Синтез оптимальных уравнений (стр. 1 из 9)

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Механико-математический факультет

Кафедра теоретической механики и робототехники

Курсовая работа

Тема: Синтез оптимальных уравнений

Студента 3-го курса 13 группы

Павловского Сергея Александровича

Научный руководитель

Лютов Алексей Иванович

Минск 2001г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а I. Введение................................................................................................ 2

§ 1. Задача об оптимальном быстродействии.................................................... 2

1.Понятие об оптимальном быстродействии.................................................. 2

2.Задача управления........................................................................................ 3

3.Уравнения движения объекта....................................................................... 5

4.Допустимые управления............................................................................... 6

§ 2. Об основных направлениях в теории оптимальных процессов.................. 7

5.Метод динамического программирования.................................................. 7

6.Принцип максимума..................................................................................... 9

§ 3. Пример. Задача синтеза............................................................................... 12

7.Пример применения принципа максимума............................................... 12

8.Проблема синтеза оптимальных управлений............................................ 14

Г л а в а II. Линейные оптимальные быстродействия..................................... 15

§ 4 Линейная задача оптимального управления............................................... 15

9.Формулировка задачи................................................................................ 15

10.Принцип максимума................................................................................. 16

11.Принцип максимума — необходимое и достаточное условие

оптимальности............................................................................................... 17

12.Основные теоремы о линейных оптимальных быстродействиях........... 18

§ 5. Решение задачи синтеза для линейных задач второго порядка................ 18

13.Упрощение уравнений линейного управляемого объекта...................... 18

Г л а в а III. Синтез оптимальных управлений для уравнения второго

порядка.......................................................................................................... 20

§ 6. Решение задачи синтеза в случае комплексных собственных значений...... 20

14.Задача синтеза для малых колебаний маятника...................................... 20

Список используемой литературы....................................................................... 23

Г л а в а I

ВВЕДЕНИЕ

Управляемые объекты прочно вошли в нашу повседневную жизнь и стали обиходными, обыденными явлениями. Мы видим их буквально на каждом шагу: автомобиль, самолёт, всевозможные электроприборы, снабжённые регуляторами (например, электрохолодильник), и т. п. Общим во всех этих случаях является то, что мы можем «управлять» объектом, можем в той или иной степени влиять на его поведение.

Обычно переход управляемого объекта из одного состояния в другое может быть осуществлён многими различными способами. Поэтому возникает вопрос о выборе такого пути, который с некоторой (но вполне определённой) точки зрения окажется наиболее выгодным. Это и есть (несколько расплывчато сформулированная) задача об оптимальном управлении.

§ 1. Задача об оптимальном быстродействии

1.

Понятие об управляемых объектах. Рассмотрим прямолинейное движение автомобиля. В каждый момент времени состояние автомобиля можно характеризовать двумя числами: пройденным расстоянием s и скоростью движения v. Эти две величины меняются с течением времени, но не самопроизвольно, а сообразно воле водителя, который может по своему желанию управлять работой двигателя, увеличивая или уменьшая развиваемую этим двигателем силу F. Таким образом, мы имеем три связанных между собой параметра: s,v,F,показанных на схеме (рис. 1). Величины s,v,характеризующие состояние автомобиля, называют его фазовыми координатами,а величину F – управляющим параметром.

Если мы будем рассматривать движение автомобиля по плоскости (а не по прямой), то фазовых координат будет четыре (две «географические» координаты и две компоненты скорости), а управляющих параметров – два (например, сила тяги двигателя и угол поворота руля). У летящего самолёта можно рассматривать шесть фазовых координат (три пространственные координаты и три компоненты скорости) и несколько управляющих параметров (тяга двигателя, величины, характеризующие положение рулей высоты и направления, элеронов).

Разумеется, в проводимом ниже математическом исследовании мы будем иметь дело не с самими реальными объектами, а с некоторой математической моделью. Сказанное выше делает естественным следующее математическое описание управляемого объекта. Состояние объекта задаётся (в каждый момент времени) n числами x¹, x²,…,xⁿ, которые называются фазовыми координатами объекта. Движение объекта заключается с математической точки зрения в том, что его состояние с течением времени изменяется, т. е. x¹,x²,…,xⁿ являются переменными величинами (функциями времени). Движение объекта происходит не самопроизвольно. Им можно управлять; для этого объект снабжён «рулями», положение которых характеризуется (в каждый момент времени) r числами u¹,u²,…,u^r; эти числа называются управляющими параметрами. Рулями можно «манипулировать», т. е. по своему желанию менять (конечно, в допустимых пределах) управляющие параметры u¹,u²,…,u^r. Иначе говоря, мы можем по желанию выбрать функции u¹(t),u²(t),…,u^r(t), описывающие изменение управляющих параметров с течением времени. Мы будем предполагать (как это обычно и бывает), что, зная фазовое состояние объекта в начальный момент времени и выбрав управляющие функции u¹(t),u²(t),…,u^r(t) (для t>t₀), мы можем точно и однозначно рассчитать поведение объекта для всех t>t₀,т. е. можем найти функции x¹(t),x²(t),…,xⁿ(t), характеризующие изменение фазовых координат с течением времени. Таким образом, изменение фазовых координат x¹,x²,…,xⁿуже не зависит непосредственно от нашего желания, но на движение объекта мы всё же можем в той или иной мере воздействовать, выбирая по своему желанию управляющие функции u¹(t),u²(t),…,u^r(t).

Управляемый объект, о котором только что шла речь, в теории автоматического управления принято изображать так, как это показано на рис. 2. Величины u¹,u²,…,u^r (управляющие параметры) часто называют также «входными переменными», а величины x¹, x²,…,xⁿ (фазовые координаты) – «выходными переменными». Говорят ещё, что «на вход» объекта поданы величины u¹,u²,…,u^r, а «на выходе» мы получаем величины x¹, x²,…,xⁿ. Разумеется, на рис. 2 показано лишь условное обозначение управляемого объекта и никак не отражено его «внутреннее устройство», знание которого необходимо, чтобы выяснить, каким образом, зная управляющие функции u¹(t),u²(t),…,u^r(t), можно вычислить изменение фазовых координат x¹(t),x²(t),…,xⁿ(t).

Величины u¹,u²,…,u^r удобно считать координатами некоторого вектораu=(u¹,u²,…,u^r), также называемого управляющим параметром (векторным). Точно так же величины x¹, x²,…,xⁿудобно рассматривать как координаты некоторого вектора (или точки) x=(x¹, x²,…,xⁿ) в n – мерном пространстве с координатами x¹, x²,…,xⁿ. Эту точку называют фазовым состоянием объекта, а n – мерное пространство, в котором в виде точек изображаются фазовые состояния, называется фазовым пространством рассматриваемого объекта. Если объект таков, что его фазовое состояние характеризуется только двумя фазовыми координатами x¹, x² (см. рис. 1), то мы будем говорить о фазовой плоскости. В этом случае фазовые состояния объекта изображаются особенно наглядно.

Итак, в векторных обозначениях рассматриваемый управляемый объект можно изобразить так, как показано на рис. 3. Входящая величина u=(u¹,u²,…,u^r) представляет собой управляющий параметр, а выходная величина x=(x¹, x²,…,xⁿ) представляет собой точку фазового пространства (или, иначе, фазовое состояние объекта).

Как сказано выше, чтобы полностью задать движение объекта, надо задать его фазовое состояние x₀=(x₀¹, x₀²,…, x₀ⁿ) в начальный момент времени t₀ и выбрать управляющие функции u¹(t), u²(t),…, u^r(t) (для t>t₀), т. е. выбрать векторную функцию u(t)= u¹(t),u²(t),…,u^r(t)). Эту функцию u(t) мы будем называть управлением. Задание начального фазового состояния x₀и управления u(t) однозначно определяет дальнейшее движение объекта. Это движение заключается в том, что фазовая точка x(t)=(x¹(t),x²(t),…,xⁿ(t)), изображающая состояние объекта, с течением времени перемещается, описывая в фазовом пространстве некоторую линию, называемую фазовой траекторией рассматриваемого движение объекта (случай n=2 изображён на рис. 4). Очевидно, что эта линия исходит из точки x₀, поскольку x(t₀)=x₀.