Три кризиса в развитии математики (стр. 12 из 27)
Íüþòîí òðàêòîâàë îïðåäåëåííûé èíòåãðàë êàê ðàçíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè:
,ãäå F`(x)=f(x).
Äëÿ Ëåéáíèöà îïðåäåëåííûé èíòåãðàë áûë ñóììîé âñåõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ äèôôåðåíöèàëîâ.
.Ïåðâàÿ òðàêòîâêà îòâå÷àëà òåõíèêå âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ ïðè ïîìîùè ïåðâîîáðàçíîé ïåðâîîáðàçíîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, âòîðàÿ — ïîòîìó, ÷òî â ïðèëîæåíèÿõ îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ïîÿâëÿëñÿ êàê ïðåäåë èçâåñòíîãî âèäà ñóììû (èíòåãðàëüíîé ñóììû).
Ïðèìåðíî äî ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà ïåðâàÿ òðàêòîâêà ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà çàíèìàëà ãîñïîäñòâóþùåå ïîëîæåíèå. Ýòîìó ñïîñîáñòâîâàëè äâà îáñòîÿòåëüñòâà.
Ê íà÷àëó XVIII âåêà áûëè óñòàíîâëåíû ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé è íà÷àëàñü óñïåøíàÿ ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ èõ ïåðâîîáðàçíûõ (ðàöèîíàëüíûõ, îòäåëüíûõ êëàññîâ èððàöèîíàëüíûõ è òðàíñöåíäåíòíûõ ôóíêöèé). Áëàãîäàðÿ ýòîìó òî÷êà çðåíèÿ íüþòîíà âïîëíå îòâå÷àëà ðàçâèòèþ ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.
Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå
êàê ïðåäåëà èíòåãðàëüíîé ñóììû ñòîëêíóëîñü ñ ìíîãèìè òðóäíîñòÿìè. Åñòåñòâåííî, ÷òî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî óêðåïëåíèþ òî÷êè çðåíèÿ Ëåéáíèöà íå ñïîñîáñòâîâàëî.Ëåéáíèöåâî èñòîëêîâàíèå îáû÷íîãî îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ñóùåñòâåííî îïèðàëîñü íà ïîíÿòèå î áåñêîíå÷íî ìàëûõ, îò êîòîðîãî ìàòåìàòèêè XVIII âåêà õîòåëè îñâîáîäèòü ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ýòî òàêæå ñïîñîáñòâîâàëî óêðåïëåíèþ òî÷êè çðåíèÿ Íüþòîíà. Ôàêò ýòîò õîðîøî ïîäòâåðæäàëñÿ òåì, êàê Ýéëåð èñïîëüçîâàë ïîíÿòèå îá èíòåãðàëüíîé ñóììå. Ýéëåð íå âîçðàæàë ïðîòèâ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ ïðè ïîìîùè ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåãðàëüíûõ ñóìì. Íî ðàññìàòðèâàòü îïðåäåëåííûé èíòåãðàë êàê ïðåäåë èíòåãðàëüíîé ñóììû îí íå ìîã.  ýòîì ñëó÷àå âñå ñëàãàåìûå èíòåãðàëüíîé ñóììû ñòàíîâèëèñü áåñêîíå÷íî ìàëûìè, ò. å., ñ òî÷êè çðåíèÿ Ýéëåðà, áûëè íóëÿìè.
Êîíå÷íî, è äî ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà êîíöåïöèÿ Íüþòîíà ñòàëêèâàëàñü ñ òðóäíîñòÿìè.  ýòîò ïåðèîä âñòðå÷àëèñü ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè, ïåðâîîáðàçíûå êîòîðûõ íå ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Çíàëè ìàòåìàòèêè è íåêîòîðûå íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, â òîì ÷èñëå è ðàñõîäÿùèåñÿ. Íî òàêîãî ðîäà ôàêòû áûëè åäèíè÷íûìè è óñòàíîâèâøåéñÿ ýôôåêòèâíîé êîíöåïöèè èíòåãðàëà íàðóøèòü íå ìîãëè. Èíûì îêàçàëîñü ïîëîæåíèå â ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII è îñîáåííî â íà÷àëå XIX âåêà.
Ñ 70-õ ãîäîâ XVIII âåêà ðåøåíèå çàäà÷ àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè, ôèçèêè è äðóãèõ äèñöèïëèí ïîòðåáîâàëî çíà÷èòåëüíîå ðàçâèòèå ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Îñîáîå çíà÷åíèå ïðèîáðåòàþò äâîéíûå è òðîéíûå èíòåãðàëû (Ýéëåð, Ëàãðàíæ, Ëàïëàñ è äð.).
Ðàçðàáîòêà ïðèåìîâ âû÷èñëåíèÿ äâîéíûõ è òðîéíûõ èíòåãðàëîâ ïîêàçàëà, ÷òî âû÷èñëÿòü ýòè èíòåãðàëû òàê, êàê âû÷èñëÿëè îáû÷íûé îïðåäåëåííûé èíòåãðàë — ïðè ïîìîùè íåîïðåäåëåííîãî, î÷åíü òðóäíî èëè äàæå íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ìàòåìàòèêè âûíóæäåíû áûëè ñîõðàíÿòü êîíöåïöèþ Íüþòîíà òîëüêî íà ñëîâàõ, à íà äåëå, ïðè ðåøåíèè çàäà÷ òî÷íûõ íàóê, ñòàëè íà ïóòü Ëåéáíèöà. Îíè âû÷èñëÿëè ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëüíûå ñóììû (â ïðÿìîóãîëüíûõ, öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ) è íàõîäèëè èõ ïðåäåëû.