Теория Матриц и Определителей (стр. 2 из 3)
Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей n-ого порядка и обозначается символомE . Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и называется нулевой матрицей n-ого порядка и обозначается символом O. Допустим, что существует произвольная матрица A, тогда
AE = EA = A, AO = OA = O.
Первая из формул характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную то роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул, но и элементарно проверяемое равенство : A + O = O + A = A. Понятие нулевой матрицы можно вводить и не для квадратных матриц.
Прежде всего необходимо запомнить, что определители существуют только для матриц квадратного вида, ибо для матриц другого типа не существует определителей. В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя, или детерминанта.
Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в виде матрицы 
по два в строках и подва столбцах, Определителем или детерминантом, составленным из чисел этой таблицы, называется число ad—bc, обозначаемое так: 
. 
Такой определитель называется определителем второго порядка, поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами; при этом говорят, что элементыa иd составляют главную диагональ определителя, а элементы bиc его побочную диагональ. Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях .Определитель третьего и любого другого порядка находится примерно также, а именно:Допустим, что у нас есть квадратная матрица 
. Определителем следующей матрицы является такое выражение : a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31.. Как вы видите он просчитывается довольно легко, если запомнить определенную последовательность. С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае это треугольники a12a23a31, a13a21a32.
С отрицательным знаком идут побочная диагональ и треугольники ей параллельные, т.е.a11a23a32 , a12a21a33. Таким образом находятся определители любого порядка. Но бывают случаи, когда и этот метод становится довольно сложным, например, когда элементов в матрице очень много, и для того, чтобы сосчитать определитель нужно затратить уйму времени и внимания.
Существует более легкий способ вычисления определителя n-ого порядка, где n 
2. Договоримся называть минором любого элемента Aij матрицы n-ого порядка определитель, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в результате вычеркивания i-й строки и j-ого столбца ( той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij ). Минор элемента Aij будем обозначать символом 
. В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний – номер столбца, ф черта над Mозначает, что указанные строка и столбец вычеркиваются. Определителем порядка n, соответствующим матрице, назовем число, равное 
и обозначаемое символом 
.
Теорема 1.1 Каков бы ни был номер строки i ( i =1, 2 …, n ), для определителя n-ого порядка справедлива формула
= det A = 
называемая разложением этого определителя по i-й строке. Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число (-1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij.
Теорема 1.2 Каков бы ни был номер столбца j ( j =1, 2 …, n ), для определителя n-го порядка справедлива формула
= det A = 
называемая разложением этого определителя по j-ому столбцу.
2.3 Основные свойства определителей.
У определителей также есть свойства, с помощью которых задача их вычисления становится более легкой. Итак, ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель n-го порядка.
1 
. Свойство равноправности строк и столбцов. Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы A получается матрица, называется матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице A и обозначается символом A 
.
Первое свойство определителя формулируется так : при транспонировании величина определителя сохраняется, т. е. 
= 
.
2 
. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк ( или двух столбцов ). При перестановке местами двух строк ( или двух столбцов ) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Для определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно ( из формулы вычисления определителя второго порядка сразу вытекает, что определители отличаются лишь знаком ).
3 . Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка (a) является линейной комбинацией двух других строк ( b и c ) с коэффициентами 
и 
. Линейное свойство можно сформулировать так : если в определителе n-го порядка некоторая i-я строка является линейной комбинацией двух строк с коэффициентами и , то = 
+ 
, где
– определитель, у которого i-я строка равна одной из двух строк линейной комбинации, а все остальные строки те же, что и у , а – определитель, у которого i-я строка равна второй из двух строк, а все остальные строки те же, что и у .
Эти три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.
Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками ( или столбцами ) равен нулю.
Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки ( или некоторого столбца ) определителя на число aравносильно умножению определителя на это число a. Иными словами , общий множитель всех элементов некоторой строки ( или некоторого столбца ) определителя можно вынести за знак этого определителя.