Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений (стр. 4 из 5)

Степень с рациональным показателем.

Выражение

определено для всех и , кроме случая при . Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел

, и любых целых чисел и справедливы равенства:

Отметим так же, что если

, то при и при .

Определение: Степенью числа

с рациональным показателем , где – целое число, а – натуральное , называется число .

Итак, по определению

.

При сформулированном определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что свойства верны только для положительных оснований).

§2. Показательная функция.

Определение: Функция, заданная формулой

(где , ), называется показательной функцией с основанием

.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения – множество

действительных чисел.

2. Область значений – множество

всех положительных действительных чисел.

3. При

функция возрастает на всей числовой прямой; при функция убывает на множестве .

График функции

(рис. 1)

Рис. 1

4. При любых действительных значениях

и справедливы равенства

Эти формулы называют основными свойствами степеней.

Можно так же заметить, что функция

непрерывна на множестве действительных чисел.

§3. Логарифмическая функция.

Определение:Логарифмом числа

по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание . Что бы получить число .

Формулу

(где , и ) называют основным логарифмическим тождеством.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом

(

) и любых положительных

и

выполнены равенства:

1.

2.

3.

4.

5.

для любого действительного .

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формула перехода от одного основания логарифма к другому:

.

Пусть

– положительное число, не равное 1.

Определение: Функцию, заданную формулой

называют логарифмической функцией с основанием

.

Перечислим основные свойства логарифмической функции.

1. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел

, т.е. .

2. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при

) или убывает (при ).

График функции

(рис. 2)

Рис. 2

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой

(рис. 3).

Рис. 3

Глава 3.

Тождественные преобразования показательных и

логарифмических выражений на практике.

Задание 1.

Вычислите:

1.1)

;

1.2)

;

1.3)

;

1.4)

;

1.5)

.

Решение:

1.1)

;

1.2)

;

1.3)

;

1.4)

;

1.5)