– очень интереснаяи важная тема.Системы уравненийи методы ихрешения рассматриваютсяв школьномкурсе математики,но недостаточношироко. А длятого, чтобыперейти кисследованиюданной темы,также нужнобыло познакомитьсяс темой матрици определителей.Этот же материалвообще в школьнойпрограмме неизучается.Поэтому перваяглава моегореферата посвященатеме матрици определителей.В ней я рассматриваларазличныедействия надматрицами,свойстваопределителей,метод Гауссавычисленияранга матрицы,а так же некоторыедругие теоретическиевопросы. Вовторой главенепосредственнорассматриваютсясистемы линейныхуравнений инекоторыеметоды их решения:правило Крамера,метод Гаусса,а так же теоремаКронекера –Капелли. И втой и в другойглавах приведеныпримеры, которыесоставляютпрактическуючасть моегореферата.

Цельмоей работызаключаетсяв том, чтобыизучить различныеспособы решениясистем линейныхуравнений дляпримененияих на практике.Для достижениялюбой целинеобходимовыполнитькакие-то определенныезадачи. Мненужно выполнитьследующиезадачи: исследоватьлитературупо темам матриц,определителейи систем линейныхуравнений;изучить современноесостояниеданного вопроса;отобрать иклассифицироватьисследуемыйматериал; атакже провестипрактическуючасть работы.Давайте рассмотримнекоторыепримеры важнейшихмоментов этойработы.

Пустьдана системаnлинейныхуравнений сnнеизвестными:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ …+ a_1nx_n= b₁;

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ …+ a_2nx_n= b₂;

……………………………………

a_n1x₁+ a_n2x₂+ …+ a_nnx_n= b_n;

a).Если ,то система (1)имеет единственноерешение,

котороеможет бытьнайдено поформулам Крамера: x₁=

,где

определительn-го порядка _i( i=1,2,...,n) получаетсяиз определителясистемы путемзамены i-го столбцасвободнымичленами b₁, b₂,..., b_n.

б).Если ,то система (1)либо имеетбесконечноемножестворешений , либонесовместна,т.е. решенийнет.Например:

решитьсистему уравнений

Вычислимопределительсистемы:

Так какопределительне равен нулю,система уравненийможет бытьрешена по формуламКрамера. Найдемопределители∆x ,∆y:

Практическоезначение правилаКрамера длярешения системыnлинейных уравненийс пнеизвестныминевелико, таккак при егопримененииприходитсявычислять п+1определителейn-гопорядка: ,_x₁,_x₂,…,x_n.Более удобнымявляется такназываемыйметодГаусса. Онприменим и вболее общемслучае системылинейных уравнений,т. е. когда числоуравнений несовпадает счислом неизвестных.

так,пусть данасистема, содержащаяmлинейных уравненийс пнеизвестными:

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+…+ а₁_nх_n=b₁;

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+ а₂_nх_n=b₂;

_. ……………………………………

а_m1х₁+ а_m2х₂+…+ а_m_nх_n=b_m

Метод Гауссарешения системы(19) заключаетсяв последовательномисключениипеременных.Например:

Решитьметодом Гауссасистему уравнений

x₁– 2x₂+ x₃+ x₄= –1;

3x₁+ 2x₂– 3x₃– 4x₄= 2;

2x₁– x₂+ 2x₃– 3x₄= 9;

x₁+ 3x₂– 3x₃– x₄= –1.

Ре ш е н и е.Составимматрицу Випреобразуемее. Для удобствавычисленийотделимвертикальнойчертой столбец,состоящий изсвободныхчленов:

1 –2 1 1 –1

B= 3 2 –3 –4 2 .

2 –1 2 –3 9

1 3 –3 –1 –1

Умножимпервую строкуматрицы Впоследовательнона 3, 2 и 1 и вычтемсоответственноиз второй, третьейи четвертойстрок. Получимматрицу,эквивалентнуюисходной:

1 –2 1 1 –1

0 8 –6 –7 5

0 3 0 –5 11

0 5 –4 –2 0

Третьюстроку матрицыумножим на 3 ивычтем ее извторой строки.Затем новуювторую строкуумножим на 3 ина 5 и вычтемиз третьей ичетвертойстрок. Получимматрицу, эквивалентнуюисходной:

1 –2 1 1 –1

0 –1 –6 8 –28

0 0 –1 0 –3

0 0 0 19 –19

Из коэффициентовпоследнейматрицы составимсистему, равносильнуюисходной:

x₁– 2x₂+ x₃+ x₄= –1;

X₂– 6x₃+ 8x₄= –28;

– x₃= –3;

19x₄= –19.

Решимполученнуюсистему методомподстановки,двигаясьпоследовательноот последнегоуравнения кпервому. Изчетвертогоуравнения x₄= –1,из третьегох₃=3.Подставивзначения х₃иx₄во второе уравнение,найдем x₂= 2.Подставивзначения x₂,x₃,x₄в первое уравнение,найдем x₁= 1.

ТеоремасовместностиКронекера –Капелли звучитследующимобразом: Длятого, чтобысистема неоднородныхлинейных уравненийбыла совместной,необходимои достаточно,чтобы ранграсширеннойматрицы системыбыл равен рангуеё основнойматрицы. Рассмотримследующийпример:

Рассмотримсистему

5x₁– x₂+ 2x₃+ x₄= 7;

2x₁+ x₂ – 4x₃– 2x₄= 1;

x₁– 3x₂+ 6x₃– 5x₄= 0.

Рангосновной матрицыэтой системыравен 2, так каксцществуетотличный отнуля минорвторого порядкаэтой матрицы,например

5 –1 = 7,

2 1

авсе минорытретьего порядкаравны нулю.

Ранграсширеннойматрицы этойсистемы равен3, так как существуетотличный отнуля минортретьего порядкаэтой матрицы,например

5 –1 7

2 1 1 = –35.

1 –3 0

Согласнокритерию Кронекера– Капелли системанесовместна,т.е. не имеетрешений.

Впроцессе работыя узнала многонового: какиедействия можновыполнять надматрицами,какой путьрешения системлинейных уравненийнаиболее простойи быстрый, атак же многиедругие теоретическиевопросы и провелапрактическиеисследования,приводя примерыв тексте.

Темарешения системлинейных уравненийпредлагаетсяна вступительныхэкзаменах вразличныематематическиевузы, на выпускныхэкзаменах,поэтому умениеих решать оченьважно.

Рефератможет использоватьсякак учащимися,так и преподавателямив процессефакультативныхзанятий, какпособие длясамостоятельногоизучения потеме „Способырешения системлинейных уравнений”, а также в качестведополнительногоматериала.

МОУГимназия № 11

Способырешения системлинейных уравнений

Анжеро-Судженск

2004г.

МОУГимназия № 11

Способырешения системлинейных уравнений

Рефератпо математике

Выполнила:

Ученица9²класса

БойкоЮлия

Научный

Руководитель:

КлоковаТатьяна

Васильевна.

Анжеро-Судженск

2004г.

Содержание:

Введение. 2

ГлаваI.Матрицы и действиянад ними. 5

1.1. Основныепонятия. –

1.2.Действия надматрицами. 8

1.3. Обратнаяматрица. 11

1.4. Рангматрицы. 16

ГлаваII.Системы линейныхуравнений. 23

2.1. Основныепонятия. –

2.2.Система nлинейных уравненийс nнеизвестными.Правило

Крамера. 24

2.3.Однороднаясистема nлинейных уравненийс n

неизвестными. 28

2.4. МетодГаусса решенияобщей системылинейных

уравнений. 30

2.5. Критерийсовместностиобщей системылинейных

уравнений. 37

Заключение. 45

Списоклитературы. 46

-1-

Введение.

Многиетеоретическиеи практическиевопросы приводятне к одномууравнению, ак целой системеуравнений снесколькиминеизвестными.Особенно важенслучай системылинейныхуравнений,т.е. системы mуравнений1ой степени сnнеизвестными:

a₁₁x₁+ … + a_1nx_n= b₁;

a₂₁x₁+ … + a_2nx_n= b₂;

………………………………

a_m1x₁+ … + a_mnx_n= b_m.

Здесьx₁,… , x_n– неизвестные,а коэффициентызаписаны так,что индексыпри них указываютна номер уравненияи номер неизвестного.Значение систем1ой степениопределяетсяне только тем,что они простейшие.На практикечасто имеютдело с заведомомалыми величинами,старшими степенямикоторых можнопренебречь,так что уравненияс такими величинамисводятся впервом приближениик линейным. Неменее важно,что решениесистем линейныхуравненийсоставляетсущественнуючасть при численномрешении разнообразныхприкладныхзадач. Ещё Г.Лейбниц(1693) обратил вниманиена то, что приизучении системлинейных уравненийнаиболее существеннойявляется таблица,состоящая изкоэффициентов,и показал, какиз этих коэффициентов(в случае m= n) строитьтак называемыеопределители,при помощикоторых исследуютсясистемы линейныхуравнений.Впоследствиитакие матрицы,или матрицы,стали предметомсамостоятельногоизучения, таккак обнаружилось,что их роль неисчерпываетсяприложениямик теории системлинейных уравнений.Современнаяалгебра, понимаемаякак учение обоперациях надлюбыми математическимиобъектами,является однимиз разделовматематики,формирующихобщие понятияи методы длявсей математики.Для современнойалгебры характерното, что в центревнимания оказываютсясвойства операций,а не объектов,над которымипроводятсяданные операции.Классическимразделом алгебрыявляется линейнаяалгебра,т.е. теория

-2-

векторныхпространстви модулей, частьюкоторых являются сформировавшиесяещё в XIXвеке теориялинейных уравненийи теория матриц.Идеи и методылинейной алгебрыприменяютсяво многих разделахматематики.Так, основнымпредметомизученияфункциональногоанализа являютсябесконечномерныевекторныепространства.

Г.Крамеромв 1750 году былоустановленоправило, применимоек любой системеnлинейныхуравненийc nнеизвестными.Оно носит названиеправилаКрамера.Построениеполной теориипроизвольныхсистем линейныхуравнений былозаконченотолько спустя100 лет Л.Кронекером.

Применениеправила Крамерапри практическомрешении большогочисла линейныхуравнений можетвстретитьразличныетрудности, таккак нахождениеопределителейвысокого порядкасвязано с весьмабольшимивычислениями.Поэтому былиразработаныметоды численного(приближённого)решения системлинейных уравнений,наиболее известнымиз которыхявляется методГаусса.Система линейныхуравнений можетиметь как одноединственноерешение (определённаясистема),так и несколько(и даже бесконечноемножество)решений (неопределённаясистема);может такжеоказаться, чтосистема линейныхуравнений неимеет ни одногорешения (несовместнаясистема).Вопрос о совместностисистемы линейныхуравнений, т.е.вопрос о существованиирешения системылинейных уравнений,решается сравнениемранга матриц[а_ij]и [a_ij,b_j].Еслиранги совпадают,то системасовместна; еслиранг матрицыВстрого большеранга матрицыА,то системанесовместна(теоремаКронекера-Капелли).

Несколькоуравнений вида a₁x₁+ …+ a_nx_n=bобразуютсистему линейныхуравнений

a_j1x₁+ …+ a_jnx_n= b_j, j = 1, …, m,

которуюможно записатькак

x₁a₁+ …+ x_na_n= b,

гдеа₁,…, а_n,bm-мерныевекторы, являющиесястолбцамирасширеннойматрицы Всистемы.Отсюда следует,что различныелинейные уравненияв функциональныхпространствах,линейныедифференциальныеуравнения,линейные интегральныеуравнения

-3-

являютсябесконечномернымианалогамиобычных системлинейных уравнений.

Способырешения системлинейных уравнений– очень интереснаяи важная тема.Системы уравненийи методы ихрешения рассматриваютсяв школьномкурсе математики,но недостаточношироко. А длятого, чтобыперейти кисследованиюданной темы,также нужнобыло познакомитьсяс темой матрици определителей.Этот же материалвообще в школьнойпрограмме неизучается. Впроцессе знакомствас данной работойприобретаютсянавыки, с помощьюкоторых в последующемрешение системлинейных уравненийстанет намногопроще, понятнееи быстрее.

-4-

ГлаваI.Матрицы и действиянад ними.

Основныепонятия.

МатрицаразмерамиmЧ n–совокупностьmnчисел, расположенныхв виде прямоугольнойтаблицы изmстроки nстолбцов, например(обозначим заА)

2 5 2

А= 3 10 7 - матрица.

6 -3 -4

Числа,из которыхсостоит матрица,называютсяэлементамиматрицы.В общем видематрицы:

а₁₁ a₁₂ … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n

M= a₃₁ a₃₂ … a_3n

…………………

a_m1 a_m2 … a_mn

ониобозначаютсябуквами с двумяиндексами: 1ыйиндекс указываетномер строки,а 2ой – номерстолбца, в которыхсодержитсяэтот элемент.

Еслиm =n,то матрицаназываетсяквадратной,а число строк(или столбцов)– её порядком.

Двематрицы, имеющиеодинаковоеколичествострок и столбцов,называютсяматрицамиодинаковоготипа.Две матрицыА = [a_ij]и В=[b_ij]одинаковоготипа называютсяравными,если a_ij= b_ijпривсех iиj.

Матрица,состоящая изодной строки(одного столбца),называетсяматрицей-строкой(матрицей-столбцом),а матрица, укоторой всеэлементы а_ij= 0, – нулевойилинуль матрицей.

Элементыквадратнойматрицы, имеющиеодинаковыезначения индексов,составляютглавнуюдиагональ,а элементыквадратной

-5-

матрицыпорядка n,суммаиндексов каждогоиз которыхравна n+1,–

побочнуюдиагональ.

Суммаэлементовглавной диагоналиквадратнойматрицы называетсяследомматрицы.Квадратныематрицы, у которыхвсе элементывне главнойдиагонали равнынулю, называютсядиагональными(обозначаетсяЕ):

1 0 … 0

Е = 0 1 … 0

………………

0 0 … 1

Квадратнаяматрица, всеэлементы которой,стоящие ниже(выше) главнойдиагонали,равны нулю,называетсятреугольной:

a₁₁ а₁₂ … а_1n b₁₁ 0 … 0

А = 0 а₂₂… а_2n ; B= b₂₁ b₂₂ … 0

……………… ………………

0 0 … a_nn b_n1 b_n2 … b_nn

Диагональнаяматрица являетсячастным случаемтреугольной.Преобразованиеэлементовквадратнойматрицы, состоящеев замене строксоответствующимистолбцами,называетсятранспонированиемматрицы.Таким образом,если

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A= a₂₁ a₂₂ … a_2n ;

…………………

a_n1 a_n2 … a_nn

то

a₁₁ a₂₁ … a_n1

A^T= a₁₂ a₂₂ … a_n2 .

………………

a_1n a_2n … a_nn

Определительn-гопорядка матрицы

-6-

а₁₁ а₁₂ … а_1n

А= а₂₁ а₂₂ … а_2n

…………….…

а_n1 а _n2… а_nn

естьчисло

а₁₁ а₁₂… а_1n

∆ = а₂₁ а₂₂ … а_2n = ∑ (-1)^{I(k, k , …, k )}a_1ka_2k… a_nk

……………… (k₁,k₂,…, k_n)

а_n1 а_n2 … а_nn

Здесьсуммированиераспространяетсяна всевозможныеперестановкииндексов элементова_ij,т.е. на всевозможныеперестановки(k₁,k₂,…, k_n).Числаа_ijназывают элементамиопределителя.

Квадратнаяматрица, определителькоторой отличенот нуля, называетсяневырожденной,а матрицас определителем,равным нулю– вырожденной.

Определительобладает некоторымисвойствами.Перечислимих:

Притранспонированииматрицы еёопределительне изменяется.

2. Есливсе элементынекоторойстроки определителясостоят из

нулей,определительравен нулю.

3.От перестановкидвух строкопределительменяет знак.

Определитель,содержащийдве одинаковыестроки, равеннулю.
Общиймножитель всехэлементовнекоторойстроки определителяможно вынестиза знак определителя,или, если всеэлементы некоторойстроки определителяумножить наодно и тожечисло, то определительумножаетсяна это число.
Определитель,содержащийдве пропорциональныестроки, равеннулю.
Есливсе элементыi-йстроки определителяпредставленыв виде суммыдвух слагаемых,то определительравен суммедвух определителей,у которых всестроки, кромеi-й,те же, что и уданного определителя;i-ястрока определителясостоит изпервых слагаемыхэлементов i-йстроки данногоопределителя,а i-я

строкадругого – извторых слагаемыхэлементов i-йстроки.

-7-

Определительне изменяется,если к элементамодной строкиприбавитьсоответствующиеэлементы другойстроки, умноженныена одно и тожечисло.

1.2.Действия надматрицами.

Основныеоперации, которыепроизводятсянад матрицами,– сложение,вычитание,умножение, атакже умножениематрицы начисло. Указанныеоперации являютсяосновнымиоперациямиалгебрыматриц– теории, играющейвесьма важнуюроль в различныхразделах математикии естествознания.

Суммойдвух матрицА и Водинаковыхразмеров называетсяматрица тогоже размера,элементы которойравны суммесоответствующихэлементовматриц Аи В.Таким образом,если

а₁₁ … а_1n b₁₁ … b_1n

А= ………….. ; (1) В= …………… , то (2)

a_m1 … а_mn b_m1 … b_mn

a₁₁+b₁₁ … a_1n+ b_1n

A+ B = ………………………

a_m1+b_m1… a_mn+ b_mn

Операциянахождениясуммы матрицназываетсясложениемматриц ираспространяетсяна случай конечногочисла матрицодинаковыразмеров.

Также, как и сумма,определяетсяразностьдвух матриц

a₁₁– b₁₁ … a_1n– b_1n

A– B = ………………………

a_m1– b_m1…a_mn– b_mn

Операциянахожденияразности двухматриц называетсявычитаниемматриц.Проверкой можноубедиться, чтооперация сложенияматриц удовлетворяетследующимсвойствам:

-8-

А+ В = В + А;(коммутативность)
А+ (В + С)= (А + В) + С;(ассоциативность)
А + О= А.

ЗдесьА, В, С– произвольныематрицы одинаковыхразмеров; О –нулевая матрицатого же размера.

ПроизведениемматрицыА = [а_ij]на числоλ называетсяматрица, элементыкоторой получаютсяиз соответствующихэлементовматрицы А умножениемих на число λ.Произведениеобозначим

λА. Такимобразом отумноженияматрицы (1) начисло, получим:

a₁₁… a_1n λa₁₁ … λa_1n

A= ………… , то λA = ………………

a_m1… a_mn λa_m1… λa_mn

Операциянахожденияпроизведенияматрицы начисло называетсяумножениемматрицы начисло.Матрица –А= –1Аназываетсяпротивоположнойматрице А.Проверкой можноубедиться, чтооперация умноженияматрицы начисло удовлетворяетследующимсвойствам:

1А = А;
(λ + μ)А =λА + μΑ;
λ(А + В)= λΑ+ λВ;

4) λ( μА) =(λμ)А;

5) А + (-А) = О.

ЗдесьА, В– произвольныематрицы; μ,λ -произвольныечисла; О – нулеваяматрица.

ПроизведениеАВматрицы Ана матрицу Вопределяетсятолько в томслучае, когдачисло столбцовматрицы Аравно числустрок матрицыВ.Пусть матрицыАи Втакие, что числостолбцов матрицыАравно числустрок матрицыВ:

а₁₁ … а₁_n b₁₁ … b_1n

A= …………… ; B = ………………

a_m1 … a_mn b_m1 … b_mn

В этомслучае произведениемматрицы Ана матрицу В,которые

-9-

заданыв определенномпорядке (А– 1ая, В – 2ая),является матрицаС,элемент которойс_ijопределяетсяпо следующемуправилу:

c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+… + a_inb_nj=∑ⁿ_{α= 1}a_iαb_αj,

гдеi= 1,2,…, m;j = 1, 2, …, k.

Дляполученияэлемента с_ijматрицы произведенияС = АВнужно элементыi-йстроки матрицыАумножить насоответствующиеэлементы j-гостолбца матрицыВи полученныепроизведениясложить. Например,если:

1 2 3 7 8

А= ; В= 9 10 , то (1)

4 5 6 11 12

1 7+ 2 9 + 3 11 1 8 + 2 10 + 3 12 58 64

АВ= = (2)

4 7 + 5 9 + 6 11 4 8 + 5 10 + 6 12 139 154

Числострок матрицыС = АВравно числустрок матрицыА,а число столбцов– числу столбцовматрицы В.

Операциянахожденияпроизведениядвух матрицназываетсяумножениемматриц.Умножениематриц некоммутативно,т.е.

АВ≠ВА.Убедимся впримере матриц(1). Перемноживих в обратномпорядке, получим:

39 54 69

ВА= 49 68 87 (3)

59 82 105

Сравнивправые частивыражений (2) и(3), убедимся, чтоАВ ≠ВА.

МатрицыАи В,для которыхАВ = ВА,называютсяперестановочными.Например:

1 2 -3 2

А= ; В= перестановочны,т.к.

-2 0 -2 -4

-7 -6

АВ= ВА=

-4

-10-

Проверкойможно показать,что умножениематриц удовлетворяетследующимсвойствам:

А(ВС)= (АВ)С; (ассоциативность)
λ(АВ)= (λА)В = А(λВ);
А(В+ С) = АВ + АС. (дистрибутивность)

ЗдесьА, В, С – матрицысоответствующихопределениюумноженияматриц размеров;λ - произвольноечисло.

Операцияумножения двухпрямоугольныхматриц распространяетсяна случай, когдачисло столбцовв 1ом множителеравно числустрок во 2ом, востальныхслучаях произведениене определяется.А также, еслиматрицы А иВ – квадратныеодного и тогоже порядка, тоумножениематриц всегдавыполнимо прилюбом порядкеследованиясомножителей.

1.3.Обратнаяматрица.

Пустьдана квадратнаяматрица

a₁₁ … a_1n

A = …………… ,

a_m1 … a_mn

= A –её определитель.

Еслисуществуетматрица Хтакая, что АХ= ХА = Е, где Е– единичнаяматрица, томатрица Хназываетсяобратной поотношению кматрице А, асама матрицаА – обратимой.Обратная матрицадля А обозначаетсяА^-1.

Теорема1.1. Для каждойобратимойматрицы существуеттолько однаобратная ейматрица.

Д о к аз а т е л ь с т во. Пусть дляматрицы А наряду с матрицейХ существуетеще хотя быодна отличнаяот Х обратнаяматрица, которуюобозначим заХ₁. Тогдадолжны выполнятьсяследующиеусловия: ХА= Е, АХ₁ = Е.Умножив второеравенство наматрицу Х,получим ХАХ₁= ХЕ =Х. Но, т.к. ХА= Е, то предыдущееравенство можнозаписать в видеЕХ₁ = Х илиХ = Х₁.

Т е о ре м а д о к а з ан а.

Найдемтеперь выражениедля матрицыА^-1 при условии,что матрица

-11-

А –обратимая.Пусть данаобратимаяквадратнаяматрица А сэлементамиа_ij.Обозначим черезА_ijалгебраическоедополнениеэлемента а_ijв определителе ∆ матрицы Аи составимматрицу В:

А₁₁ A₂₁ … A_n1

B= …………………… (4)

A_1n A_2n … A_nn

Заметим,что в i-йстроке матрицыВ расположеныалгебраическиедополненияэлементов j-гостолбца определителя∆. Матрица (4)называетсяприсоединённойдля матрицыА. Докажем,что матрицыА и В удовлетворяютматричномуравенству

АВ= ВА = ∆Е. (5)

Для этоговычислим элемент,стоящий в i-йстроке и j-мстолбце произведенияАВ. Искомыйэлемент равенсумме произведенийэлементов i-йстроки матрицыА на соответствующиеэлементы j-гостолбца матрицыВ:

a_i1A_j1+ a_i2A_j2+ … + a_inA_jn. (6)

Согласноправилу разложенияопределителяпо элементамстроки (илистолбца) выражение(6) равно определителю∆ при i= j инулю при i≠ j.Следовательно,мы установили,что произведениеАВ есть матрицавида

∆ 0 … 0 1 0 … 0

0 ∆ … 0 = ∆ 0 1 … 0

…………… ……………

0 0 … ∆ 0 0 … 1

Такимобразом, АВ= ∆Е. Аналогичнодоказываетсяи равенство

ВА = ∆Е.

Пустьтеперь А– невырожденнаяматрица(т.е.∆ ≠ 0).Тогда, умноживобе части равенства(5) на числовоймножитель 1/∆ , получим

(7)

Сравниваяравенства (5) и(7) и учитываяединственностьобратной

-12-

матрицы,замечаем, что

Такимобразом, доказано,что, во-первых,обратимы тольконевырожденныематрицы, и,во-вторых, дляматрицы Аобратной являетсяматрица

устьАневырожденнаяматрица, тогдаАА^-1= Е. Переходяв этом равенствек определителям,получаем А А^-1 = 1, откуда

А^-1= А ^-1.

Такимобразом, определительобратной матрицыравен обратнойвеличине определителяданной матрицы.Из этого следует,что если матрицаА– невырожденная,то обратнаяматрица А^-1также невырожденная.

Пустьтеперь данаматрица А^-1.Для неё обратнойбудет матрица

(А^-1)^-1.Поэтомуиз определенияобратной матрицыбудем иметь

А^-1(А^-1)^-1= Е. Умноживэто соотношениеслева на А,получим

АА^-1(А^-1)^-1 = АЕили(А^-1)^-1 = А.

-13-

Пример1. Найтиматрицу обратнуюматрице

1 2 3

А= –3 –1 1 .

2 1 –1

Р еш е н и е. Проверим,обратима матрицаАили нет, т.е.является лиона невырожденной:

1 2 3 1 2 5

∆_А= –3 –1 1 = –3 –1 0 = 5 –3 1 = 5 (–3 + 2) = –5 ≠ 0.

2 1 –1 2 1 0 2 1

Найдемалгебраическиедополнениявсех элементовматрицы А:

₁₁= –1 1 = 0; А₁₂= – –3 1 = –1;

1 –1 2 –1

А₁₃= –3 –1 = –1; А₂₁= – 2 3 = 5;

2 1 1 –1

А₂₂= 1 3 = –7; А₂₃= – 1 2 = 3;

2 –1 2 1

А₃₁= 2 3 = 5; А₃₂= 1 3 = –10;

–1 1 –3 1

₃₃= 1 2 = 5.

–3 –1

Составимприсоединённуюматрицу дляматрицы А:

0 5 5

–1 –7 –10 .

–1 3 5

тсюданаходим обратнуюматрицу:

0 5 5

А^-1= – –1 –7 –10 .

–1 3 5

-14-

Пример2.Найти неизвестнуюматрицу Хиз уравненияАХ= В,если:

А= 2 3 ; В= 3 4 .

1 2 -1 1

Ре ш е н и е. Умноживобе части данногоматричногоуравнения слевана матрицу А^-1,получим:

А^-1АХ= А^-1В; Х = А^-1В.

НайдемА^-1:∆_А= 1, А₁₁= 2, А₁₂= -1, А₂₁= -3, А₂₂= 1, следовательно,

А^-1= 2 -3 .

-1 1

Найдемматрицу Х:

Х =А^-1В= 2 -3 3 4 = 9 5 .

-1 1 -1 1 -4 -3

-15-

1.4.Ранг матрицы.

Рассмотримпроизвольнуюпрямоугольнуюматрицу

а₁₁ … а₁_n

A= …………… (8)

a_m1 … a_mn

Выделимнекоторое числоkстрок этойматрицы и такоеже число столбцов.Элементы матрицы(8), стоящие напересечениевыделенныхстрок и столбцов,образуют квадратнуюматрицу k-гопорядка.Определительэтой матрицыназываетсяминоромk-гопорядка матрицыА. Еслине все числаа_ijматрицыАравны нулю, товсегда можноуказать числоrтакое, что уматрицы Аимеется минор,

имеющийпорядок r+ 1 и выше,равен нулю.

Числоr,представляющеесобой наибольшийиз порядковотличных отнуля миноровматрицы А,называетсярангом матрицыи обозначаетсяrangA.Если все элементыа_ijравны нулю, торанг матрицыпринимаетсяравным нулю.Отличный отнуля минор r-гопорядка матрицыA(таких минорову матрицы Аможет бытьнесколько, новсе они имеютодин и тот жепорядок r)называетсябазиснымминором матрицыА. Строкии столбцы, изкоторых построенбазисный минор,называют базисными.Понятие рангаматрицы широкоприменяетсяв различныхприложенияхтеории матриц.

Выделимв матрице Апроизвольноkстрок. Пустьэто будут строки

a₁,а₂,…, а_k:

а_α₁₁, а_α₁₂, …, а_α₁_n;

а_α₂₁, а_α₂₂, …, а_α₂_n;

……………………

а_α_k₁, а_α_k₂, …, а_α_k_n.

-16-

Еслисуществуюттакие числаλ₁,λ₂,…, λ_k,не все равныенулю, что дляэлементовнекоторойдругой, отличнойот выделенной,строки iвыполняютсяследующиесоотношения:

(9)

тоговорят, чтоi-ястрока линейновыражаетсячерез строки

α₁,α₂,…, α_k.В случае, еслиравенства (9)выполняютсятогда и толькотогда, когдавсе числа λ₁,λ₂,…, λ_k–нули, то говорят,что i-ястрока линейнозависима отстрок α₁,α₂,…, α_k.Аналогичнымобразом можноввести понятиелинейной зависимостии линейнойнезависимостимежду столбцамиматрицы.

Теорема1.2.(о базисномминоре)Любая строкаматрицы А являетсялинейной комбинациейеё базисныхстрок.

Д о к аз а т е л ь с т во. Предположим,что базисныйминор матрицы(8) расположенв её верхнемлевом углу,т.е. в первых rстроках и первыхr столбцах.Такое предположениене уменьшаетобщности рассуждения.Пусть k– номер любойстроки матрицыА (k можетприниматьзначения от1 до m), а l– номер любогоеё столбца (lможет приниматьзначения от1 до n).

Рассмотримследующий минорматрицы (8):

a₁₁ a₁₂ … a_1r a₁_l

a₂₁ a₂₂ … a₁₁ a_1l

∆ = ……………………… (10)

a_r1 a_r2 … a_rr a_rl

………………………

a_k1 a_k2 … a_kr a_k_l

Если k r,то ∆ = 0, таккак в нем имеетсядве одинаковыестроки. Аналогично∆ = 0 и приl r.

Разложивопределитель∆ по элементампоследнегостолбца, получим

a₁_lA₁_l+ a₂_lA₂_l+ … + a_r_lA_r_l+ a_k_lA_k_l= 0,

-17-

Придаваяl значения,получаем:

(11)

Равенства(11) показывают,что k-ястрока матрицыА являетсялинейной комбинациейпервых rстрок с коэффициентами

λ₁,λ₂, …, λ_r.Так как этиравенствасправедливыпри любом kот 1 до n,то т е о р е м а д о к а з а н а полностью.

Основываясьна теореме обазисном миноре,докажем справедливостьследующихпредложений.

1. Рангматрицы неизменяется,если к ней приписатьстроку, являющуюсялинейной комбинациейстрок матрицы.

Действительно,базисные строкиисходной матрицыбудут такжебазиснымистроками вдополнительнойматрице, таккак строку излинейной комбинациивсех строкисходной матрицыможно

представитькак линейнуюкомбинациюбазисных строк.

2. Рангматрицы А неизменится, есливычеркнутьиз неё строку,являющуюсялинейной комбинациейостальных строкматрицы.

В самомделе, исходнаяматрица Аполучаетсяиз матрицы свычеркнутойстрокой путемдобавлениястроки, являющейсялинейной комбинациейстрок матрицыА. Таким образом,предложение2 сводится кпредложению1.

Нахождениеранга матрицы,как это следуетиз его определения,требует вычислениябольшого числаминоров (т.е.определителейразных порядков)матрицы. Однакоэтот процессможно упростить:вычисляя рангматрицы, гораздоудобнее переходитьот миноровменьших порядковк минорам большихпорядков. Еслинайден минорr-гопорядка, отличныйот нуля, то приследующем шагенужно вычислятьминоры (r+ 1)-го порядка,окаймляющиепрежний минор.Если все ониравны нулю, торанг матрицыравен r.

Другимпростым способомвычисленияранга матрицыявляется методГаусса, основанныйна так называемыхэлементарныхпреобразованиях,выполняемыхнад матрицей.Такими преобразованиямибудем считать:

-18-

вычеркиваниестроки состоящейиз нулей;
прибавлениек элементамодной из строксоответствующихэлементовдругих строк,умноженныхна любое число;
перестановкудвух столбцов.

Теорема1.3. Элементарныепреобразованияне изменяютранга матрицы.

Д о к аз а т е л ь с т во. Преобразование1 следует изтеоремы о линейнойкомбинацииэлементов любойстроки матрицы.В самом деле,так как нулеваястрока не можетбыть базисной,то её исключение,как и включение,не изменитранга матрицы.

Преобразование3 очевидно, таккак перестановкадвух столбцовматрицы ненарушает никакихлинейных зависимостеймежду её строками.

Остаетсярассмотретьпреобразование2. Пусть к kэлементамi-ойстроки матрицыАприбавляютсясоответствующиеэлементы j-ойстроки, умноженныена число k.Указанноепреобразованиеможно выполнитьв два приёма:сначала добавитьк матрице Ановую строку

с элементамиa_il+ka_jl,вставив еёпосле i-йстроки, затемиз полученнойматрицы вычеркнутьj-юстроку. Припервой операцииранг полученнойматрицы будетравен рангуматрицы Асогласно предложению1, а при второйоперации –согласно предложению2.

Т е о ре м а д о к а з ан а.

МетодГаусса вычисленияранга матрицызаключаетсяв том, что путемэлементарныхпреобразованийможно привестиданную матрицуАк виду

b₁_l b₁₂ … b₁_r … b₁_n

B= 0 b₂₂ … b_2r … b_2n

…………………………… ,

0 0 … b_rr … b_rn

в которомвсе диагональныеэлементы b₁_l,b₂₂,…, b_rrотличныот нуля, а элементыдругих строк,расположенныениже диагональных,равны нулю.

Учитывая,что ранг неменяется приэлементарныхпреобразованиях,имеем rangA = rang B.

-19-

Пример1. Вычислитьранг матрицы

1 –2 –1 3

А= 2 0 1 –1 .

–1 –2 –2 4

7 –6 –1 7

Ре ш е н и е. Выберемминор второгопорядка, стоящийв верхнем левомуглу:

М₂= 1 –2 = 4.

аккак М₂≠0, то,следовательно,ранг матрицыне меньше двух.Составляемминоры третьегопорядка, окаймляющиеминор второгопорядка отличныйот нуля. Дляэтого добавимк М₂третьюстроку и третийстолбец:

1 –2 –1

М₃= 2 0 1 = 2 + 4 + 2 – 8 = 0.

–1 –2 –2

Заменимтретий столбецчетвертым:

1 –2 3

М′₃= 2 0 –1 = –2–12 – 2 + 16= 0.

–1 –2 4

Вминоре М₃заменимтретью строкучетвертой:

1 –2 –1

М″₃= 2 0 1 = –14 + 12 + 6 – 4 = 0.

7 –6 –1

Вминоре М′₃заменим третьюстроку четвертой:

1 –2 3

М′″₃= 2 0 –1 = 14–36 – 6 + 28= 0.

7 –6 7

Всеминоры третьегопорядка, окаймляющиеминор второгопорядка, равнынулю. А это значит,что rang A= 2.

-20-

Пример2. Найтиранг матрицы

1 2 3 4 5

A= 2 1 1 3 5 .

1 2 3 1 7

–2 2 4 –1 2

Ре ш е н и е. Произведемследующиеэлементарныепреобразованиянад матрицейА.Путем умноженияэлементов строкна числа и сложенияих с соответствующимиэлементамидругих строкдобьемся, чтобывсе элементыпервого столбца,кроме первого,были бы нулями.Один нуль тамуже имеется,поэтому, сложивчетвертуюстроку со второй,умноженнойна два, получим

1 2 3 4 5

B= 0 –3 –5 –5 –5 .

0 0 0 –3 2

0 6 10 7 12

Применимтеперь элементарныепреобразованиятаким образом,чтобы в матрицеВвсе элементывторого столбца,кроме первыхдвух, были бынулями. Одиннуль там ужеимеется, поэтому,сложив четвертуюстроку со второй,умноженнойна 2, получим

1 2 3 4 5

С= 0 –3 –5 –5 –5 .

0 0 0 –3 2

Оставивтри строкиматрицы Сбез измененияи сложив четвертуюстроку с третьей,умноженнойна –1, получим

1 2 3 4 5

D= 0 –3 –5 –5 –5 .

0 0 0 –3 2

0 0 0 0 0

-21-

Очевидно,что ранг матрицыDравентрем, так какминор третьегопорядка

1 2 5

М= 0 –3 –5 = –6 ≠ 0,

0 0 2

а всеминоры четвертогопорядка, окаймляющиеминор М,равны нулю. Наоснованиитеоремы 1.3.заключаем, чтоrangА= 3.

-22-

ГлаваII.Системы линейныхуравнений.

2.1.Основные понятия

В самомобщем случаесистемалинейных уравненийимеетследующий вид:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ …+ a_1nx_n= b₁;

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ …+ a_2nx_n= b₂; (13)

……………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+ …+ a_mnx_n= b_m;

гдех₁,х₂,…,х_n- неизвестные,значения которыхподлежат нахождению.Как видно изструктурысистемы (2.1), вобщем случаечисло неизвестныхне обязательнодолжно бытьравно числууравнений самойсистемы. Числаа₁₁,а₁₂,…, а_mnназываютсякоэффициентамисистемы,а b₁,b₂,… , b_m - еёсвободнымичленами.Для удобствакоэффициентысистемы а_ij

(i= 1, 2, . . ., m;j = 1, 2, . . .,n)и свободныечлены b_i(i=1,2, . . .,m)снабженыиндексами.Первый индекскоэффициентова_ij соответствуетномеру уравнения,а второй индекс– номеру неизвестнойх_i,прикоторой коэффициентпоставлен.Индекс свободногочлена b_iсоответствуетномеру уравнения,в которое входитb_i.

Дадимопределениянекоторыхпонятий, необходимыхпри изучениисистемы уравнений.Решениемсистемы уравнений(13)называетсявсякая совокупностьчисел α₁,α₂,α_n,которая будучипоставленав систему (13)на место неизвестныхх₁,х₂,…, х_n,обращаетвсе уравнениясистемы в тождества.Система уравненийназываетсясовместной,если она имеетхотя бы однорешение, инесовместной,если не имеетрешений. Совместнаясистема уравненийназываетсяопределенной,если она имеетодно единственноерешение, инеопределенной,если она имеетпо крайней мередва различныхрешения.

Двесистемы уравненийназываютсяравносильнымиили эквивалентными,если они имеютодно и тожемножестворешений.

-23-

2.2. Системаnлинейныхуравнений сn

неизвестными.Правило Крамера.

Пустьдана системаnлинейныхуравнений сnнеизвестными:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ …+ a_1nx_n= b₁;

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ …+ a_2nx_n= b₂; (14)

……………………………………

a_n1x₁+ a_n2x₂+ …+ a_nnx_n= b_n;

Определителемсистемы (14)называетсяопределитель,составленныйиз коэффициентова_ij.

a₁₁ a₁₂ … a_1n

∆ = a₂₁ a₂₂ … a_2n

…………………………

a_n1 a_n2 … a_nn

Рассмотримслучай, когда∆ ≠ 0. Докажем,что в этом случаесистема (14) являетсяопределенной,т.е. имеет одноединственноерешение. Каки ранее, черезА_ijбудемобозначатьалгебраическоедополнениеэлемента а_ijвопределителе∆.

Умножимкаждое уравнениесистемы (14) наалгебраическиедополненияэлементов i-гостолбца определителя∆,т.е. первое уравнениеумножим на А_1i,второе – на А_2iи т.д., наконец,последнееуравнение –на А_ni,а затем всеполученныеуравнениясистемы сложим.В результатебудем иметь

(a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ …+ a_1ix_i+ …+ a_1nx_n)A_1i+ (a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ …+ a_2ix_i+

+…+ a_2nx_n)A_2i+ …+ (a_n1x₁+ a_n2x₂+ …+ a_nix_i+ …+ a_nx_nn)A_ni= b₁A_1i+ b₂A_2i+ …+ b_nA_ni

или,сгруппировавчлены относительноизвестных x₁,x₂,…, x_n,получим

(a₁₁A_1i+ a₂₁A_2i+ …+ a_n1A_ni)x₁+ … +

+(a_1iA_1i+ a_2iA_2i+ …+ a_niA_ni)x_i+ … +

+(a_1nA_1i+ a_2nA_2i+ …+ a_nnA_ni)x_n=

=b₁A_1i+ b₂A_2i+ …+ b_nA_ni. (15)

Коэффициентпри неизвестнойх_i равен определителю∆, а коэффициентыпри всех другихнеизвестныхравны нулю.Свободный

-24-

членуравнения (15)отличаетсяот коэффициентапри х₁тем, что коэффициентыа_1i,а_2i,…, а_niзамененысвободнымичленами

b₁,b₂,…, b_nуравнения(14). Следовательно,выражение

b₁A_1i+ b₂A_2i+ …+ b_nA_ni естьопределительi-гопорядка, отличающийсяот определителя только i-мстолбцом, которыйзаменен столбцомсвободныхчленов. Обозначивэтот определитель∆x_i,будем иметь

a₁₁ a₁₂ … b₁ … a_1n

∆x_i= a₂₁ a₂₂ … b₂ … a_2n .

………………………………

a_n1 a_n2 … b_n … a_nn

Такимобразом, уравнение(15) можно записатьв виде

∆х=∆x_i, (16)

откудапри ∆≠ 0

х = ——

Придаваяиндексу iзначения 1,2, …, n,получаем:

х₁= —— ;

х₂= —— ;

(17)

………………

х_n= —— .

Рассмотренныйметод решениясистемы уравненийназываетсяправиломКрамера,а формулы (17) –формуламиКрамера.

-25-

ример1. Решитьсистему уравнений

x₂+ 2x₂+ x₂– x₂= 1;

2x₂+ x₂– x₂– 3x₂= 1;

x₂– 3x₂+ 2x₂+ 2x₂= –2;

3x₂+ x₂+ 3x₂– 4x₂= –3.

Р е ше н и е. Вычислимопределительсистемы:

1 2 1 -1 1 0 0 0 -3 -3 -1

∆ = 2 1 -1 -3 = 2 -3 -3 -1 = -5 1 3 =

1 -3 2 2 1 -5 1 3 -5 0 -1

3 1 3 -4 3 -5 0 -1

-18 0 8

= -5 1 3 = -18 8 _{= 18 + 40 = 58.}

-5 0 -1 -5 -1

Поскольку ∆≠ 0, системауравнений можетбыть решенапо формуламКрамера. Найдемопределители∆x₁–∆x₄:

1 2 1 –1 1 0 0 0 –1 –2 –2

_∆_х₁₌ 1 1 –1 –3 ₌ 1 –1 –2 –2 = 1 4 0 =

–2 –3 2 2 2 1 4 0 7 6 –7

–3 1 3 –4 –3 7 6 –7

–1 2 –2 2 –2

= 1 0 0 = – –22 –7 = – (–14 – 48) =58;

7 22 –7

1 1 1 –1 1 0 0 0 –1 –3 –1

∆х₂= 2 1 –1 –3 = 2 –1 –3 –1 = –3 1 3 =

1 –2 2 2 1 –3 1 3 –6 0 –1

3 –3 3 –4 3 –6 0 –1

–10 0 8 –10 8

= –3 1 3 = –6 –1 = 19 + 48 = 58;

–6 0 –1

-26-

1 2 1 –1 1 0 0 0 –3 –1 –1

∆х₃= 2 1 1 –3 = 2 –3 –1 –1 = –5 –3 3 =

1 –3 –2 2 1 –5 –3 3 –5 –6 –1

3 1 –3 –4 3 –5 –6 –1

= – (70 – 12) = –58.

Такимже образомвысчитываем∆х₄и получаем: ∆х₁= ∆х₂= –∆х₃= ∆х₄,и, следовательно,х₁= х₂= –х₃= х₄= 1.

-27-

2.3.Однороднаясистема плинейныхуравнений , сnнеизвестными

Линейноеуравнениеназываетсяоднородным,еслиего свободныйчлен равеннулю. Системалинейных уравненийназываетсяоднородной,есливсе входящиев нее уравненияявляются линейнымиоднороднымиуравнениями.

Однороднаясистема плинейныхуравнений спнеизвестнымиимеет вид:

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+ …+а₁_nх_n=0;

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+…+ а₂_nх_n=0; (18)

…………………………………

а_n₁х₁+ а_n₂х₂+…+ а_nnх_n=0.

Непосредственнойпроверкойубеждаемсяв том, что однороднаясистема линейныхуравнений (18)имеет нулевоерешение:

х₁=0, х₂= 0,. . . , х_п= 0.

Такимобразом, однороднаясистема линейныхуравнений (18)всегда

совместна.Поэтому важновыяснить, прикаких условияхона являетсяопределенной.Покажем, чтооднороднаясистема плинейныхуравнений спнеизвестнымиимеет ненулевыерешения тогдаи только тогда,когда определительее равен нулю.

Всамом деле,пусть = 0. Так как однороднаясистема уравнений(18) является частнымслучаем неоднороднойсистемы, то кней применимоправило Крамера.Но для однороднойсистемы всеx_i=0,так как каждыйиз этих определителейсодержит столбециз нулей (b_i= 0).Поэтому система,равносильнаясистеме (16), будетиметь вид

_x₁₌0,_x₂₌0;.. .,_x_n=0

Изэтой системыследует, чтооднороднаясистема (18) имеетединственноенулевое решение,если Δ

0;если же = 0, то из условий(16) следует, чтоона имеетбесчисленноемножестворешений.

-28-

Пример1.Решитьсистему уравнений

2x₁+ x₂–2x₃= 0;

3x₁– x₂– x₃= 0;

x₁+3x₂– x₃= 0.

Р е ш ен и е. Определительсистемы

2 1 –2 2 1 0



= 3 –1 –1 = 3 –1 2 = –2 2 1 = –2 (6 – 1) = –10

1 3 –1 1 3 0 1 3

Таккак Δ

0,то системалинейных однородныхуравнений имеетединственноенулевое решение:х₁=х₂= х₃= 0.

Пример2. Решитьсистему уравнений

x₁– 5x₂= 0;

2x₁–10x₂= 0;

Решение. Вычислимопределительсистемы:

= 1 –5 =0

2 –10

Таккак =0, то системалинейных однородныхуравнений имеетбесчисленноемножестворешений.

-29-

2.4. МетодГаусса решенияобщей

системыс линейныхуравнений

так,пусть данасистема, содержащаяmлинейных уравненийс пнеизвестными:

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+…+а₁_nх_n=b₁;

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+ а₂_nх_n=b₂; (19)

_. ……………………………………

а_m1х₁+ а_m2х₂+…+а_m_nх_n=b_m

Требуетсянайти все решениясистемы уравнений(19). Будем производитьнад системойэлементарныепреобразования:исключениеиз системыуравнения вида

0х₁+ 0х₂+ …+ 0х_n=0 (20)

иприбавлениек обеим частямодного из уравненийсистемы соответствующихчастей другогоуравнения,умноженныхна любое число.

Очевидно,что если мыпроделаем надуравнениямисистемы (19) любоеиз приведенныхвыше преобразований,то получимсистему, равносильнуюисходной. Принеобходимостисистему (19) будемподвергатьеще одному видупреобразований– перенумерациипеременныхи уравнений.Идея этогопреобразованиязаключаетсяв следующем.Если, например,возникаетнеобходимость,чтобы в каком-тоуравнениисистемы (например,в k-м)неизвестнаяx₁стоялана первом месте,то в результатеперенумерациисоответствующееуравнениезапишется ввиде

a_kix₁+ ...+ a_k₂x₂+… +a_k1x_i+...+ a_knx_n= b_k,

т.е. вместо прежнейнеизвестнойх_iмыбудем писатьх₁,а вместо

x₁–х_i

МетодГаусса решениясистемы (19) заключаетсяв

-30-

последовательномисключениипеременных.

Еслисреди уравненийсистемы естьхотя бы одноуравнение вида

0x_l+ 0x₂+... +0x_n=b, (21)

причемb

0,то совершенноочевидно, чтони одна системазначений х₁,х₂...,х_пнеудовлетворяетэтому уравнению,а следовательно,и системе вцелом, поэтомусистема несовместна.

Пустьтеперь система(19) не содержитуравнений вида(20) или (21). Это значит,что в каждомуравнениисистемы хотябы один изкоэффициентовотличен отнуля. Пустьa₁₁

0(в противномслучае, применивэлементарныепреобразования,мы сможем добиться,чтобы первыйкоэффициентпервого уравнениябыл отличенот нуля). Оставивпервое уравнениебез изменения,исключим извсех уравненийсистемы (19),начинаясо второго,неизвестнуюх₁.Для этого извторого уравнениявычтем первое,умноженноена a₂₁/a₁₁,затем из третьегоуравнениявычтем такжепервое, но ужеумноженноена a₃₁/a₁₁,и так до последнегоуравнения. Врезультатеэтих преобразованиймы получимравносильнуюсистему

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+… + а₁_nх_n=b_1;

а′₂₂х₂+…+ а′₂_nх_n=b′_2;

………………………… (22)

а′_m2х₂+…+ а′_m_nх_n=b′_m

Заметим,что в системе(22) число уравненийможет быть именьше m,так как срединих могут оказатьсяуравнения вида(20), которые, какмы условилисьранее, можноотбросить.

устьа₂₂
0.Применим теже самые рассужденияи исключим изпоследних п– 2уравненийсистемы (22) неизвестнуюх₂путем вычитанияиз третьегоуравнениявторого, умноженногонаa′₃₂/a′₂₂,из четвертогоуравнения —второго, умноженногона a′₃₄/a′₂₂ит. д. В результатеполучим систему

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+ а₁₃х₃+…+ а₁_nх_n=b_1;

а′₂₂х₂+ а′₂₃х₃+…+ а′₂_nх_n=b′_2;

а′′₃₃х₃+…+ а″₃х_n=b″_3;

……………………………

а″_m3х₃+…+а″_m_nх_n=b″_m.

Продолжаяэтот процесс,систему (19) приведемк равносильнойсистеме вида

-31-

c₁₁х₁+ c₁₂х₂+c₁₃х₃+…+c_1kх_k+…+c_1nх_n=d_1;

c₂₂х₂+c₂₃х₃+…+c_2kх_k+…+c_2nх_n=d_2;

c₃₃х₃+…+c_3kх_k+…+c_3nх_n=d_3; (23)

………………………………………

c_kkх_k+…+c_knх_n=d_k.

вкоторой коэффициентыc_11,c_22,.. ., c_kkотличны отнуля.

Можетоказаться, чтов процессепреобразованияна каком-тошаге в полученнойсистеме окажетсяуравнение вида(21). В этом случаесистема (19) неимеет решений.Предположимтеперь, чтосреди уравненийполученнойсистемы нетуравнения вида(21). Тогда длярешения системы(19) необходиморешить систему(23), что не составляетособого труда.Рассмотримдва возможныхслучая.

1.k= n(эточастный случай,когда числоуравненийсовпадает счислом неизвестных).Тогда последнееуравнениесистемы (23) имеетвид с_ппх_п=d_n,откудах_п=d_n/c_nn.Подставивэто значениев предпоследнееуравнениесистемы (23), имеющеевид

c_n_-1_n_-1x_n_-1+c_n_-1_nx_n=d_n_-1,найдемзначение неизвестнойx_n_-1ит. д.; наконец,из первогоуравнениянайдем неизвестнуюx₁Такимобразом, в случаеk=псистемауравнений (19)имеет единственноерешение.

2.kn. Тогдаиз последнегоуравнениясистемы (23), найдем неизвестнуюx_k,выраженнуючерез неизвестныех_k+1,х_k+2,. . .x_n_:

x_k= (d_kk– c_kk+1x_k+1– … – c_knx_n).

Подставивэто значениенеизвестнойв предпоследнееуравнениесистемы (23), найдемвыражение длянеизвестнойх_k-1,ит. д.; наконец,подставивзначения неизвестныхх_k,х_k-1,. . .x₂впервое уравнениесистемы (23), получимвыражение длянеизвестнойx₁.В результатеуказаннаясистема уравнений(19) приводитсяк виду

x₁= d′₁+ c′_1k+1x_k+1+ …+ c′_1nx_n;

x₂= d′₂+ c′_2k+1x_k+1+ …+ c′_2nx_n; (24)

………………………………………

x_k= d′_k+ c′_kk+1x_k+1+ …+ c_knx_n.

-32-

Неизвестныех_k+1,х_k+2,…,х_пназываютсясвободными.Имможно придатьразличныезначения изатем из системы(19) найти значениянеизвестныхх_1,х₂,…,х_k.Такимобразом, в случаеkпсовместнаясистема уравнений(19) имеет бесчисленноемножестворешений.

Заметим,что если в процессеприведениясистемы (19) ксистеме (24) былапроизведенаперенумерациянеизвестных,то в системе(24) необходимовернуться ких первоначальнойнумерации.

На практикепроцесс решениясистемы уравненийоблегчаетсятем, что указаннымвыше преобразованиямподвергаютне саму систему,а матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

……………………… …… (25)

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

составленнуюиз коэффициентовуравненийсистемы (19) и ихсвободныхчленов. Приэтом каждомуэлементарномупреобразованию,проведенномунад системой(19), соответствуетпреобразованиенад матрицей(25): вычеркиваниестроки, всеэлементы которойсостоят изнулей, прибавлениек элементамнекоторойстроки соответствующихэлементовдругой строки,умноженныхна некотороечисло, и перестановкадвух столбцовматрицы (25).

-33-

Пример1.Решить методомГаусса системууравнений

x₁– 2x₂+ x₃+ x₄= –1;

3x₁+ 2x₂– 3x₃– 4x₄= 2;

2x₁– x₂+ 2x₃– 3x₄= 9;

x₁+ 3x₂– 3x₃– x₄= –1.

Решение.Составимматрицу Випреобразуемее. Для удобствавычисленийотделимвертикальнойчертой столбец,состоящий изсвободныхчленов:

1 –2 1 1 –1

B= 3 2 –3 –4 2 .

2 –1 2 –3 9

1 3 –3 –1 –1

1 –2 1 1 –1

0 8 –6 –7 5

0 3 0 –5 11

0 5 –4 –2 0

1 –2 1 1 –1

0 –1 –6 8 –28

0 0 –1 0 –3

0 0 0 19 –19

Из коэффициентовпоследнейматрицы составимсистему, равносильнуюисходной:

-34-

x₁– 2x₂+ x₃+ x₄= –1;

X₂– 6x₃+ 8x₄= –28;

– x₃= –3;

19x₄= –19.

Решимполученнуюсистему методомподстановки,двигаясьпоследовательноот последнегоуравнения кпервому. Изчетвертогоуравнения x₄= –1,из третьегох₃=3.Подставивзначения х₃иx₄во второе уравнение,найдем x₂= 2.Подставивзначения x₂,x₃,x₄в первое уравнение,найдем x₁= 1.

-35-

ример2.Найти общеерешение системыуравнений

x₁+ 3x₂– 2x₃= 10;

2x₁+ 7x₂+ 3x₃= 0;

3x₁+ 10x₂+ x₃= 10.

Ре ш е н и е. Составимматрицу Ви преобразуемеё:

1 3 –2 10 1 3 –2 10 1 3 –2 10

В= 2 7 3 0 ~ 0 1 7 –20 ~ .

3 10 1 10 0 1 7 –20 0 1 7 –20

з коэффициентов полученной матрицы составим систему, равносильнуюисходной:

x₁+ 3x₂– 2x₃= 10;

x₂+ 7x₃= –20.

Извторого уравнениявыразим x₂через x₃:х₂= –20– 7x₃.Поставив впервое уравнениесистемы значениеx₃,получим x₁= 70 + 23x₃.Итак, имеемобщее решениеисходной системы:

x₁= 70 + 23x₃;

x₂= –20 – 7x₃.

-36-

Пример3. Решитьсистему уравнений

x₁+ x₂– 3x₃= 5;

2x₁– 3x₂+ 2x₃= –3;

3x₁+ 2x₂+ x₃ = 7.

Решение.Составим матрицуВипреобразуемее:

1 1 –3 5 1 1 –3 5 1 1 –3 5

В= 2 –3 2 –3 ~ 0 –5 8 –13 ~ 0 –5 8 –13 .

3 –2 –1 7 0 –5 8 –8 0 0 0 5

Составимсистему уравнений,равносильнуюисходной:

x₁+ x₂– 3x₃= 5;

– 5x₂+ 8x₃= –13;

0x₁+ 0x₂+ 0x₃ = 5.

Системауравненийрешений неимеет, так какмы получилиуравнение0x₁+ 0x₂+ 0x₃ = 5,которое неимеет решений.

-37-

2.5.Критерий совместностиобщей

системы линейных уравнений.

Как ужебыло отмечено,под общей системойлинейных уравнениймы понимаемсистему (14) вкоторой числонеизвестныхнеобязательносовпадает счислом уравнений.

Пустьдана общаясистема линейныхуравнений (14)итребуетсяустановитьпризнак существованиярешения этойсистемы, т.е.условия, прикоторых система(14)являетсясовместной.

Изкоэффициентовпри неизвестныхи свободныхчленов системы(14)составим матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n

……………………

a_m1 a_m2 … a_mn

которуюназовем основнойматрицей системы(14),и матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

B = a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

……………………… …… (26)

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

которуюназовем расширеннойматрицей системы(14).

Теорема2.1.Длятого чтобысистема (14)линейныхнеоднородныхуравнений быласовместной,необходимои достаточно,чтобы ранграсширеннойматрицы системыбыл равен рангуее основнойматрицы.

Д о ка з а т е л ь с тв о.Необходимость.Пусть система(14) совместнаи c₁,c₂,..., с_п– некотороеее решение.Тогда имеютместо равенства:

а₁₁с₁+ а₁₂с₂+…+а₁_nс_n=b₁;

а₂₁с₁+а₂₂с₂+…+ а₂_nс_n=b₂;

_. ……………………………………

а_m1с₁+ а_m2с₂+…+а_m_nс_n=b_m

изкоторых следует,что последнийстолбец расширеннойматрицы (26) естьлинейная комбинацияостальных еестолбцов скоэффициентамис₁,с₂,..., с_п.Согласнопредложению2, последнийстолбец матрицыВ

-38-

можетбыть вычеркнутбез измененияее ранга. Приэтом мы из матрицыВполучимматрицу А.Такимобразом, еслиci,c_z,..., с_п— решениесистемы уравнении(14), то rangА= rangВ.

Достаточность.Пусть теперьrangA= rangВ.Покажем,что при этомсистема уравнений(14) совместна.Рассмотримrбазисныхстолбцов матрицыА.Очевидно,что они будутбазиснымистолбцами иматрицы В.Согласнотеореме о базисныхстроках и столбцах,последнийстолбец матрицыВможнопредставитькак линейнуюкомбинациюбазисных столбцов,а следовательно,и каклинейнуюкомбинациювсех столбцовматрицы А,т.е.

b₁= а₁₁с₁+ а₁₂с₂+…+а₁_nс_n;

b₂= а₂₁с₁+а₂₂с₂+…+ а₂_nс_n;

_. …………………………………

b_m= а_m1с₁+ а_m2с₂+…+а_m_nс_n,

гдеc₁,c₂,...,с_п— коэффициентылинейных комбинаций.Такимобразом, системе(27)удовлетворяютзначения x₁=c₁,..., х_п= с_п,следовательно,она совместна.Т е о р е м а д ок а з а н а.

Доказаннаятеорема совместностисистемы линейныхуравненийназываетсятеоремойКронекера –Капелли.

-39-

Пример1. Рассмотримсистему

5x₁– x₂+ 2x₃+ x₄= 7;

2x₁+ x₂ – 4x₃– 2x₄= 1;

x₁– 3x₂+ 6x₃– 5x₄= 0.

5 –1 = 7,

2 1

а всеминоры третьегопорядка равнынулю.

5 –1 7

2 1 1 = –35.

1 –3 0

Согласнокритерию Кронекера– Капелли системанесовместна,т.е. не имеетрешений.

-40-

Пример2. Прикаких kсовместнасистема уравнений

x+ ky = 3,

kx+ 4y = 6?

Посколькуr≠ 0, тоэта системасовместна вдвух случаях:когда ∆ ≠ 0

И когдаR =r =1. Поэтомурассмотримдва случая.

1) Если∆= 0, т.е. если r≠ 0, т.е.если k²≠4, топо правилуКрамера системаимеет единственноерешение.

Значит,для любого k,кроме k= 2 и k= –2, система имеетединственноерешение.

2)Если R= r =1, т.е.если

1 k = 3 k = 1 3 = 0,

k 4 6 4 k 6

т.е.если k= 2, то системасовместна.

Подводяитог, получаем,что исходнаясистема совместнапри любых kкроме k= –2.

-41-

Используякритерий Кронекера– Капелли, проведемисследованиесистемы двухлинейных уравненийс двумя неизвестнымиx иy:

a₁x+ b₁y= c₁,

a₂x+ b₂y= c₂. (26)

Основнаяматрица этойсистемы

a₁ b₁

a₂ b₂

имеетранг r,причем 0

Расширеннаяматрица

a₁ b₁ с₁

a₂ b₂с₂

имеетранг R,причем 0.Очевидно, чтоr

Имеютместо следующиеутверждения.

Пустьдана системадвух линейныхуравнений сдвумя неизвестными(26). Тогда:

Еслиr= R = 0, т.е.если все коэффициентыa₁,a₂,b₁,b₂,c₁,c₂равнынулю, то любаяпара действительныхчисел являетсярешением системы(26).
Еслиr= 0, R = 1, т.е.a₁= a₂= b₁= b₂= 0 иc + c ≠ 0,то система(26) не имеет решений.
Еслиr=1, R = 1, тосистема (26) имеетбесконечномного решений,но не любаяпара действительныхчисел есть еёрешение.
Еслиr= 1, R = 2,то система(26) не имеет решений.
Еслиr= 2, R = 2,то система(26) имеет единственноерешение, котороеможно найтипо правилуКрамера.

Справедливыи обратныеутверждения.

Еслисистема (26) имеетединственноерешение, то r= R =2.
Еслилюбая парадействительныхчисел являетсярешением системы(26), то r= R = 0.
Еслисистема (26) неимеет решений,то r≠ R, т.е.либо r=0и

R= 1, либоr =1 иR = 2.

4. Если система(26) имеет бесконечномного решений,но не любаяпара действительныхчисел являетсяеё решением,то r= R = 1.

Приведёмдоказательствоэтихутвержденийтолько в томслучае, когдаоба уравнениясистемы (26) являютсяуравнениямипервой

-42-

степени,т.е. когда выполняютсяусловия a + b ≠ 0, a + b ≠ 0.В этом случаекаждое уравнениеэтой системыв отдельностиопределяетпрямую на плоскости,где заданасистема координатxOy.Это дает возможностьпридать геометрическийхарактер дальнейшимрассуждениямпри исследованиисистемы (26)

Теорема2.2. Пустьдве прямыезаданы уравнениями

a₁x+ b₁y– c₁= 0,

a₂x+ b₂y– c₂= 0, (27)

гдеa + b ≠ 0, a + b ≠ 0.

Длятого, чтобыдве прямыепересеклись,необходимои достаточно,чтобы r= R = 2.
Длятого, чтобыдве прямыебыли параллельными,но не совпадали,необходимои достаточно,чтобы r= 1, R = 2.
Длятого, чтобыдве прямыесовпадали,необходимои достаточно,чтобы r= R = 1.

Д о к аз а т е л ь с т во. Сначала докажемдостаточностьусловий.

Еслиr= R = 2, тосистема (27) имеетединственноерешение, котороелегко найтипо правилуКрамера, а этоозначает, чтопрямые имеютодну общуюточку, т.е. пересекаются.
Еслиr= 1, R = 2,то система(27) несовместнаи поэтому прямыене имеют общихточек, т.е. параллельныи не совпадают.
Еслиr= R = 1, товсе минорывторого порядкаосновной ирасширеннойматриц равнынулю, т.е.

a₁ b₁ = 0, c₁ b₁ = 0, a₁ c₁ = 0.

a₂ b₂ c₂ b₂ a₂ c₂

Этиусловия можнопереписатьтак:

a₁b₂= b₁a₂, (28)

c₁b₂= b₁c₂, (29)

a₁c₂= c₁a₂. (30)

Рассмотримтеперь всевозможныеслучаи.

а) Еслиа₁= 0, тоb₁≠ 0, таккак a₁+ b₁≠ 0.Тогда из (28) следует,что а₂= 0,а так как a₂+ b₂≠ 0, тоb₂≠0.Тогда из (29) находим,что c₁/b₁= c₂/b₂= α ипри этом уравненияпрямых примутвид

b₁(y– α) = 0, b₂(y– α) = 0. Посколькуb₁≠ 0, b₂≠ 0,то отсюда вытекает,что эти прямыесовпадают спрямой y– α = 0.

б)Еслиb₁= 0,то а₁≠ 0, а из(28) тогда следует,что b₂= 0(причем

-43-

а₂≠ 0).Тогда из (30) имеемc₁/a₁= c₂/a₂= β,и поэтому уравненияпрямых примутвида₁(x– β) = 0, а₂(x– β) = 0.Поскольку

а₁≠ 0, а₂≠ 0,то отсюда вытекает,что эти прямыесовпадают спрямой x– β = 0.

в) Еслиа₁≠ 0 иb₁≠ 0,то из (28) вытекает,что а₂/a₁= b₂/b₁= γ, аиз (29) и (30) вытекает,что с₂=b₂c₁/b₁= a₂c₁/a₁.Т.е. получаем,что

а₂= γа₁,b₂= γb₁,c₂= γc₁,и поэтомууравненияпрямых примутвид

a₁x+ b₁y– c₁= 0, γ(a₁x+ b₁y– c₁)=0.Посколькуγ ≠ 0,то отсюда вытекает,что эти прямыесовпадают.

Теперьдокажем необходимостьусловий. Доказательствопроведём методомот противного.

1. Пустьпрямые пересекаются.Докажем, чтоr =R = 2.Если бы оказалось,что r= 1, R = 2,то по доказанномупрямые былибы параллельныи не совпадали.Если бы оказалось,что r= R = 1,то по доказанномупрямые оказалисьбы совпавшими.

Следовательно, r= R = 2.

2.Пусть прямыепараллельны.Докажем, чтоr= 1, R = 2.Если бы оказалось,что r= R = 2,то по доказанномупрямые оказалисьбы пересекающимися.Если бы оказалось,что r= R = 1,то по доказанномупрямые оказалисьбы совпавшими.

Следовательно,r =1, R = 2.

3.Пусть прямыесовпадают.Докажем, чтоr= R = 1.Если бы оказалось,что r= R = 2,то по доказанномупрямые оказалисьбы пересекающимися.Если бы оказалосьбы, что r= 1, R = 2,то по доказанномупрямые былибы параллельны.

Следовательно,r =R = 1.

Те о р е м а д о ка з а н а п о л но с т ь ю.

-44-

Заключение.

Работанад рефератомбыла оченьинтересной.

− в процессеработы я узналамного нового;

− я научиласьпользоватьсянаучной литературой,сопоставлятьи сравниватьразличные точкизрения, выделятьглавное;

− теперья знаю, какиедействия можновыполнять надматрицами,какой путьрешения системлинейных уравненийнаиболее простойи быстрый, иещё в своейработе я изучиламногие другиетеоретическиевопросы;

− такжевесь материаля исследовалане толькотеоретически,но и практически,приводя некоторыепримеры в тексте.

-45-

Списоклитературы:

А.А.Дадаян.Алгебра игеометрия./А.А.Дадаян,В.А.Дударенко. Минск: „Вышэйнаяшкола”, 1989г.
Ф.Р.Гантмахер.Теория матриц(изданиетретье)./Ф.Р.Гантмахер.Москва: „Наука”,главная редакцияфизико-математическойлитературы,1967г.
Математическийэнциклопедическийсловарь. Москва:„Советскаяэнциклопедия”,1988г.
Л.Андреева.Реферат поматематике„Системыуравнений”./Л.Андреева.Анжеро-Судженск.1999г.
Д.К.Фаддеев.„Сборник задачпо высшей алгебре”./Д.К.Фадеев,И.С.Саминский.Москва: „Наука”,1977г.

-46-

Способы решения систем линейных уравнений

Введение. 2

-2-

Е = 0 1 … 0

Сравниваяравенства (5) и(7) и учитываяединственностьобратной

Составимприсоединённуюматрицу дляматрицы А:

Рассмотримпроизвольнуюпрямоугольнуюматрицу

a11 a12 … b1 … a1n

Такимобразом, уравнение(15) можно записатьв виде

Такимобразом, однороднаясистема линейныхуравнений (18)всегда

a21 a22 … a2n b2

A = a21 a22 … a2n

B = a21 a22 … a2n b2

a₁₁ a₁₂ … b₁ … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n

B = a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂