаяфункция от t,и её дифференциалвычисляетсяпо формулеdy = F(t)dt = f (x)x (t)dt.Однако по определениюдифференциалаx (t)dt = dxи последняяформула преобразуетсяк виду: dy = f (x)dx.

Такимобразом еслиаргумент функцииy=f(x)рассматриватькак функциюдругого аргументатак, что равенствоx = dxне выполняется,формула дифференциалафункции f(x)остается неизменной.Это свойствопринято называтьсвойствоминвариантностидифференциала.

§5. Производныевысших порядков.

Можетоказаться чтофункция f(x),называемаяпервой производной,тоже имеетпроизводную(f(x)).Эта производнаяназываетсявторойпроизводнойфункции f(x)и обозначаетсяf(x).Если fесть координатадвижущейсяточки и являетсяфункцией времени,то мгновеннаяскорость точкив момент времениt равнаf(t),а ускорениеравно f(t).

Втораяпроизводнаятакже можетбыть функцией,определеннойна некотороммножестве. Еслиэта функцияимеет производную,то эта производнаяназываетсятретьейпроизводнойфункции f(x)и обозначаетсяf(x).

Еслиопределенаn-япроизводнаяf ⁽ⁿ⁾(x)и существуетеё производная,то она называется(n+1)-йпроизводнойфункции f(x):f ^(n + 1)(x) = (f⁽ⁿ⁾(x)).

Всепроизводные,начиная совторой, называютсяпроизводнымивысших порядков.

54

§6.Формула Лагранжа

Еслифункция непрерывнана замкнутомпромежутке[a, b]и дифференцируемана открытомпромежутке(a, b),то можно найтитакую точкуc,принадлежащуюпромежутку(a, b),для которойсправедливоравенство:

f(b) - f(a) = f(c)(b - a).(1)

Этаформула называетсяформулой конечныхприращенийЛагранжа. Проведемнаглядноеобоснованиеэтой формулы.Возьмем награфике функцииf(x)точки A(a;f(a))и B(b;f(b)).Проведем черезэти точки прямуюAB.Проведем такжепрямую L,параллельнуюпрямой AB,так, чтобы онане пересекалаграфик функцииf(x)на промежутке(a, b).СохраняяпараллельностьLи AB,будем"надвигать"прямую Lна график f(x)до тех пор, покапрямая Lне коснетсяграфика f(x)в некоторойточке cпромежутка(a,b).Геометрическуюточку касанияобозначимбуквой M,а через MNобозначимкасательнуюк графику f(x),параллельнуюпрямой AB.Очевидно, угловыекоэффициентыпрямых MNи AB(то есть тангенсыуглов наклонапрямых к осиабсцисс) равны.Угловой коэффициентпрямой MNравен f(c),а угловой коэффициентпрямой ABравен (f(b) f(b))/(b-a),и справедливаформула:

.

Отсюдасразу получаетсяформула (1). Наприведенномрисунке видно,что могутсуществоватьдругие точки,принадлежащиепромежутку(a, b),в которых касательныек графику функцииf(x)параллельныпрямой MN.Производнуюфункции f(x),вычисленнуюв любой из этихточек, можноподставитьв правую частьформулы (1) вместомножителя

.

Сформулируемтеорему омонотонностифункции.Еслиf(x) > 0на промежутке(a;b),то на (a;b)функция f(x)возрастает.Еслиf(x) a;b),то на (a;b)функция f(x)убывает.

Докажемэту теорему.Пусть t₁иt₂ —любые числаиз промежутка(a;b),причем t₂>t₁.Тогда по теоремеЛагранжа можноуказать такоечисло cиз промежутка(t₁;t₂),для которогосправедливоравенствоf(t₂) – f(t₁) = f(c)(t₂ – t₁).Если f(x) > 0для всех xиз промежутка(a;b),то f(c) > 0,и из условияt₂ > t₁следует, чтоf(t₂) – f(t₁) > 0.Таким образом,возрастаниефункции f(x)на промежутке(a;b)доказано. Аналогичнодоказываетсявторая частьтеоремы.

§7.Необходимыеи достаточныеусловия экстремумафункции

Точкаx₀называетсяточкойминимума функцииf(x),если можнонайти такуюокрестностьэтой точки, чтодля любой точкиxиз этой окрестностивыполняетсяусловие:

f(x) > f(x₀).

Точкаx₀называетсяточкоймаксимумафункции f(x),если можнонайти такуюокрестностьэтой точки, чтодля любой точкиxиз этой окрестностивыполняетсяусловие:

f(x) f(x₀).

Точкимаксимума иминимума функцииназываютсяточкамиэкстремума.

Сформулируемтеорему о необходимомусловии экстремумафункции: еслив точке экстремумафункцияf(x)имеетпроизводную,топроизводнаяравна нулю.

Отсюдаследует, чтоточки экстремумафункции следуетискать средитех точек еёобласти определения,где производнаяфункции равнанулю или несуществует.

Еслиf(x₀) = 0,это еще не значит,что в точкеx₀естьэкстремум.Примером можетслужить функцияy=x³.В точке x=0её производнаяравна нулю, ноэкстремумафункция неимеет. Графикфункции изображенна рисунке 3.

Точка,в которой производнаяравна нулю,называетсястационарной.

Точкиобласти определенияфункции, в которыхпроизводнаялибо равнанулю, либо несуществует,называютсякритическими.

Какбыло показановыше, с помощьюнеобходимогоусловия нельзяопределить,является лиданная точкаточкой экстремума,тем более указать,какой экстремумреализуется – максимумили минимум.Для того, чтобыответить наэти вопросы,сформулируеми докажем теорему,которая называетсядостаточнымусловием экстремума.

Пустьфункцияf(x)непрерывнав точкеx₀.Тогда:

1)еслиf(x) на(a;x₀)иf(x) > 0на(x₀;b),то точкаx₀–точкаминимумафункции f(x);

2)еслиf(x) > 0на(a;x₀)иf(x) x₀;b),тоточкаx₀– точкамаксимумафункцииf(x);

Докажемпервое утверждениетеоремы.

Таккак f(x) a;x₀)и f(x)непрерывнав точке x₀,то f(x)убывает на(a;x₀],и для любогоx(a;x₀)выполняетсяусловие f(x)>f(x₀).

Таккак f(x) > 0на (x₀;b)и f(x)непрерывнав точке x₀,то f(x)возрастаетна (x₀;b],и для любогоx(x₀;b)выполняетсяусловие f(x)>f(x₀).

Врезультатеполучается,что при любомxx₀из (a;b)выполняетсянеравенствоf(x)>f(x₀),то есть точкаx₀– точка минимумаf(x).

Второеутверждениетеоремы доказываетсяаналогично.

§8.Выпуклостьи вогнутостьфункции

Пустьфункция f(x)имеет производнуюв каждой точкепромежутка(a;b).Если на промежутке(a;b)график функцииf(x)расположенвыше любойсвоей касательной,проведеннойв точке этогопромежутка,то функцияназываетсявогнутойнаэтом промежутке(иногда говорят"выпуклойвниз").

Еслина промежутке(a;b)график функцииf(x)расположенниже любойсвоей касательной,проведеннойв точке этогопромежутка,то функцияназываетсявыпуклойна этом промежутке(иногда говорят"выпуклойвверх").

Точкаx₀называетсяточкойперегибафункции f(x),если в этойточке функцияимеет производнуюи существуютдва промежутка:(a;x₀)и (x₀;b),на одном изкоторых функциявыпукла, а надругом вогнута.

Будемназывать функциювозрастающейв точкеx₀,если она непрерывнав этой точкеи возрастаетв некоторойее окрестности.Подобным образомможно определитьфункцию, убывающуюв точке.

Приведембез доказательстваважную дляисследованияфункций теорему.

Если

f(x) > 0напромежутке(a;b),тона этом промежуткефункцияf(x)вогнута.Еслиf(x) напромежутке(a;b),тона этомпромежуткефункцияf(x)выпукла.

Изположительностивторой производнойфункции напромежуткеследует возрастаниепервой производнойна этом промежутке,а это, как показанона рисунке5, – признаквогнутой функции.Аналогичнымобразом иллюстрируетсявторое утверждениетеоремы.

Еслиx₀– точка перегибафункции f(x),то f(x₀) = 0.

Приведемдругую формулировкудостаточныхусловий экстремумафункции.

Еслив точкеx₀выполняютсяусловия:

1)f(x₀) = 0;f(x₀) x₀– точка максимума;

2)f(x₀) = 0;f(x₀) > 0,тогда x₀– точка минимума;

3)f(x₀) = 0;f(x₀) = 0,тогдавопрос о поведениифункции в точкеостается открытым.Здесь можетбыть экстремум,например вточке x₀ = 0у функции y = x⁴,но может егоне быть, напримерв точке x₀ = 0у функции y = x⁵.В этом случаедля решениявопроса о наличииэкстремумав стационарнойточке можноиспользоватьдостаточныеусловия экстремума,приведенныевыше.

Рассмотримпример измикроэкономики.

Вколичественнойтеории полезностипредполагается,что потребительможет датьколичественнуюоценку (в некоторыхединицах измерения)полезностилюбого количествапотребляемогоим товара.

ЭтоозначаетсуществованиефункцииполезностиTUаргументаQ –количествакупленноготовара. Введём понятие предельнойполезности,как добавочнойполезности,прибавляемойкаждой последнейпорцией товара.Далее построимдвумернуюсистемукоординат,откладываяпо горизонтальнойоси

количествопотребляемоготовара Q,апо вертикальнойоси – общуюполезностьTU,как это сделанона рисунке 7.В этой системекоординатпроведем графикфункции TU = TU(Q).Точка Q₀нагоризонтальнойоси означаетколичествоприобретенноготовара, величинаQ–добавочныйприобретенныйтовар. РазностьTU = TU(Q₀ + Q) – TU(Q₀)   добавочнаяполезность,полученнаяот покупки“довеска” Q.Тогдадобавочнаяполезностьот последнейприобретеннойпорции (илиединицы количества)товара вычисляетсяпо формулеTU / Q(Курсэкономическойтеории. Подобщей редакциейпроф. ЧепуринаМ.Н. 1995, стр. 122). Этадробь, как можновидеть, зависитот величиныQ.Еслиздесь перейтик пределу приQ  0,то получитсяформула дляопределенияпредельнойполезностиMU:

.

Этоозначает, чтопредельнаяполезностьравна производнойфункцииполезностиTU(Q).Законубывающейпредельнойполезностисводится куменьшениюэтой производнойс ростом величиныQ.Отсюда следуетвыпуклостьграфика функцииTU(Q).Понятие функцииполезностии представлениепредельнойполезностив виде производнойэтой функциишироко используетсяв математическойэкономике.

58

§9.Неопределенныйинтеграл.

ФункцияF(x)называетсяпервообразнойдля функцииf(x)на промежутке(a;b),если для всехx(a;b)выполняетсяравенствоF(x) = f(x).

Например,для функцииx²первообразнойбудет функцияx³/3.

Еслидля F(x)установленоравенствоdF(x) = f(x)dx,то F(x)первообразнаядля f(x),так как

.

Рассмотримдве теоремы,которые называютсятеоремами обобщем виде всехпервообразныхданной функции.

Теорема1.ЕслиF(x)–первообразнаядляf(x)на(a;b),тоF(x) + C,гдеC –число,тожепервообразнаядляf(x)на(a;b).

Доказательство.

(F + C) = F + C = f + 0 = f

ПоопределениюF+C первообразнаядля f.

Преждечем рассмотретьтеорему 2, докажемдве вспомогательныетеоремы.

Еслифункцияg(x)постояннана(a;b),тоg(x) = 0.

Доказательство.

Таккак g(x) = C,справедливыравенства:g(x) = C = 0(здесь, как иниже, через Cобозначенопроизвольновыбранноечисло).

Еслиg(x) = 0привсехx(a;b),тоg(x) = Cна(a;b).

Доказательство.

Пустьg(x) = 0во всех точках(a;b).Зафиксируемточку x₁(a;b).Тогда для любойточки x(a;b)по формулеЛагранжа имеем

g(x) – g(x₁) = g()(x – x₁)

Таккак (x;x₁),а точки xиx₁принадлежатпромежутку(a;b),то g() = 0,откуда следует,что g(x) – g(x₁)=0,то есть g(x) = g(x₁)=const.

Теорема2. ЕслиF(x)естьпервообразнаядляf(x)напромежутке(a;b),аG(x)–другаяпервообразнаядляf(x)на(a;b),тоG = F + C,гдеC–число.

Доказательство.

Возьмемпроизводнуюот разностиG – F:(G – F) = G – F =
= f – f = 0.Отсюда следует:G – F = C,где Cчисло, то естьG = F + C.

Множествовсех первообразныхдля функцииf(x)на промежутке(a;b)называетсянеопределенныминтеграломи обозначается_f(x)dx.Если F(x)–первообразнаядля f(x),то _f(x)dx = F(x) + C,где C–произвольноечисло.

Вычислениенеопределенногоинтеграла отзаданной функцииназываетсяинтегрированием.

Изопределениянеопределенногоинтеграласледует, чтокаждой формуледифференциальногоисчисленияF(x) = f(x)соответствуетформула _f(x) dx = F(x) + Cинтегральногоисчисления.Отсюда получаетсятаблицанеопределенныхинтегралов:

1) dx = x + C;	7) cosx dx = sinx + C;
2) xdx= (1);	8) ;
3) ;	9) ;
4) exdx=ex+C;	10)
5) axdx=axlogae+C (1);	11)
6) sinxdx=-cosx+C;	12) .

Неопределенныйинтеграл обладаетследующимисвойствами:

1)( f(x)dx)=f(x);	4)df(x)=f(x)+C;
2)f(x)dx=f(x)+C;	5)kf(x)dx=kf(x)dx;
3)df(x)dx= f(x)dx;	6)(f(x)+g(x))dx=f(x)dx+g(x)dx;
Еслиf(x)dx = F(x) + C,то f(ax+b)dx = (a0).

Всеэти свойстванепосредственноследуют изопределения.

§10.Замена переменнойв неопределенноминтеграле

Еслифункция f(x)непрерывна,а функция (t)имеет непрерывнуюпроизводную(t),то имеет местоформула

_ f((t))(t) dt= _ f(x)dx, где x= (t).

Можнопривести примерывычисленияинтеграла спомощью переходаот левой частик правой в этойформуле, а можнопривести примерыобратногоперехода.

Примеры.1. I= _ cos(t³) t² dt. Пустьt³ = x,тогда dx = 3t²dtили t²dt = dx/3.

.

2.

.Пусть lnt = x,тогда dx = dt/t.

3.

.Пусть x = cost,тогда dx = - sint dt,и

.

4.

.Пусть x = sin t,тогда dx = cosdt,и

.

§11.Формула интегрированияпо частям

Пустьu(x)и v(x)—дифференцируемыена некоторомпромежуткефункции. Тогда

(uv) = uv + vu

Отсюдаследует

_ (uv)dx = _ (uv + vu )dx = _ uvdx + _ vudx

или

_uv dx= uv – _uvdx.

Отсюдаследует формула,которая называетсяформулойинтегрированияпо частям:

_ u(x)dv(x)= u(x)v(x) – _ v(x)du(x)

Приведемпримеры примененияформулы интегрированияпо частям.

Примеры.1. I= _ xcosxdx. Пустьu= x;dv= cosxdx,тогда du= dx;v= sinx.Отсюда по формулеинтегрированияпо частям получается:

I = x sinx – _ sinx dx = x sinx + cosx + C.

2.I = _ (x² – 3x + 2) e^5xdx.Пустьx² – 3x + 2 = u;e^5xdx = dv.Тогда
du = (2x – 3) dx;

.

.

Кпоследнемуинтегралуприменим методинтегрированияпо частям, полагая2x - 3 = u;e^5xdx = dv.Отсюда следует:du = 2dx;

,и окончательнополучаем:

.

3.

;

;

.

В заключениепокажем методвычислениянеопределенногоинтеграла,стоящего вприведеннойвыше таблицепод номером12:

.

Представимдробь

в виде суммыдвух дробей: и ,и попытаемсянайти неизвестныевеличины параметровAиB.Из равенства получим системууравнений

срешением

.Отсюда следует:

.

Полученныйинтеграл вобиходе обычноназывают “высокимлогарифмом”.Метод, которымон был найден,называетсяметодом “неопределенныхкоэффициентов”.Этот методприменяетсяпри вычисленииинтеграловот дробей счислителеми знаменателемв виде многочленов.

65

§12. Определенныйинтеграл

Пустьна промежутке[a;b]задана функцияf(x).Будем считатьфункцию непрерывной,хотя это необязательно.Выберем напромежутке[a;b]произвольныечисла x₁, x₂, x₃, , x_n-1,удовлетворяющиеусловию:
ax₁,x₂x_n-1,b.Эти числа разбиваютпромежуток[a;b]на nболее мелкихпромежутков:[a;x₁], [x₁;x₂],  [x_n-1;b].На каждом изэтих промежутковвыберем произвольнопо одной точке:c₁[a;x₁], c₂[x₁;x₂],  c_n[x_n-1;b].

Введемобозначения:x₁ = x₁ – a;x₂ = x₂ – x₁;  x_n = b – x_n-1.

Составимсумму:

.

Онаназываетсяинтегральнойсуммойфункции f(x)по промежутку[a;b].Очевидно,что интегральнаясумма зависитот способаразбиенияпромежуткаи от выбораточек c_i.

Каждоеслагаемоеинтегральнойсуммы представляетсобой площадьпрямоугольника,покрытогоштриховкойна рисунке 1.

Введемобозначение: = max(x_i),i = 1, 2,  n..Величину иногда называютпараметромразбиения.

Рассмотримпроцесс, прикотором числоточек разбиениянеограниченновозрастаеттаким образом,что величинастремится кнулю. Определенныминтегралом

отфункции

по промежутку[a;b]называетсяпредел, к которомустремитсяинтегральнаясумма при этомпроцессе, еслипредел существует:

.

Еслитакой пределсуществует,то он не зависитот первоначальногоразбиенияпромежутка[a;b]и выбора точекc_i.

Числоa называетсянижним пределоминтегрирования,а число bверхнимпределоминтегрирования.

Рассмотримфигуру, ограниченнуюграфиком непрерывной,неотрицательнойна промежутке[a;b]функции f(x),отрезком [a;b]оси X,и прямыми x = a;x = b.Такую фигуруназываюткриволинейнойтрапецией. Нарисунке 2 криволинейнаятрапеция выделенаштриховкой.Площадь Sэтой трапецииопределяетсяформулой

.

Еслиf(x) a;b]и непрерывнана этом промежутке(например,как изображенона рисунке 3),то площадькриволинейнойтрапеции,ограниченнойотрезком [a;b]горизонтальнойоси координат,прямыми x = a;x = bи графикомфункции y = f(x),определяетсяформулой

.

Перечислимсвойстваопределенногоинтеграла:

1)

(здесь k  произвольноечисло);

2)

;

3)

;

4)Если c[a;b],то

.

Изэтихсвойствследует, например,что

.

Всеприведенныевыше свойстванепосредственноследуют изопределенияопределенногоинтеграла.

Оказывается,что формулаиз пункта 4справедливаи тогда, когдаc[a;b].Пусть, например,c>b,как изображенона рисунке 4.В этом случаеверны равенства

.

§13. Определенныйинтеграл какфункция верхнегопредела

Пустьфункция f(t)определенаи непрерывнана некоторомпромежутке,содержащемточку a.Тогда каждомучислу xиз этого промежуткаможно поставитьв соответствиечисло

,

определивтем самым напромежуткефункцию I(x),которая называетсяопределенныминтеграломс переменнымверхним пределом.Отметим, чтов точке x = aэта функцияравна нулю.Вычислим производнуюэтой функциив точке x.Для этого сначаларассмотримприращениефункции в точкеx приприращенииаргумента x:

I(x) = I(x + x) – I(x) =

.

Какпоказано нарисунке1, величинапоследнегоинтеграла вформуле дляприращенияI(x)равна площадикриволинейнойтрапеции, отмеченнойштриховкой.При малых величинахx(здесь, так жекак и везде вэтом курсе,говоря о малыхвеличинахприращенийаргумента илифункции, имеемв виду абсолютныевеличины приращений,так как самиприращениямогут быть иположительнымии отрицательными)эта площадьоказываетсяприблизительноравной площадипрямоугольника,отмеченногона рисункедвойной штриховкой.Площадь прямоугольникаопределяетсяформулой f(x)x.Отсюда получаемсоотношение

.

Впоследнемприближенномравенстветочность приближениятем выше, чемменьше величинаx.

Изсказанногоследует формуладля производнойфункции I(x):

.

Производнаяопределенногоинтеграла поверхнему пределув точке xравназначениюподынтегральнойфункции в точкеx.Отсюда следует,что функция

являетсяпервообразнойдля функцииf(x),причем такойпервообразной,которая принимаетв точке x = aзначение, равноенулю. Этот фактдает возможностьпредставитьопределенныйинтеграл в виде

.(1)

ПустьF(x)тоже являетсяпервообразнойдля функцииf(x),тогда по теоремеоб общем видевсех первообразныхфункции I(x) = F(x) + C,где C —некотороечисло. При этомправая частьформулы (1) принимаетвид

I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a).(2)

Изформул (1) и (2) послезамены xна bследуетформула длявычисленияопределенногоинтеграла отфункции f(t)по промежутку[a;b]:

,

котораяназываетсяформулойНьютона-Лейбница.Здесь F(x)— любая первообразнаяфункции f(x).

Длятого, чтобывычислитьопределенныйинтеграл отфункции f(x)по промежутку[a;b],нужно найтикакую-либопервообразнуюF(x)функции f(x)и подсчитатьразность значенийпервообразнойв точках bи a.Разность этихзначенийпервообразнойпринято обозначатьсимволом 

.

Приведемпримеры вычисленияопределенныхинтеграловс помощью формулыНьютона-Лейбница.

Примеры.1.

.

2.

.

Сначалавычислимнеопределенныйинтеграл отфункции f(x) = xe^x.Используя методинтегрированияпо частям, получаем:

.В качествепервообразнойфункции f(x) выберем функциюe^x(x – 1)и применимформулу Ньютона-Лейбница:

I = e^x(x – 1)

 = 1.

Привычисленииопределенныхинтеграловможно применятьформулузамены переменнойв определенноминтеграле:

.

Здесьи определяются,соответственно,из уравнений() = a; () = b,а функции f,,должныбыть непрерывнына соответствующихпромежутках.

Пример:

.

Сделаемзамену: ln x = tили x = e^t,тогда еслиx = 1,то t = 0,а если x = e,то t = 1.В результатеполучим:

.

Призамене переменнойв определенноминтеграле ненужно возвращатьсяк исходнойпеременнойинтегрирования.

§14. Несобственныеинтегралы сбесконечнымипределами

Еслиположить промежутокинтегрированиябесконечным,то приведенноевыше определениеопределенногоинтегралатеряет смысл,например,потому чтоневозможноосуществитьусловия n; 0для бесконечногопромежутка.Для такогоинтегралатребуетсяспециальноеопределение.

Пустьфункция y = f(x)определенаи непрерывнана полубесконечномпромежутке[a;),тогда несобственныминтеграломс бесконечнымпределом

называется ,если пределсуществует.Если этот пределне существует,то не существуети несобственныйинтеграл. Вэтом случаепринято говорить,что несобственныйинтеграл расходится.При существованиипредела говорят,что несобственныйинтеграл сходится.

Аналогично

и .

Примеры:1.

.Очевидно: ,откуда следует

.

2.

;этот пределне существует,следовательно,не существуетили расходитсяинтеграл I.

3.

;здесь пределтакже не существует,и интегралрасходится.

Упражнения

1. Найтипроизводныеот следующихфункций:

1)	;	2)	;
3)	;	3)	;
5)	;	6)	;
7)	;	8)	;
9)	;	10)	;
11)	гдеx = 1;	12)	;
13)	где t =  / 6;	14)
15)	;	16)	.