Íàêîíåö, â ñâÿçè ñî âñåì ýòèì âûÿñíèëîñü, ÷òî íå êàæäàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ âìåñòå ñ òåì è äèôôåðåíöèðóåìîé. Ïåðâûé ïðèìåð íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, íå èìåþùåé ïðîèçâîäíîé â êàæäîé òî÷êå, äàë Áîëüöàíî, îäíàêî åãî ïðèìåð â ñâîå âðåìÿ îñòàëñÿ ìàòåìàòèêàì íåèçâåñòíûì.
Âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà ïðèìåð òàêîãî ðîäà ôóíêöèè ïîñòðîèë Áåéåðøòðàññ. Ëîáà÷åâñêèé äàë òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè è äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè è ïîä÷åðêíóë ðàçëè÷èÿ ìåæäó ýòèìè ïîíÿòèÿìè.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà êëàññè÷åñêèé àíàëèç ñòàíîâèòñÿ íàóêîé î âñåõ âîçìîæíûõ âèäàõ ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî â èõ îáùåì âèäå. Êîðåííîìó èçìåíåíèþ ïîäâåðãñÿ íå òîëüêî îáúåêò ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà; ïðîèçîøëî êîðåííîå èçìåíåíèå è â ìåòîäàõ èçó÷åíèÿ ôóíêöèé.
Êàê óæå óêàçûâàëîñü, ðàçâèòèå ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà è ðàçðàáîòêà òåõíèêè åãî âû÷èñëåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî îïðåäåëåííûé èíòåãðàë (äâîéíîé, òðîéíîé èíòåãðàëû ïî ïîâåðõíîñòè, íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû) íåîáõîäèìî îáîñíîâûâàòü ñàìîñòîÿòåëüíî, íåçàâèñèìî îò ïîíÿòèÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèê âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ïðåäåëîâ èíòåãðàëüíûõ ñóìì, ñëàãàåìûå êîòîðûõ áûëè áû áåñêîíå÷íî ìàëûìè.  ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà ïîíÿòèå áåñêîíå÷íî ìàëîé îêàçàëîñü íåîáõîäèìûì è äëÿ èçó÷åíèÿ è ñîïîñòàâëåíèÿ ñâîéñòâ íåïðåðûâíûõ è ðàçðûâíûõ ôóíêöèé. “Ìåæäó ìíîãèìè ïîíÿòèÿìè,— óêàçûâàë Êîøè,— òåñíî ñâÿçàííûìè ñî ñâîéñòâàìè áåñêîíå÷íî ìàëûõ, ñëåäóåò ïîìåñòèòü ïîíÿòèå î íåïðåðûâíîñòè è ïðåðûâíîñòè ôóíêöèé”. Òóò æå Êîøè äàåò èñòîëêîâàíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè, êîòîðîå áîëåå ÷åì ÿñíî ïîäòâåðæäàåò ÿñíîñòü ýòîãî åãî óòâåðæäåíèÿ.
Íîâàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÿñíî ïîêàçûâàëà, ÷òî äåëî íå òîëüêî â ïðèçíàíèè è ïðèìåíåíèè áåñêîíå÷íî ìàëûõ — ýòî äåëàëè è ðàíüøå!— íî ïðåæäå âñåãî â íàó÷íîì èñòîëêîâàíèè èõ ñîäåðæàíèÿ è îáîñíîâàííîì íà ýòîì èñïîëüçîâàíèè èõ â àëãîðèòìàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Îäíàêî, ÷òîáû ýòî ñäåëàòü íàäî áûëî ïðåîäîëåòü ãîñïîäñòâîâàâøåå â XVIII âåêå óçêîå òîëêîâàíèå ïîíÿòèÿ ïðåäåëà, ðàçðàáîòàòü îáùóþ òåîðèþ ïðåäåëîâ. Ïîëó÷åíèå îñíîâîïîëàãàþùèõ ðåçóëüòàòîâ ñâÿçàíî çäåñü ñ èìåíåì Êîøè.
Èçó÷åíèå ðàçðûâíûõ ôóíêöèé è ñîïîñòàâëåíèå èõ ñ ôóíêöèÿìè íåïðåðûâíûìè çàñòàâèëî ïðèçíàòü òî, ÷òî ðàíåå ñ÷èòàëîñü íåâîçìîæíûì: ÷òî ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìèòüñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè, ïðè ñòðåìëåíèè àðãóìåíòà â íåêîòîðîé òî÷êå ìîæåò îêàçàòüñÿ îòëè÷íûì îò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå. Çíà÷èò, ïðåäåë íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ “ïîñëåäíèì” çíà÷åíèåì ïåðåìåííîé, íî âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïðåäåë åñòü ÷èñëî, ê êîòîðîìó ïåðåìåííàÿ ïðèáëèæàåòñÿ íåîãðàíè÷åííî. Ñëåäîâàòåëüíî, dx è dy íå íåîáõîäèìî íóëè èëè ìèñòè÷åñêè àêòóàëüíî áåñêîíå÷íî ìàëûå; áåñêîíå÷íî ìàëàÿ — ýòî ïåðåìåííàÿ, èìåþùàÿ ïðåäåëîì íóëü, ïðè÷åì ôàêò ýòîò ñ ïðîòèâîðå÷èÿìè è ïàðàäîêñàìè íå ñâÿçàí.