Теория управления

Общаяпостановказадачи управляемости.

Длязадачи ОУ характерноналичие динамическогообъекта. Динамическийобъект- объект,состояниекоторого меняетсясо временем.Состояниелюбого динамическогообъекта в моментвремени

характеризуетсяпараметрами .Такие параметрыназ. Фазовыекоординаты,а сам вектор-фазовый вектор.

Предполагается,что движениемобъекта можноуправлять.Набор параметров

-параметрыуправления,u(t)-вектор управления.Положениеобъектазависит толькоот того, какоеуправлениебыло до моментавремени ,и не зависитот того, какоеуправлениебудет в будущем.В зависимостиот описаниядин. Объектарассматриваютсяразличныезадачи.

Состояниединамическогообъекта описываетсядиф. уравнением

1)

-эта системарешается приближеннымметодом.

2)x(t)должны принадлежать

, .Класс допустимыхуправленийx(t), неможат бытьпроизвольным. ,как правиломн-во замкнутои ограничено,а это не позволяетприменять классвариационогоисчесления,кроме этогона могутбыть наложеныограниченияпо времени.

3)Начальноеи конечноесостояниеобъекта.

наинтервале , , .Задачауправлениязаключаетсяв том, чтобыдинамическийобъект, описываемыйсистемой (1),удовлетворяющийусловиям (2),перенести запромежутоквремени ,из состояния .Этоможет бытьдостигнуторазными способами.

4)Критерий управления.Это некоторыйфункционалвида

.Находим такие ,что

2.Основные вопросыв теории ОУ.

1. 1)Управляемость.Можно ли осуществитьперевод динамическогообъекта изсостояния

   ,за промежутоквремени
   .

2. Существуетли ОУ.

3)Необходимыеусловия оптимальности-принцип максимумаПонтрягина.

4)Достаточныеусловия ОУ.

5)ЕдинственностьОУ.

3. Постановкалинейной задачи.

Линейнаязадача имеетвид: Рассматриваемдинамическийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1)

,x-n-мерныйвектор, , A-матрицаnxn,uимеет ту жеразмерность,чтои , , -замкнутои ограничено.Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетпереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям и .Цель управления-перевод динамическийобъекта из в ,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательнозадача быстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход измножества в занаименьшеевремя.

4.Пространство

,алгебраическаясумма

,произведениемножества начисло

.

Пространство

-пространствосостоящее извсевозможныхне пустых компактныхподмножествпр-ва .

Мн-воFкомпактное,если оно замкнутои ограничено.

Мн-воFограничено,если оно содержитсяв шарк некоторогорадиуса.

Мн-воFзамкнуто,если оно содержитвсе свои предельныеточки.

Точкаfпредельнаяточка F,если в любойее окрестностисодержитсяхотя бы однаточка мн-ва Fотличнаяот f.

Операции:1)алгебраическойсуммой

наз.мн-во Cтакое, что любойэлемент , .

2)произведениеммножества начисло

наз. мн-во Cтакое, что любойэлемент .

5.

,хаусдорффованорма, леммапро определенностьхаус. нормы.

-этоминимальныйрадиус шарас центром вначале координат,где .

Хаусдорффованорма- это расстояниемежду мн-ми Aи B:

-расстояниемежду мн-ми Aи B( )явл. наименьшееположительноечисло r.

Лемма:Пусть

-выпуклы, тогдахаусдорффованорма

6. Опорныефункции.

Заданомножество

ивектор . Для этих двухэлементов можноопределитьопорную функциюследующимобразом ,где Cопорная функция. ,

, .

, .

Пусть

-некоторыйфиксированныйвектор, а одиниз векторовмножества F,на которомопорная функциядостигаетмаксимум: .В этом случае наз.опорным вектороммн-ва Fв точке .А совокупностьвсех векторов наз.опорным множествомк множествуFвнаправлении .Гиперплоскость -наз. опорнойгиперплоскостьюк множествуFв направлении .Гиперплоскость разбивает надва подпространства,при этом множествоF находится вотрезке получаемыйотносительно ,т.к. для всехточек выполняетсянеравенство .Если считать,что -единичныйвектор, ,

.опорных

7.Свойстваопорной функции.

1.Опорныефункция- положительнооднороднаяпо переменной

.

.Это значит что , .

2.Для

опорныефункции удовлетворяютнеравенству: 3.Двамножества и , , Пустьматрица Aразмера nнаn, ирассмотримлин. образ множестваFпри лин. преобразованииAиназ.

.

4.

,где -матр.сопряженнаяс матр. .

5.Опорнаяфункция положительнаяи однороднаяпо первомуаргументу.

, .Пусть и пользуемся: 1) условиемоднородности: 6.Пустьзадано множество иего опорнаяфун. . Выпуклая оболочкамн-ва F

, .

7.Если

иA=B,то опорнаяфун. .И наоборот,если ,то .Следствие:Выпуклые мн-варавны тогдаи только тогда,когда равныих опорныефункции.

8.Если

и .В этом случае .Если ,то .Следствие:Выпуклые мн-ва тогда и толькотогда, когдаравны их опорныефункции .

9.Пустьзадано множество

,тогда .В обратнуюсторону: ,когда .Следствие:Точка выпуклому мн-ву , тогда и толькотогда , когда .

10.Пустьзадано множество

,а ,тогда . .Следствие:Пусть заданомножество , ,тогда и толькотогда, когда .

иесли ,то .И наоборот:Если ,то .Следствие:Два вып. Мн-вапересекаютсятогда и толькотогда, когда .

8. Непрерывныефункции. УсловияЛипшица. Лемма1,2 об условияхЛипшица дляопорных функций.

Пусть

-дваметрическихпространствас метриками ипусть fотображает . fнепрерывнав точке ,если такоечто УсловиеЛипшица:Функция f,отображающая ,удовлетворяетусловию Липшицас constL, если для любыхдвух точек ,выполняетсянеравенство ,для опорныхфункций , , :

Лемма:Опорная функция

удовлетворяетусловию Липшецапо fс constL= .

Лемма:Пусть

-выпуклы, тогдахаусдорффованорма

9.Многозначныеотображения.

Многозначнымотображениембудем называтьфункцию

укоторой аргументомявляется число,а значениемнекоторыемножества

10.Непрерывныеи равномернонепрерывныемногозначныеотображения.

МногозначноеотображениеF(t)непрерывнов точке

,если для .

Лемма: Пусть

непрерывноемногозначноеотображение, когда непрерывнапо tпри всякомфиксированном ,более того равномернонепрерывнопо t .

Если

равномернонепрерывнопо t ,то многозначноеотображениеconvF(t) непрерывно.

11.Измеримыемногозначныеотображения.Лемма о равномернойнепрерывностимногозначногоотображения.

Функцияf(t)отображающая

внекотороеметрическоепр-во сметрикой называетсяизмеримой, еслипраобраз любогошара естьмн-во измеримое.

12.Интегралот многозначногоотображения.Теорема онепрерывностиот многозначногоотображения.

F-многозначноеотображение,такое что F:I

,где , -замкнутое,ограниченное,не пустое, компактноемножество.

Интеграломот многозначногоотображенияна отрезке Iназываетсямножество G (G

) вида: .Это мн-во значенийинтеграла повсем однозначнымветвям отображения

F(t).

Теорема3:Пусть многозначноеотображениеF(t)измеримо иудовлетворяетусловию:

,где k(t)-скалярнаяфункция, интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I иизмерима, тогда непрерывнана отр. I.

Опорнаяфункция

,гдеF , .

13.Теоремы1, 2 о других видахмногозначныхотображений.

F-многозначноеотображение,такое что F:I

,где , -замкнутое,ограниченное,не пустое, компактноемножество.

Интеграломот многозначногоотображенияна отрезке Iназываетсямножество G (G

)вида: .Это мн-во значенийинтеграла повсем однозначнымветвям отображения

F(t).

Теорема1:ПустьмногозначноеотображениеF(t)измеримо иудовлетворяетусловию:

,где k(t)-скалярнаяфункция, интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I иизмерима, тогдаG являетсяне пустым, компактныммножествомв пространстве , ивыпукло.

Теорема2 :ПустьмногозначноеотображениеF(t)измеримо иудовлетворяетусловию:

,где k(t)-скалярнаяфункция, интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I иизмерима, тогдаопорная функция .

14.Линейная задачабыстродействия.Определениеабс. непрерывнойфункции. ТеоремаКаратеодори.

Рассматриваемдинамическийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1)

,x-n-мерныйвектор, ,A-матрицаnxn,uимеет ту жеразмерность,чтои , .Задано , u:I и полагается,что u(t)измеримои -где k(t)скалярнаяфункция интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I .Функцияu(t)-называетсядопустимымуправлением,если измеримаи являетсяоднозначнойветвью(2)u(t) U(t)-ограниченияна управления. В фазовомпространстве заданыдва не пустыхмножества .Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетепереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям (4) и .Цель управления-перевод динамическийобъекта из в ,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательно

задачабыстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход измножества

в занаименьшеевремя. (4).

Рассмотримсистему линейныхдифференциальныхуравнений:

, ,где u известное .Решение задачиКоши записываетсяв виде: ,оно справедливо,если u-непрерывная.

Вычислим

(этоследует из ).

Определение:Функцию x(t)наз. абсолютнонепрерывнойна отр. I,если ее производнаясуществуетдля почти всехt,принадлежащихI, интегрируемаяпо Лебегу производная

ивыполняетсяусловие: .

Еслиимеем измеримое допустимоеуправлениеu(t), то решениесистемы (1) такжеможно определитьс помощью формулыКоши, но в этомслучае x(t) небудет непрерывнодифференцируема,а будет абсолютнонепрерывной.

ТеоремаКаратеородори: Если функцияu(t)интегрируемаяпо Лебегу наотр. I,то для любогоначальногозначения

существуети при том единое абс. непрерывноерешение задачиКоши, котораязадаетсяформулойКоши.

15.Множестводостижимостии его свойства.

Рассматриваемдинамическийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1)

,x-n-мерныйвектор, ,A-матрицаnxn,uимеет ту жеразмерность,чтои , .Задано , u:I и полагается,что u(t)измеримои -где k(t)скалярнаяфункция интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I .Функцияu(t)-называетсядопустимымуправлением,если измеримаи являетсяоднозначнойветвью (2) u(t) U(t)-ограниченияна управления. В фазовомпространстве заданыдва не пустыхмножества .Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетепереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям (4) и .Цель управления-перевод динамическийобъекта из в ,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательно

задачабыстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход измножества

в занаименьшеевремя. (4).

Введемпонятия мн-вадостижимости:

-этомножество всеточек фазовогопространства ,в котором можноперейти наотр. из начальногомножества порешениям (1) привсех допустимыхзначенияхуправленияu(t)вмомент времени .

Рассмотримсвойствамножествадостижимости:

1)Используемформулу Коши:

, -интегралот многозначногоотображения.Доказательствонепосредственноподставлениемвуравн (1).

2)Множестводостижимостиявляется непустым, компактнымподмножествомпр-ва

. .

Доказательствоследует изформулы Кошии 1-ой теоремыдля интеграламногозначныхотображений.

3)Если начальноемножество

выпукло,то множестводостижимости такжевыпукло. Доказательствоследует изформулы и теоремы овыпуклостиинтеграла отмногозначногоотображения.

4)Опорная функциямножествадостижимостиимеет вид:

, u(s)=U. Доказательствоследует изформулы ,свойств (3), (4) опорныхфункций , теоремы2 и того факта,что .

Доказательство:

.

5)Мн-водостижимости:

:I непрерывнозависит отаргумента .Множестводостижимостиимеет вид : -непрерывнапо теореме 3,матрица такженепрерывнапо ,следовательнолинейное отображениенепрерывнаяфункция.

Пример:Найти мн-водостижимостидля управляемогообъекта, описываемогоуравнением:

.

, и ,I .

, , , , , . , .

16.Общаязадача управляемости. Теорема обуправляемости.

Рассмотримвопрос:«Оптималенли объект?»

Рассматриваемдинамическийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1)

,x-n-мерныйвектор, ,A-матрицаnxn,uимеет ту жеразмерность,чтои , .Задано , u:I и полагается,что u(t)измеримои -где k(t)скалярнаяфункция интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I .Функцияu(t)-называетсядопустимымуправлением,если измеримаи являетсяоднозначнойветвью измногозначногоотображенияU (2) u(t) U(t)-ограниченияна управления. В фазовомпространстве заданыдва не пустыхмножества .Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетепереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям (4) и .Цель управления-перевод динамическийобъекта из в ,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательно

задачабыстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход измножества

в занаименьшеевремя. (4).

Задачауправления-решение вопроса:существуетхотя бы однодопустимоеуправлениеu(t), переводящийдинамическийобъекта из

в ,на отр. времениI.Это соответствуетрешению краевойзадачи: , .

Определим

такимобразом.

Теоремаоб уравляемости.Если

и выпуклы,то объект явл.управляемымна отр. Iиз мн-ва в ,тогда и толькотогда, когдадля

Док-во:Очевидно, объектуправляем тогдаи только тогда,когда множестводостижимостии

пересекаются.Т.к. и

выпуклы,то для негоприменим следствиеиз 11 св-ва опорныхфун-ий( ).

, ;

;

Bocпользуемсяеще одним св-омопрных функий:если

- невырожденнаяматрица, томожно воспользоватьсясв-вом , что :

.

Всилу положительнойопорной фун-ииотносительноаргумента

, получаем, чтоэто верно .

Теоремадок-на, т.к. леваячасть неравенстваи есть

.

17.Численноерешение задачиуправляемости.

Объектуправляем наI=

,если выполняется .Если множнство , , таковычто аналитическиневозможнополучить значениеопорной функцииu

Вычислениематрицы

и интеграл,тогда задачарешается сприменениемЭВМ. На ЭВМ решаетсядля конечногочисла .Для этого сферапокрывается -сетью.В двумерномпространстве -сетьопределяетсяуглом .В трехмерномпространстве -сетьопределяется двумя углами.Пусть некоторая -сетьнекоторойединичной сферыS,где -конечноемножество.Какой бы вектор ,найдется ,такой что .Пусть вычислимоеприближенноезначение в точках -сети. , .Необходимо,чтобы -в этом случаеговорим, чтообъект -управляем и при этом .Отсюда имеемследующее .Если ,то -объектE-управляем.Если -объектне управляем.Если ,то в этом случаенеопределенность.Выясним вопросо погрешности. и -погрешностьдля вычисленияопорной функций и . -погрешностьдля вычисления .По условиюЛипшица ,

.Используемэти формулы, получим следующиепогрешности: - погрешностьдля вычисления -предполагается,что она интегрируемапо Лебегу. -этовычислениеинтеграла . -погрешностьдля вычисления . -погрешностьвычисленияминимума функций. , . + + + + + + +

18. Леммао внутреннейточке.

ПустьА- квадратичнаяматрица размераnxn, V-произвольныйвектор пр-ва

,отрезок I= .Тогда ,тогдаи только тогда, когда векторы линейнонезависимы.

Подинтегралом-многозначноеотображения,интеграл отмногозначногоотображения– тоже многозначноеотображения.

Доказательство:Обозначим F=

.По свойствамопорной функциидля того чтобы нужно,чтобы выполнялосьусловие , . =

=

=

=

= .Т.к.подынтегральнаяфункция непрерывнаи неотрицательна,то условие , выполняетсятогда и толькотогда, когда наинтервале I. Покажем, чтодля этого необходимои достаточно,чтобы векторы былилин. независимы.

Необходимость:(доказательствоот противного)

эквивалентно , -лин.независимы.Предположим,что векторы лин. зависимы.Для 3-х векторов: ; -лежат в однойплоскости, ; .Тоже самое дляn-векторов: , Пришлик противоречию,необходимостьдоказана.

Достаточность: (от противного)

Есливекторы линейнонезависимы,то

такой, что , .Продифференцируем n-1раз:0= .Отсюдаследует: ,где -невырожденнаяматрица, -не нулевойвектор и ,а это означает,что векторы лин.зависимы.Получилипротиворечие. перпендикуярен .

19.Локальнаяуправляемость.Теорема о локальнойуправляемости..

Рассматриваемдинамическийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1)

,x-n-мерныйвектор, ,A-матрицаnxn,uимеет ту жеразмерность,чтои , .Задано , u:I и полагается,что u(t)измеримои -где k(t)скалярнаяфункция интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I .Функцияu(t)-называетсядопустимымуправлением,если измеримаи являетсяоднозначнойветвью измногозначногоотображенияU (2) u(t) U(t)-ограниченияна управления. В фазовомпространстве заданыдва не пустыхмножества .Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетепереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям (4) и .Цель управления-перевод динамическийобъекта из в ,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательно

задачабыстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход из

множества

в занаименьшеевремя. (4).

Предположим,что

,а мн-во -произвольныеточки изокрестности .

Сделаемлинейную замену:

,где -функции,получим , ,где , ,поэтому вместоточки можнорассматриватьт.0 и будем говоритьо локальнойуправляемостив т.0. Т.е. еслиобъект локальноуправляем вт.0, то он локальноуправляем влюбой точки .

Определение:Объектназ. локальноуправляем вт.

=0на отр.I, если объект явл.Управляемымна отр.Iиз т. .

Длярешения задачиприменим теоремуоб управляемости,но для конкретнойместности.Исходя из теоремыоб управляемости,объект явл.управляемымиз

в на I, если >=0.

20.Теорема о локальнойуправляемости.(дает достаточноеусловие локальнойуправляемости)

Если

вектор и выполняютсядва условия:

1)

, ;

2)

-лин.независимы,тогда объектявл. локальноуправляем вточке x=0на отр. I.

Доказательство:В силу определениялокальнойуправляемостивыполняетсяусловие

.

,получим (1) .Покажем, что ,такое , чтовыполняется(1) и .По предположениютеоремы 1) выполняется ,получим .Сделаем оценкудля левой частинеравенства.Оценим интеграл: ,

т.к.

и выполняется2) , то 0 явл. внутреннейточкой интеграла: ,а это означает,что опорнаяфункция >0, .Из свойствопорной функцииследует, чтоопорная функциянепрерывнапо .Если опорнаяфункция непрерывна,>0,и S–компактное,это означает,что ,такое что , , .Т.о. оценилилевую частьнеравенства(1), покажем , чтодля правойчасти , котораязависит от ,по этому можнонайти .

Покажем, что

.Оценим

,отсюда имеем

.

, ,а это значит, объектлокально управляемв точке x=0.

21.Теоремао существованииоптимальногоуправления.

Еслиобъект являетсяуправляемымиз множества

на отр. ,то существует переводящееобъект из за время -оптимальноуправляем.

Рассмотрим

-множество всехдопустимыхуправлений,переводящих объект из .Т.к. объект являетсяуправляемым, то .Обозначим через попаданияфазового вектора намножестве ,т.е. .Следовательноза меньшее невозможноперейти.

Докажем,что

,переводящееобъект из за ,при этом считаетсяфиксированым.Т.к. ,то последовательность перехода,сходящаясяк . удовлетворяетмн-во достижимости (пустоемн-во). Пустьдля .Т.к. множество замкнутои ограничено,то из можновыбратьподпоследовательность .

Пустьдано

.Т.к. сходящаясяк .

Т.о.

.Множество непрерывнопо аргументу ,т.е. начиная скакого-то номера . .Т.к. произвольная,а мн-во компактно,то .Т.к. и ,то это обозначает,что (пустое мн-во)и это означает,что ,переводящееобъект из за .И т.к. ,то -оптимальноеуправление.Теорема док-на.

22.Принцип максимумаПонтрягинана языке опорныхфункций.

Рассматриваемдинамическийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1)

,x-n-мерныйвектор, , .Задано , u:I и полагается,что u(t)измеримои -где k(t)скалярнаяфункция интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I .В фазовомпространстве заданыдва не пустыхмножества .Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетепереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям и .Цель управления-перевод динамическийобъекта из в ,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательнозадача быстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход измножества в занаименьшеевремя. (4).

,где -ненулеваявектор-функция. , .Если -оптимальноеуправление,переводящее ,то .

Длянашей задачи

: . удовлетворяетпринципу максимумаПонтрягинана ,если существуетне нулеваявектор -функция. ,удовлетворяющаясистеме снач. условием ,такая что выполняетсяусловие:

1. -здесьдостигаетсямаксимум.

2)

;

3)

.

Теоремао необходимыхусловияхоптимальности.Если в линейнойзадаче быстродействиямн-ва

выпуклы, -оптимальноеуправление,переводящее наотр. ,а -соответствующаятраектория,то пара удовлетворяетпринципу максимумаПонтрягина.

23.Применениенеобходимыхусловийоптимальности(схемаи поясненияк ней).

Рассматриваемдинамическийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1)

,x-n-мерныйвектор, ,A-матрицаnxn,uимеет ту жеразмерность,чтои , .Задано , u:I и полагается,что u(t)измеримои -где k(t)скалярнаяфункция интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I .Функцияu(t)-называетсядопустимымуправлением,если измеримаи являетсяоднозначнойветвью измногозначногоотображенияU u(t) U(t)-ограниченияна управления. В фазовомпространстве заданыдва не пустыхмножества , -выпуклы.Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетепереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям и .Цель управления-перевод динамическийобъекта из в ,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательно

задачабыстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход из

множества

в занаименьшеевремя. .

Пусть

оптимальноеуправление, -соответствующаятраектория,переводящая завремя I. И -ненулеваяфункция, такаячто (2).

1)

(3);

2)

(4);

3)

(5)

Найти

:

24.Достаточноеусловие оптимальности.

(Вначале написатьвопрос «Применениенеобходимыхусловий оптимальности(схемаи поясненияк ней»)

Длялинейной задачисуществуетдост. условие.Для этого необходимовыполнениедополнительныхусловий: усилениеусловия трансверсальности4) решение

удовлетворяетусиленномуусловию трансверсальностина наотр. ,если для (6).

Достаточноеусловие: если

допустимоеуправление, -соответствующаятраектория,переводящая завремя Iи пара удовлетворяетпринципу максимумаПонтрягина(2-5) и усиленномуусловию трансверсальности(6), то -оптимальноеуправление.

Следствиеиз теоремыдостаточногоусловия трансверсальности.Используемлокальнуюуправляемость:

.Если некотороедопустимоеуправление,а -соответствующеерешение (1), переводящее за время I,удовлетворяетпринципу максимумаПонтрягинаи объект явл.локально управляемымв т.0 на любомотр. ,то управление -оптимально.

25.Единственностьоптимальногоуправлениядля линейнойзадачи.

(В начале написатьвопрос «Применениенеобходимыхусловий оптимальности(схемаи поясненияк ней)»)

Прирешении сиспользованиемпринципа максимумаПонтрягинав пунктах 3,4нарушаетсяединственность.При выборе

изусловия 4 и выборе из условия (3).Пусть задана исопряженнаяфункция удовлетворяющаясистеме (2), еслиопорная функция являетсядифференцируемойпо в точке ,т.е. в этой точкесуществуетградиент функции идля почти всех дифференцируемаяпо ,то соответствующаяпара ,удовлетворяющаяпринципу максимумаПонтрягина,являетсяединственной.

Следствие: Если мн-во

и строго выпуклыдля почти всехt, принадлежащихI,тогда для любогоначальногозначения ,соответствующаяпара ,удовлетворяющаяпринципу максимумаПонтрягина,являетсяединственной.

1.Общаяпостановказадачи управляемости.

2. Основныевопросы в теорииОУ.

3.Постановкалинейной задачи.

4.Пространство

,алгебраическаясумма

,произведениемножества начисло

.

5.

,хаусдорффованорма, леммапро определенностьхаус. нормы.

6.Опорныефункции.

7.Свойстваопорной функции.

8. Непрерывныефункции. УсловияЛипшица. Лемма1,2 об условияхЛипшица дляопорных функций.

9. Многозначныеотображения.

10.Непрерывныеи равномернонепрерывныемногозначныеотображения.

11.Измеримыемногозначныеотображения.Лемма о равномернойнепрерывности многозначногоотображения.

12.Интегралот многозначногоотображения.Теорема онепрерывностиот многозначногоотображения.

13.Теоремы1, 2 о других видахмногозначныхотображений.

14.Линейная задачабыстродействия.Определениеабс. непрерывнойфункции. ТеоремаКаратеодори.

15.Множестводостижимости и его свойства.

16.Общаязадача управляемости. Теорема обуправляемости.

17.Численноерешение задачиуправляемости.

18.Леммао внутреннейточке.

19.Локальнаяуправляемость.Теорема олокальнойуправляемости..

20.Теоремао локальнойуправляемости.(дает достаточноеусловие локальнойуправляемости)

21.Теоремао существованииоптимальногоуправления.

22.Принцип максимумаПонтрягинана языке опорныхфункций.

23.Применениенеобходимыхусловийоптимальности(схемаи поясненияк ней).

24.Достаточноеусловие оптимальности.

25.Единственностьоптимальногоуправлениядля линейнойзадачи.