Произвольной постоянной Ньютон не добавляет).
Далее Ньютон пишет: «Прочие необходимые замечания я оставляю на долю проницательности самого мастера, тем более, что было бы излишним чересчур долго останавливаться на этом предмете, так как этим приемом проблема может быть решена не всегда. Я добавляю только одно замечание, а именно, что, найдя таким методом зависимость между флюэнтами, ты можешь затем согласно проблеме I вернуться к предложенному уравнению, содержащему флюксии, и тогда наверное узнаешь, правильно ли произведено действие или нет.
Предпослав все это беглым образом, я приступаю к общему решению.
Подготовление к решению.
Прежде всего следует заметить, что в предложенном уравнении знаки флюксий в отдельных членах должны быть одинакового измерения (ибо флюксии суть величины иного рода, чем те, для которых они служат флюксиями)»
Речь идет о том, что уравнение должно быть однородным, т. е. все его слагаемые должны измеряться в одних и тех же единицах измерения. Во времена Ньютона выражение вида x2 + x считалось неправильным, поскольку нельзя "складывать площадь и длину"
«Если в каком-либо случае дело обстоит иначе, то флюксию какой-либо флюэнты следует принять за единицу и помножить на нее низшие члены столько раз, сколько требуется для того, чтобы знаки флюксий привелись во всех членах к одинаковому числу измерений. Уравнения, которые содержат только флюэнты, имеющие везде одинаковое число измерений, всегда можно привести к такому виду, чтобы в одной части находилось отношение флюксий (например,
или 
или 
и т. д.), а в другой значение этого отношения, выраженное в простых алгебраических членах (таким образом, левая часть уравнения будет зависеть от производной y по x), как, например, В том случае, когда не может быть применено приведенное выше частное решение, уравнения всегда следует представлять в этой форме.
Поэтому, когда в значении этого отношения имеется какой-либо член с составным знаменателем или радикалом или когда это отношение представляет собой корень неявного уравнения, то прежде чем приступить к действиям, ты должен совершить приведение либо посредством деления, либо с помощью извлечения корня, либо с помощью решения неявного уравнения, как мы это объясняли выше.»
Речь идет, по существу, о хорошо известном методе Ньютона решения нелинейных уравнений, описываемом Ньютоном в предыдущем разделе трактата в форме представления решений в виде ряда.
«Пусть, например, предложено уравнение
Прежде всего приведение его дает
или
При первом предположении я обращаю выражение y/(a x), у которого знаменатель есть составное выражение a x, в бесконечный ряд простых членов:
(приведение это производятся делением числителя y на знаменатель a x), откуда получаю
с помощью чего и следует определить отношение между x и y.
Таким же образом, если данное уравнение есть
или
или после дальнейшего преобразования
то я извлекаю квадратный корень из членов 1/4+xx и получаю бесконечный ряд
При подстановке его вместо
я буду иметь или
смотря по тому, прибавляю ли
к 1/2 или вычитаю из нее.»В этих примерах Ньютон описывает первый этап своего метод решения дифференциальных уравнений. В современной терминологии это приведение уравнения к нормальной форме и разложение правой части в степенной ряд.
«Далее, чтобы легче было отличать одну из флюэнт от других, можно с достаточным основанием ту из флюксий, которая находится в числителе отношения, назвать величиной отнесенной, а ту, которая стоит в знаменателе и с которой сравнивается первая, соотнесенной, -зависимая и, соответственно, независимая переменные в дифференциальном уравнении; и этими же терминами можно соответственно называть и флюэнты. Для лучшего понимания дальнейшего можно представлять себе, что соотнесенная величина есть время или, лучше, какая-либо равномерно текущая величина, с помощью которой выражается и измеряется время, а другая, именно отнесенная, величина есть пространство, проходимое за это время вещью или точкой, обладающей некоторым ускоренным или замедленным движением. Сущность проблемы заключается тогда в определении пройденного за все время пути, если известна скорость для любого момента времени.»
Классификация уравнений в рамках проблемы и их решение
Уравнения, относящиеся к этой проблеме, Ньютон разделил на три рода:
1. уравнения вида F(x,
, 
) = 0, приводящиеся к виду f(x,dy/dx) = 0 «…те уравнения, в которых имеются две флюксии величин и только одна из флюэнт».2. уравнения вида F(x,y,
, ) = 0, приводящиеся к виду f(x, y, dy/dx) = 0. «…те, которые содержат обе текущие величины с их флюксиями.»
. Это действие произведи отдельно для каждой из текущих величин. Затем положи сумму всех этих произведений равной нулю, и ты получишь искомое уравнение». Данная рекомендация иллюстрируется примерами, аналогичными примеру 1. 
, 
, получившуюся при этом сумму по отбрасывании лишних членов следует положить равной нулю.
