Сетевые методы в планировании (стр. 1 из 4)

Кафедра прикладной математики

Курсовая работа

по курсу:

“Дискретная математика”

по теме:

“Сетевые методы в планировании”

Группа: ДИ 102

Студент: Шеломанов Р.Б.

Руководитель: Алферова З.В.

Москва 1998

Содеражание

Введение--------------------------------------------------------------------------- 3

Часть 1 Теоретическая часть к курсовому проекту------------------ 4

Глава 1 Теория графов--------------------------------------------------------------- 4

Глава 2 Календарное планирование сетевыми методами---------------- 8

Часть 2 Практическая реализация курсового проекта------------- 13

Задание----------------------------------------------------------------------------------- 13

Решение---------------------------------------------------------------------------------- 14

Заключение----------------------------------------------------------------------- 20

Список литературы ----------------------------------------------------------- 21

Введение

Для иллюстраций условий и решений многих задач люди пользуются графиками. По своей сути графики являются набором из множества точек и отрезков прямых соединяющих эти точки. Возникает вопрос: подчиняются ли графики каким-либо законам и обладают ли они какими-нибудь свойствами? Этот вопрос был поставлен Д. Кенигом, который впервые объединил все схематические изображения, состоящие из совокупности точек и линий, общим термином “граф” и рассмотрел граф как самостоятельный математический объект. Теория графов нашла свое применение в решении целого ряда экономических задач. Эту область приложения теории графов можно назвать: “Календарное планирование программ сетевыми методами”. Изучение именно этой области является основной целью моего курсового проекта.

Программа определяет совокупность взаимосвязанных операций которые необходимо выполнить в определенном порядке, чтобы достигнуть поставленной в программе цели. Операции логически упорядочены в том смысле, что одни операции нельзя начать, прежде чем не будут завершены другие. Операция программы обычно рассматривается как работа, для выполнения которой требуются траты времени и ресурсов. Как правило, совокупность операций программы не повторяется. До появления сетевых методов календарное планирование программ (т. е. планирование во времени) осуществлялось в небольшом объеме. Наиболее известным средством такого планирования был ленточный (линейный) график Ганта, задававший сроки начала и окончания каждой операции на горизонтальной шкале времени. Его недостаток заключается в том, что он не позволял восстановить зависимости между различными операциями (определяющие в значительной мере темпы реализации программы). В связи с повышением сложности современных программ потребовалась разработка более четких и эффективных методов планирования, обеспечивающих оптимизацию всего процесса осуществления программы. При этом эффективность интерпретируется как минимизация продолжительности выполнения программы c учетом экономических факторов использования имеющихся ресурсов.

Организационное управление программами стало новой областью теоретических и прикладных исследований благодаря разработке двух аналитических методов структурного и календарного планирования, а также оперативного управления программами. Эти методы, разработанные почти одновременно в 1957-1958 гг. двумя различными группами, получили названия метод критического пути (МКП) и метод оценки и пересмотра программ (ПЕРТ).

Метод критического пути был предложен фирмой Е. I. du Роnt de Nemours & Company для управления программами строительства, а затем был развит к обобщен фирмой Маuсhlу Associates. Метод ПЕРТ разработан консультативной фирмой по заказу военно-морского министерства США для календарного планирования научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ программы создания ракет «Поларис».

В методах ПЕРТ и МКП основное внимание уделяется временному аспекту планов в том смысле, что оба метода в конечном счете определяют календарный план программы. Хотя эти методы были разработаны независимо, они отличаются поразительным сходством. Пожалуй, самым существенным различием первоначально было то, что в методе МКП оценки продолжительности операций предполагались детерминированными величинами, а в метод ПЕРТ — случайными. В настоящее время оба метода составляю единый метод сетевого планирования и управления (СПУ) программами.

Часть 1

Теоретическая часть к курсовому проекту

Глава1

Теория графов

Понятие графа

Графом G(X,U) называется совокупность двух объектов некоторого множества X и отображения этого множества в себя Г.

При геометрическом представлении графа элементы множества Х изображаются точками плоскости и называются вершинами графа. Линии, соединяющие любые пары точек x и y, из которых у является отображением х, называются дугами графа. Дуги графа имеют направление, обозначаемое стрелкой, которая направлена острием от элемента х к его отображению у.

Вершины и линии графа

Две вершины А и В являются граничными вершинами дуги, если А- начало дуги, а В ее конец.

Смежными называются различные дуги, имеющие общую граничную точку. Две вершины х и у смежны, если они различны и существует дуга, идущая от одной из них к другой .

Вершина называется изолированной, если она не соединена дугами с другими вершинами графа.

Если дуга U исходит из вершины х или заходит в х, то дуга U называется инцидентной вершине х, а вершины х инцидентной дуге U. Общее число дуг, инцидентной вершине х, являются степенью вершины х Р(х). Вершины, степень которых Р(х)>2, называются узлом, а со степенью Р(х)<2 - антиузлом.

Полустепень захода Р⁺(х) вершины х - количество дуг, заходящих в данную вершину. Полустепень исхода Р^-(х) - количество дуг, исходящих из данной вершины.

Последовательность линий на графе

Путь - последовательность дуг (U₁, U₂, ...U_n), в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом последующей. Путь может быть конечным и бесконечным.

Путь называется простым, если в нем никакая дуга не встречается дважды, и составным, если любая из дуг встречается более одного раза.

Путь, в котором ни одна из вершин не встречается более одного раза, называется элементарным путем.

Гамильтонов путь - путь проходящий через все вершины, но только по одному разу,

Эллеров путь - путь содержащий все дуги графа, при этом только по одному разу.

Длинна пути - число дуг последовательности (U₁, U₂, ...U_n).

Ветвь - путь, в котором начальная и конечная вершины являются узлами. Дуга (x,y) называется замыкающей, если удаление ее не приводит к аннулированию пути из x в y.

Контур - конечный путь, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же вершине. Контур единичной длинны называется петлей.

Ориентированный граф - граф, у которого вершины соединяются направляющими стрелками.

Графы можно рассматривать с учетом или без учета ориентации его дуг.

Разновидности графов

Нуль-граф - граф (X,U), состоящий только из изолированных вершин.

Однородный граф - если степени всех вершин графа одинаковы и P⁺(x)=P^- (x) =0.

Симметрический граф - граф, в котором две любые смежные вершины соединены только двумя противоположно ориентированными дугами.

Антисимметрический - граф, в котором каждая пара смежных вершин соединена только в одном направлении.

Полный - граф, в котором любая пара вершин соединена одинаковым числом дуг.

Мультиграф - граф, в котором хотя бы две смежные вершины соединены более чем одной дугой. Наибольшее число дуг, соединяющих смежные вершины графа называется кратностью.

Подмножества графов

Подграфом графа G(X,U) называется граф G(A,U_A), определяемый следующим образом:

1. Вершинами A подграфа G(A,U_A) является некоторое подмножество вершин графа G(X,U);

2. Отображением каждой вершины подграфа является пересечение отображения той же вершины в графе G(X,U) со всем подмножеством вершин A подграфа G(A,U_A).

Частичным графом для графа G(X,U) называется граф G(X,U), в котором содержатся все вершины и некоторое подмножество дуг исходного графа.

Частичный подграф - это частичный граф от подграфа.

Фактором графа G(X,U) называется частичный граф G(X,U), в котором каждая вершина обладает полустепенями исхода и захода, равными единице, имеются одна заходящая и одна исходящая дуги.

Базисным графом называется ориентированный частичный граф, образованный из исходного удалением петель и замыкающих дуг.

Связность графа

В общем случае граф может быть представлен несколькими отдельными графами, не имеющими общих дуг. Тогда граф G(X,U) называется несвязным, а каждый из составляющих его графов G₁ , G₂ ,...G_n - компонентами связности. Граф называется связным, когда каждую его вершину можно соединить с любой другой его вершиной некоторой цепью.

Операции над графами

1. Объединение графов

G₃(X₃,Гх₃) = G₁(X₁,Г1х₁)È G₂(X₂,Г2х₂), где X₃=X₁ÈX₂, а Гx₃=Г1x₁ÈГ2x₂

Пример (Рис 1.1).

Рис 1.1

2. Пересечение графов

G₃(X₃,Гх₃) = G₁(X₁,Г1х₁)ÇG₂(X₂,Г2х₂), где X₃=X₁ÇX₂, а Гx₃=Г1x₁ÇГ2x₂

Пример (рис 1.2).

Рис 1.2