Теория вероятностей (стр. 1 из 7)

Вопрос 1

События и явления. Все события и явления реального мира разделяются на закономерные (детерминированные) и случайные (вероятностные).

Случайным событием называется такое событие, изменить или предсказать которое в процессе случайного явления невозможно. Случайное событие - это результат (исход) конкретной единичной реализации случайного явления. Так, выпадение чисел 1-6 при бросании игральной кости - случайное явление. Выпадение числа 6 в единичном испытании - случайное событие. Если оно может задаваться, то это уже не игральная кость, а инструмент шулера. Типовое обозначение случайных событий - крупными буквами алфавита (например, событие А - выпадение 1 при бросании кости, событие В - выпадение 2 и т.д.).

Классификация случайных событий. Событие называют достоверным (и обозначают индексом W), если оно однозначно и предсказуемо. Выпадение суммы чисел больше 1 и меньше 13 при бросании двух костей - достоверное событие. Событие является невозможным (и обозначается индексом Æ), если в данном явлении оно полностью исключено. Сумма чисел, равная 1 или большая 12 при бросании двух костей - события невозможные. События равновозможны, если шансы на их появление равны. Появление чисел 1-6 для игральной кости равновозможно.

Два события называются совместными, если появление одного из них не влияет и не исключает появление другого. Совместные события могут реализоваться одновременно, как, например, появление какого-либо числа на одной кости ни коим образом не влияет на появление чисел на другой кости. События несовместны, если в одном явлении или при одном испытании они не могут реализоваться одновременно и появление одного из них исключает появление другого (попадание в цель и промах несовместны).

1. Вероятность любого случайного события А является неотрицательной величиной, значение которой заключено в интервале от 0 до 1. 0 £ Р(А) £ 1.

2. Вероятность достоверного события равна 1. Р(W) = 1.

В общем случае событие W представляет собой сумму полной группы возможных элементарных событий данного случайного явления: W=

w_i. Следовательно, вероятность реализации хотя бы одного случайного события из полной группы возможных событий также равна 1, т.е. является событием достоверным.

Сумма противоположных событий тоже составляет полную группу событий и соответственно вероятность суммы противоположных событий равна 1:P(A+

) = 1.

Примером может служить бросание горсти монет. Орел или решка для каждой монеты – противоположные события. Сумма событий для горсти в целом равна 1 независимо от соотношения выпавших орлов и решек.

3. Вероятность невозможного события равна 0. Р(Æ) = 0.

Рис. 8.2.3.

Пусть Ф - пустое пространство (не содержащее событий). Тогда W+Ф = W и пространство W не содержит событий, общих с пространством Ф (рис. 8.2.3). Отсюда следует, что Р(W+Ф) = Р(W) + Р(Ф) = Р(W), что выполняется при Р(Ф) = 0. Другими словами, если одно из событий обязательно должно происходить, то вероятность отсутствия событий должна быть равна нулю. Но при этом W является достоверным событием, а Ф = Æ (невозможное событие) и соответственно Р(Æ) = 0.

Вопрос 2

Диаграмма Вьенна-Эйлера

А) событие A

Б) Сложение – событие, кот состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий A или B

В) произведение событий- А и B одновременно

Г) Дополнение – событие принадлежит к А, но не принадлежит к B

Д) противоположное событию A событие В

Е) Несовместимые события – если они не могут произойти одноременно

Ж) События образуют полную группу, если хотя бы одно из них обязательно происходит в результате испытания

З) А влечет за собой В

Вопрос 3

Классическая формула вероятности

Если множество элементарных событий Ω={ω1,ω2,…ωN},конечно и все элементарные события равновозможны, то такая вероятностная схема носит название классической. В этом случае вероятность Р{А} наступления события А, состоящего из М элементарных событий, входящих в Ω, определяется как отношение числа М элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу N элементарных событий. Эта формула носит название классической формулы вероятности: Р{А}= M/N.

В частности, согласно классической формуле вероятности:

Р{ωi }=1/N (i=1,2,... , N)

Р{Ω}= N/N =1

P{Æ}=0/N =0

Комбинаторика, 1) то же, что математический комбинаторный анализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.). Число размещений. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (учитывая порядок, в котором выбираются предметы)? Число способов равно A_n^m =

? A_n^m называют числом размещений из n элементов по m. Число сочетаний. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (безразлично, в каком порядке выбираются предметы)? Число способов такого выбора равно C_n^m =

C_n^m называют числом сочетаний из n элементов по m. Числа C_n^m получаются как коэффициенты разложения n-й степени двучлена: (a+b) ⁿ=C_n⁰aⁿ+ C_n¹a^n-1b +C_n²a^n-2b^{2 ?}+... + C_n^n-1ab^n-1 + C_nⁿ bⁿ, и поэтому они называются также биномиальными коэффициентами. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов: C_n^m=C_n^n-m, C_n^m? + C_n^m+1 = C_n+1^m+1, C_n⁰ + C_n¹ + C_n²+...+ C_n^n-1+ C_nⁿ =2ⁿ, ? C_n⁰ - C_n¹ + C_n²-...+ (-1) ⁿC_nⁿ = 0. Числа A_n^m, P_m и C_n^m связаны соотношением: A_n^m=P_m C_n^m. Рассматриваются также размещения с повторением (т. е. всевозможные наборы из m предметов n различных видов, порядок в наборе существен) и сочетания с повторением (то же, но порядок в наборе не существен). Число размещений с повторением даётся формулой n^m, число сочетаний с повторением - формулой C^m_n+m-1.

Вопрос 4

При аксиоматическом построении вероятностей в каждом конкретном пространстве элементарных событий W выделяется s-поле событий Sдля каждого события AÎSзадается вероятность P{A} – числовая функция, определенная на s-поле событий Sи удовлетворяющая следующим аксиомам.

Аксиома неотрицательности вероятности для всех AÎS: P{A}³ 0.

Аксиома нормированности вероятности: P{W}=1.

Аксиома адаптивности вероятности: для всех A,BÎS,таких, что AÇB¹Æ: P{AÈB}=P{A} +P{B}

Каждая определенная теоретико-вероятностная схема задается тройкой {W, S, P}, где W конкретное пространство элементарных событий, S - s-поле событий, выделенное на W, З – вероятность заданная на s-поле S. Тройка {W, S, P} называется вероятностным пространством

Пусть проводится конечное число nпоследовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может либо наступить (такую ситуацию назовём успехом),либо не наступить (такую ситуацию назовём неудаxей),причём эти испытания удовлетворяют следующим условиям:

1)каждое испытание случайно относительно события А, т.е. до проведения испытания нельзя сказать появится А или нет;

2)испытания проводятся в одинаковых с вероятностной точки зрения условиях, т.е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна р и не меняется от испытания к испытанию;

3)испытания независимы, т.е. исход любого из них никак не влияет на исходы других испытаний.

Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли или биноминальной схемой, а сами испытания- испытаниями Бернулли.

Ф-ла Бернулли: Р^m_n= C^m_n* p^m * q^n-m = C^m_n* p^m * (1-p)^n-m

C^m_n= n!/ m!(n-m)!

Вопрос 5

Сложение вероятностей зависит от совместности и несовместности событий.

Несовместные события. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий. Это вытекает из того, что множество С = А+В включает подмножества А и В, не имеющие общих точек, и Р(А+В) = Р(А)+Р(В) по определению вероятности на основе меры. По частотному определению вероятности в силу несовместности событий имеем:

P(A+B) =

= + = P(A) + P(B),