Структура сходящихся последовательностей (стр. 3 из 3)

Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства

l_n>l_n+1, l_n>l_n+2, l_n>l_n+3, …

l_ns_n>l_n-1s_n-1, l_ns_n>l_n-2s_n-2, … l_ns_n>l₁s_1,

РЕШЕНИЕ:

Будем называть l_m «выступающим» членом последовательности, если l_m больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:

,…

Каждый невыступающий член l_v заключается (для v>n₁) между двумя последовательными выступающими членами, скажем n_r-1<v<n_r. Имеем последовательно:

,

значит

(*)

отсюда заключаем, что

Действительно, в противном случае

, значит, в силу (*) и вся последовательность
l₁s₁, l₂s₂, … были бы ограничены, что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m и h – наименьшее из чисел ,… ; h>0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть k – наименьший номер, для которого <h. Тогда:

k>m;

.

ЗАДАЧА № 11

Если числовая последовательность

,… стремится к и А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n³1, что n отношений

все не больше А, а бесконечное множество отношений

,…
все не меньше А.

РЕШЕНИЕ:

Имеем

. Пусть минимум последовательности

L₀-0, L₁-A, L₂-2A, L₃-3A, …

Будет L_n-nA; тогда

L_n-u-(n-u)A³ L_n-nA; L_n+v-(n+v)A³ L_n-nA,

u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.

ЗАДАЧА № 12

Пусть относительно числовой последовательности l₁, l₂, l₃, … , l_m, … предполагается лишь, что

.
Пусть, далее, А>l₁. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства

.
Если А®¥, то также n®¥.

РЕШЕНИЕ:

Пусть

l₁+l₂+l₃+…+l_m=L_m, m=1, 2, 3, …; L₀=0.

Так как L₁-A<0, то L₀-0 не является минимумом в предыдущем решении. l_n+1³A; поэтому l_n+1, а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.

ЗАДАЧА № 13

Пусть числовая последовательность l₁, l₂, l₃, … , l_m, … удовлетворяет условиям

,

Пусть, далее, l₁>A>0. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства

.
Если А®0, то также n®0.

РЕШЕНИЕ:

Положим

l₁+l₂+l₃+…+l_m=L_m, m=1, 2, 3, …; L₀=0.

Тогда

. Последовательность

L₀-0, L₁-A, L₂-2A, L₃-3A, …, L_m-mA, …

стремится к -¥. Пусть ее наибольший член будет L_n-nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n.

В последовательности L₀, L₁, …, L_m, … содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие. Пусть L_s будет один из них. Тогда числа:

все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, L_n) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.