Êîøè ïðåîäîëåë è âòîðóþ îãðàíè÷èòåëüíóþ òåíäåíöèþ â ïðèíÿòîé äî íåãî òðàêòîâêå ïîíÿòèÿ ïðåäåëà. Îí ïðèçíàë, ÷òî ïåðåìåííàÿ ìîæåò ïðèáëèæàòüñÿ ê ñâîåìó ïðåäåëó íå òîëüêî ìîíîòîííî, íî è êîëåáëÿñü, ïîðîé ïðèíèìàÿ çíà÷åíèÿ, ðàâíûå å¸ ïðåäåëó.
Êàê ñïðàâåäëèâî îòìåòèë Í. Í. Ëóçèí, ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðèäàëî òåîðèè Êîøè íåîáõîäèìóþ îáùíîñòü è èñêëþ÷èòåëüíóþ ãèáêîñòü.
×òî ïîçâîëèëî Êîøè ñäåëàòü ýòî èñêëþ÷èòåëüíî âàæíûé øàã? Îòâåò, êîíå÷íî, íàäî èñêàòü ïðåæäå âñåãî â ñâîåîáðàçèè òåõ ïðåäåëüíûõ ïðîöåññîâ, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèëîñü âñòðå÷àòüñÿ â êîíöå XVIII è íà÷àëå XIX âåêà â òî÷íûõ íàóêàõ, îñîáåííî â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå.  ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ê ÷èñëó òàêèõ ïðîöåññîâ íàäî â ïåðâóþ î÷åðåäü îòíåñòè îòûñêàíèå ïðåäåëîâ ðàçëè÷íîãî âèäà èíòåãðàëüíûõ ñóìì è íàõîæäåíèå ñóìì ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, îñîáåííî òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ.
Âûïîëíåííûå Êîøè îáîáùåíèÿ òåîðèè ïðåäåëîâ Íüþòîíà-Äàëàìáåðà ïîçâîëèëè åìó äàòü ïîíÿòèþ áåñêîíå÷íî ìàëîãî ðåàëüíîå èñòîëêîâàíèå è ïîäâåñòè ïîä àëãîðèòì Ëåéáíèöà-Íüþòîíà äîñòàòî÷íûé íàó÷íûé ôóíäàìåíò. Áëàãîäàðÿ ýòîìó Êîøè ñìîã ïîäâåñòè íàó÷íûé ôóíäàìåíò ïîä ó÷åíèå î íåïðåðûâíîñòè è ðàçðûâàõ ôóíêöèé, îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå è, ÷òî îñîáåííî âàæíî, ðàçâèòü íà÷àëà íàó÷íîé êîíöåïöèè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
 ïðîöåññå òàêèõ èññëåäîâàíèé Áîëüöàíî, Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé, Äèðèõëå, à âñëåä çà íèìè äðóãèå ïåðåäîâûå ìàòåìàòèêè ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïî-íîâîìó ïîäîøëè ê èñòîëêîâàíèþ ñòðîãîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ, â ïåðâóþ î÷åðåäü äîêàçàòåëüñòâ óòâåðæäåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.
Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ (êðèòåðèè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ïåðåìåííîé) îêàçàëèñü ñóùåñòâåííî íåîáõîäèìûìè è äëÿ îáîáùåííîé òåîðèè ïðåäåëîâ.
Åñëè ïåðåìåííàÿ èçìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî è ìîíîòîííî, òî ïðèíèìàåìîå åþ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé åñòü èíòåðâàë, à ïðåäåë — åãî ïðàâàÿ èëè ëåâàÿ òî÷êà. Êàê ãîâîðèë Í. Í. Ëóçèí, â ýòîì ñëó÷àå ïðåäåë ÿâëÿåòñÿ “îïòè÷åñêèì”: îí âèäåí ãëàçîì. Åñëè æå ñíÿòü ýòè îãðàíè÷åíèÿ, äîïóñòèòü ïðåðûâíîå è, ãëàâíîå, êîëåáëþùååñÿ ïðèáëèæåíèå ïåðåìåííîé ê å¸ ïðåäåëó, òî, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðåäåë òåðÿåòñÿ; îí “ãëóáîêî ñïðÿòàí ñðåäè çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ ïåðåìåííîé”.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò âîïðîñ: ïðè âûïîëíåíèè êàêèõ óñëîâèé ïåðåìåííàÿ èìååò ïðåäåë? Èçâåñòíî, ÷òî è ýòîò âîïðîñ ïîëíîñòüþ ðåøèë Êîøè. Îí äîêàçàë, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õ1, õ2,…, õï,… èìååò ïðåäåë òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ âñÿêîãî ïîëîæèòåëüíîãî e, êàê óãîäíî ìàëîãî, ìîæíî íàéòè òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ï, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ò
|xn+m–xn|<e.
Ýòà òåîðåìà â êëàññè÷åñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü.