Статистические величины (стр. 2 из 3)

Абсолютные и относительные статистические величины.

Результаты статистического наблюдения регистрируются в виде первичных абсолютных величин. Абсолютная величина отражает уровень развития явления. В статистике все абсолютные величины являются именованными, измеряются в конкретных единицах. И в отличие от математического понятия абсолютные величины могут быть .как положительными, так и отрицательными. Абсолютные величины делятся на:

1) Индивидуальные – характеризуют размер признака отдельных единиц совокупности.

2) Суммарные. Характеризуют итоговое значение признака по определённой части совокупности. Они разделяются на:

a) моментные - показывают фактическое наличие на определённый момент или дату.

b) интервальные - итоговый накопленный результат за период в целом. В отличие от моментных, они допускают их последующее суммирование.

Абсолютная величина не даёт представления об изучаемом явлении, не показывает его структуру, соотношение между отдельными частями и развития во времени. Эти функции выполняют относительные показатели. Относительная величина – это обобщающий показатель, который даёт числовую меру соотношения двух сопоставляемых абсолютных величин. Основное условие правильного расчёта относительной величины – это сопоставимость сравниваемых показателей и наличие реальных связей между изучаемыми явлениями. Таким образом, по способу получения относительные показатели всегда величины производные, определяемые в форме коэффициентов, промилле и т.п.

Показатели вариации и способы их расчета.

При изучении явлений и процессов общественной жизни статистика встречается с разнообразной вариацией (изменчивостью) признаков, характеризующих отдельные единицы совокупности.

Величины признаков изменяются под действием различных факторов. Очевидно, что чем разнообразнее условия, влияющие на размер данного признака, тем больше его вариация. Например, размер заработной платы рабочих зависит от нескольких факторов: специальности, разряда, стажа работы, образования, состояния здоровья и т.д. Чем больше различия между значениями факторов, тем больше вариация в уровне заработной платы.

При характеристике колеблемости признака используют систему абсолютных и относительных показателей.

Абсолютные показатели вариации:

• Размах вариации R = x_max - x_min;
• Среднее линейное отклонение
  
• Дисперсия
  
• Среднеквадратическое отклонение
  

Абсолютные показатели, кроме дисперсии, измеряются в тех же единицах, что и сам признак.

Относительные показатели вариации:

• Коэффициент осцилляции
  
• Относительное линейное отклонение
  
• Коэффициент вариации
  

Относительные показатели чаще всего выражаются в процентах

Размах колебаний, или размах вариации, представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:

R = x_max - x_min

Безусловным достоинством этого показателя является простота расчета. Однако размах вариации зависит от величины только крайних значений признака, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями. В частности, на практике он находит применение в предупредительном контроле качества продукции.

Точнее характеризует вариацию признака показатель, основанный на учете колеблемости всех значений признака. Поскольку средняя арифметическая является обобщающей характеристикой свойств совокупности, большинство показателей вариации основано на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц совокупности от этой величины. К таким показателям относятся среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, представляющие собой среднюю арифметическую из отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической. Среднее линейное отклонение рассчитывается из отклонений в первой степени, дисперсия и среднее квадратическое - из отклонений во второй степени. Так как алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической (согласно нулевому свойству) всегда равна нулю, то для расчета среднего линейного отклонения используется арифметическая сумма отклонений, т.е. суммируются абсолютные значения индивидуальных отклонений значений признака независимо от знака.

Среднее линейное отклонение

вычисляется по следующим формулам:

для несгруппированных данных

для сгруппированных данных (вариационного ряда)

Дисперсия

- средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины.

Дисперсия рассчитывается по следующим формулам:

для несгруппированных данных

для сгруппированных данных (вариационного ряда)

Дисперсия имеет большое значение в статистическом анализе. Однако её применение как меры вариации в ряде случаев бывает не совсем удобным, потому что размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. В таких случаях для измерения вариации признака вычисляют среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение

(представляет собой корень квадратный из дисперсии):

для несгруппированных данных

для вариационного ряда

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение недостаточно полно характеризуют колеблемость признака, т.к. показывают абсолютный размер отклонений, что затрудняет сравнение изменчивости различных признаков.

Для характеристики колеблемости явлений среднее квадратическое отклонение сопоставляется с его средней величиной и выражают в процентах. Такой показатель называется коэффициентом вариации. Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

Выражая коэффициент вариации в процентах, различные абсолютные среднеквадратические отклонения приводят к одному основанию и дают возможность сравнивать, оценивать колеблемость величин различных признаков. При помощи коэффициента вариации возможно, например, сравнение размера колеблемости производительности труда рабочих, занятых производством различных видов продукции, размера колеблемости урожаев различных сельскохозяйственных культур и т.д.

Чем меньше коэффициент вариации, тем меньше колеблемость признака, и наоборот.

Относительное линейное отклонение определяется как отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической в процентах:

Отношение размаха вариации к средней арифметической в процентах называется коэффициентом осцилляции:

Самым распространенным относительным показателем колеблемости признака является коэффициент вариации. Он более точно, чем абсолютный, характеризует различие колеблемости признаков.

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.

Коэффициент вариации важен в тех случаях, когда нужно сравнивать средние квадратические отклонения, выраженные в разных единицах измерения.

Мода и медиана.

Мода в статистике – это величина варьирующего признака, который чаще всего встречается в данной совокупности или признак, который имеет наибольшую частоту.

Медиана – это значение признака, которая делит ряд распределения пополам, т.е. по обе стороны этого признака будет находиться одинаковое единиц изучаемого признака.

Мода и медиана – это описательное–среднее. Описательный характер моды и медианы связан с тем, что в них не погашаются индивидуальные отклонения. Они всегда соответствуют определенной варианте.

Основные свойства дисперсии.

Дисперсия обладает рядом математических свойств, использование которых значительно упрощает и облегчает её вычисление. Основные свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
2. Если все значения признака уменьшить или увеличить на какое-то постоянное число, то дисперсия от этого не изменится.
3. Если все значения признака уменьшить или увеличить в K раз, то дисперсия от этого соответственно увеличится или уменьшится в K² раз.
4. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака x от их средней
   меньше суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от любого данного числа a при условии, что
   , т.е.