Êîðî÷å ãîâîðÿ, ðàçðàáîòêà ñïîñîáîâ âû÷èñëåíèÿ íîâûõ âèäîâ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ïîêàçàëà, ÷òî îáûêíîâåííûé, äâîéíîé è ò. ä. îïðåäåëåííûé èíòåãðàëû äîëæíû áûòü îáîñíîâàíû ñàìè ïî ñåáå íåçàâèñèìî îò ïîíÿòèÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Íî êàæäîå ñëàãàåìîå ëþáîé èíòåãðàëüíîé ñóììû ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé âåëè÷èíîé. Òåì ñàìûì íå òîëüêî ñòàâèëñÿ âîïðîñ î ëåãàëèçàöèè ðàíåå “èçãîíÿåìîãî” ïîíÿòèÿ áåñêîíå÷íî ìàëîãî, íî è î ðàñêðûòèè åãî ðåàëüíîãî ñîäåðæàíèÿ è î ñîîòâåòñòâóþùåì åãî èñïîëüçîâàíèè. Êàê óæå óêàçûâàëîñü, ÷òîáû âñ¸ ýòî ñäåëàòü íàäî áûëî ïðåîäîëåòü — îáîáùèòü, ðàçâèòü òðàäèöèîííîå (ýéëåðîâî) òîëêîâàíèå ôóíêöèè è ïîíÿòèÿ ïðåäåëà.
Èçó÷åíèå ôóíêöèé ïîêàçàëî, ÷òî ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ôóíêöèþ, è ôóíêöèÿ, åþ ïðåäñòàâëÿåìàÿ — ýòî íå îäíî è òî æå. Ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ îðóäèåì îäíîãî èç ñïîñîáîâ (àíàëèòè÷åñêîãî) ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f(x)=|x| ìîæåò áûòü çàäàíà íà ïðîìåæóòêå (–p; +p) äâóìÿ ôîðìóëàìè: ó=õ, ó=–õ; âìåñòå ñ òåì îíà ìîæåò áûòü çàäàíà è îäíèì àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì, à èìåííî — ñõîäÿùèìñÿ ê íåé òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì.
 ïîëüçó ýòîãî çàêëþ÷åíèÿ ãîâîðèëè è èíûå ñîîáðàæåíèÿ. “Íîâåéøèå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè,— Ïèñàë Ðèìàí,— ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ (òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû), ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî â çàäàííîì ïðîìåæóòêå ïðåäñòàâèòü ëþáóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, áóäåò ëè çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû w îò âåëè÷èíû z çàäàíà ïðîèçâîëüíî èëè ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìóëû.”
Ïî-íîâîìó áûë ïîñòàâëåí âîïðîñ î íåïðåðûâíîñòè è òî÷êàõ ðàçðûâà ôóíêöèè. Ýéëåðîâî ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè áûëî îñòàâëåíî, êàê íå îòâå÷àþùåå îáùåìó ïîíÿòèþ ôóíêöèè. Áîëüöàíî, Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé, à âñëåä çà íèìè è äðóãèå ìàòåìàòèêè âûäâèãàþò íà ïåðâîå ìåñòî îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè “íà ÿçûêå e è d”.
“Ñîãëàñíî ïðàâèëüíîìó îáúÿñíåíèþ,— óêàçûâàë Áîëüöàíî,— ïîíèìàþò ïîä âûðàæåíèåì, ÷òî ôóíêöèÿ f(x) èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó íåïðåðûâíîñòè äëÿ âñåõ çíà÷åíèé õ, êîòîðûå ëåæàò âíóòðè èëè âíå èçâåñòíûõ ãðàíèö; ëèøü òî, ÷òî, åñëè õ — êàêîå-íèáóäü èç ýòèõ çíà÷åíèé, òîãäà ðàçíîñòü f(x+w)–f(x) ìîæåò áûòü ñäåëàíà ìåíüøå, ÷åì ëþáàÿ çàäàííàÿ âåëè÷èíà, åñëè ìîæíî ïðèíÿòü w ñòîëü ìàëûì, ñêîëüêî ìû õîòèì”.
Êîøè ïèñàë: f(x) íåïðåðûâíà äëÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ õ, êîãäà “áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå ïåðåìåííîé ïðîèçâîäèò áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðèðàùåíèÿ ñàìîé ôóíêöèè”.
Ñíà÷àëà òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè îïðåäåëÿëèñü ÷èñòî îòðèöàòåëüíî. Êîøè ïèñàë: “Êîãäà f(x) ïåðåñòàåò áûòü íåïðåðûâíî â ñîïðåäåëüíîñòè ÷àñòíîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíà äåëàåòñÿ ïðåðûâíîþ è ÷òî äëÿ ýòîãî ÷àñòíîãî çíà÷åíèÿ ïðîèñõîäèò ðàçðûâ íåïðåðûâíîñòè”.
Âî âòîðîé ÷åòâåðòè XIX âåêà òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f(x) èçó÷àëè Ïóàññîí, Ëèáðè è äð.  ñâîèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåìóàðàõ Ëèáðè ïèñàë, ÷òî âïåðâûå ðàçðûâíûå ôóíêöèè ñäåëàëèñü ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèé â ðàáîòàõ Äàíèèëà Áåðíóëëè, Ýéëåðà è Äàëàìáåðà. Îäíàêî, ïîä÷åðêíóë îí, òîëüêî èññëåäîâàíèÿ Ôóðüå, Ïóàññîíà è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ î ðàçðûâíûõ ôóíêöèÿõ ðàññåÿëè âñå ñîìíåíèÿ, êîòîðûå âñå åù¸ ñâÿçûâàëèñü ñ ïðèðîäîé ýòèõ ôóíêöèé. Òî÷íîå ðàçëè÷èå ìåæäó òî÷êàìè ðàçðûâà ïåðâîãî è âòîðîãî ðÿäà è, ñîîòâåòñòâåííî ýòîìó, èõ ïðÿìûå îïðåäåëåíèÿ âîøëè â ïðàêòèêó ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà.