XVII–XVIII âåêàõ ïîëó÷èë ðàçâèòèå è äðóãîé ïîäõîä ê “ñîãëàñîâàíèþ” íîâûõ èñòèí ìàòåìàòèêè ñ “âå÷íûìè” èñòèíàìè “íèçøåé” ìàòåìàòèêè. Êîãäà ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ðåçêî îòëè÷àëèñü îò ðàññìàòðèâàåìûõ â “íèçøåé” ìàòåìàòèêå, îíè îáúÿâëÿëèñü “âîîáðàæàåìûìè” è ðàññìàòðèâàëèñü êàê âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè, íåîáõîäèìûå äëÿ èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ îáû÷íûõ êîíå÷íûõ âåëè÷èí. Êðóïíåéøèå ìàòåìàòèêè XVIII âåêà íåîäíîêðàòíî ïûòàëèñü äîêàçàòü, ÷òî ïîíÿòèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íå äîïóñêàåò íèêàêîãî ðåàëüíîãî èñòîëêîâàíèÿ. Òàêèå æå ïîïûòêè ïðèíèìàëèñü è â îòíîøåíèè ïîíÿòèÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé âåëè÷èíû. Íî è íà ýòîì ïóòè óñòàíîâèòü åäèíñòâî ìíåíèé íå óäàëîñü.  ýòî âðåìÿ, êàæäàÿ çàäà÷à, îòíîñÿùàÿñÿ ê âåëè÷èíàì, èçó÷àåìûì â ìåõàíèêå, àñòðîíîìèè, òåõíèêå è ò. ï., åñëè è äîïóñêàëî ðåøåíèå, òî îáû÷íî ïîñëåäíåå âûðàæàëîñü ïðè ïîìîùè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé); êîìïëåêñíûå ÷èñëà (êîìïëåêñíûå êîðíè) óêàçûâàëè íà íåâîçìîæíîñòü å¸ ðåøåíèÿ.  êîíöå XVII è â XVIII âåêå òîëüêî íåñêîëüêî ìàòåìàòèêîâ — Âàëëèñ, Êþí, â êîíöå æèçíè Ýéëåð — ñ÷èòàëè ïîíÿòèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà äîïóñêàþùèì ðåàëüíîå èñòîëêîâàíèå.  êîíöå XVIII âåêà Âåññåëü ðàçðàáîòàë ïîëíîå ãåîìåòðè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå àðèôìåòèêè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ïî îñíîâíûì ñâîéñòâîì, âàæíûì äëÿ àëãîðèòìîâ àëãåáðû è àíàëèçà, êîìïëåêñíûå ÷èñëà íå îòëè÷àþòñÿ îò ÷èñåë äåéñòâèòåëüíûõ. Ïðåäñòàâëÿëàñü âîçìîæíîñòü îáúÿâèòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà “âîîáðàæàåìûìè” è, îáîéäÿ âîïðîñû îáîñíîâàíèÿ èõ àðèôìåòèêè, îñòàâèòü èõ â ìàòåìàòèêå â êà÷åñòâå “ïîëåçíûõ âñïîìîãàòåëüíûõ ôóíêöèé”. Íàïðîòèâ, òðàêòîâêà áåñêîíå÷íî ìàëûõ êàê “ïîëåçíûõ ôóíêöèé” øèðîêîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ íå ïîëó÷èëà: ìàòåìàòèêè çíàëè ìåõàíè÷åñêîå è ãåîìåòðè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå dx è dy.
Ïðèìåðíî ñ ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà îáëàñòü ïðèëîæåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íà÷èíàåò çíà÷èòåëüíî ïåðåêðûâàòü ãðàíèöû åãî îáû÷íîãî ïðèëîæåíèÿ â ìåõàíèêå è ãåîìåòðèè. Åù¸ áûñòðåå ðàçâåðòûâàåòñÿ ýòîò ïðîöåññ â ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà.
Ìàòåìàòèêè ïûòàëèñü ñíà÷àëà ðåøàòü íîâûå çàäà÷è ìåòîäàìè, ðàçðàáîòàííûìè êëàññèêàìè XVIII âåêà — Ýéëåðîì, Äàëàìáåðîì, Ëàãðàíæåì è äðóãèìè. Îäíàêî, âñêîðå âûÿñíèëîñü, ÷òî ìåòîäû êëàññèêîâ íåäîñòàòî÷íû, ÷òî íàäî ðàçâèâàòü íîâûå, áîëåå îáùèå è ñèëüíûå ìåòîäû. Âûÿñíèëîñü òàêæå, ÷òî íåäîñòàòî÷íîñòü ìåòîäîâ êëàññèêîâ íåðåäêî ñâÿçàíà ñ óçîñòüþ òðàêòîâêè îñíîâíûõ ïîíÿòèé, ñ “èçãîíÿåìûì” ïîíÿòèåì î áåñêîíå÷íî ìàëîì, ñ “èñêëþ÷åíèÿìè”, êîòîðûå ðàíüøå îñòàâàëèñü â òåíè.
Ïîÿñíèì ñêàçàííîå îäíèì ïðèìåðîì.
Íüþòîí è Ëåéáíèö ðàçðàáîòàëè äâå òðàêòîâêè ïîíÿòèÿ îáû÷íîãî îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.