íå ñ÷èòàòü íåâîçìîæíûì òî, ÷òî êàæåòñÿ ïàðàäîêñàëüíûì.
Ãàóññ ïèñàë: “Ìû íå ìîæåì ñìåøèâàòü òî, ÷òî íàì êàæåòñÿ íååñòåñòâåííûì, ñ òåì, ÷òî íàì êàæåòñÿ àáñîëþòíî íåâîçìîæíûì”.
èçó÷àòü âñå âîçìîæíîñòè, êàêèå ïðåäñòàâëÿåò ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ è ñîîòâåòñòâåííî ýòîìó ðàçâèâàòü îáùèå òåîðèè.
 ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ýòîò ïðèíöèï ñòàíîâèòñÿ ðóêîâîäÿùèì íà÷àëîì èññëåäîâàíèé ïî÷òè âñåõ âåäóùèõ ìàòåìàòèêîâ.
ïðåæäå ÷åì çàäàâàòüñÿ âîïðîñîì î çàâèñèìîñòè, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîé îñòà¸òñÿ íåèçâåñòíûì, ñëåäóåò ïîñòàâèòü âîïðîñ, âîçìîæíà ëè â äåéñòâèòåëüíîñòè òàêàÿ çàâèñèìîñòü.
(Àáåëü)
Âî âòîðîé ÷åòâåðòè XIX âåêà îáû÷íûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà íàøëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå â òåîðèè ôóíêöèé è äàæå â òåîðèè ÷èñåë.  òîæå âðåìÿ ðàçðàáîòêà ïðîáëåì ï-ìåðíîé ãåîìåòðèè è ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ïîòðåáîâàëà äàëüíåéøåãî îáîáùåíèÿ ïîíÿòèÿ ÷èñëà, ïåðåõîäà ê íîâîãî âèäà êîìïëåêñíûì ÷èñëàì ñ ï îñíîâíûìè åäèíèöàìè. Êîìïëåêñíûå è ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëà ñòàëè ïðåäñòàâèòåëÿìè èññëåäóåìûõ ðåàëüíûõ âåëè÷èí — âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå Rn; îòâåò íà çàäà÷ó, âûðàæåííûé êîìïëåêñíûì èëè ãèïåðêîìïëåêñíûì ÷èñëîì, èìåë â ýòîé îáëàñòè îáúåêòèâíûé ñìûñë. Îáúÿâëÿòü êîìïëåêñíûå (è ãèïåðêîìïëåêñíûå) ÷èñëà “ëîæíûìè”, “âîîáðàæàåìûìè”, “ìíèìûìè”, êàê ýòî äåëàëè ìàòåìàòèêè XVII–XVIII âåêîâ, ñòàëî íåâîçìîæíûì.
Àðèôìåòèêà êîìïëåêñíûõ è ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïîêàçàëà äàëåå, ÷òî ïåðåõîä ê íîâîé, áîëåå øèðîêîé îáëàñòè ÷èñåë ñâÿçàí, âî-ïåðâûõ, ñ íåîáõîäèìîñòüþ îáîáùàòü îïðåäåëåíèÿ äåéñòâèé, äàííûõ äëÿ èñõîäíîé îáëàñòè ÷èñåë è, âî-âòîðûõ, ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîòåðåé íåêîòîðûõ ñâîéñòâ, ïðèñóùèõ ÷èñëàì èñõîäíîé îáëàñòè ÷èñåë. Ïðè ïåðåõîäå îò äåéñòâèòåëüíûõ ê êîìïëåêñíûì ÷èñëàì ïðèøëîñü îòêàçàòüñÿ îò ñâÿçûâàíèÿ èõ çíàêàìè >, <.  àðèôìåòèêå êâàòåðíèîíîâ ñòàëî íåîáõîäèìûì äîïîëíèòåëüíî îòêàçàòüñÿ è îò çàêîíà ïåðåìåñòèòåëüíîñòè óìíîæåíèÿ. Çàêîíû ñ÷åòà — èñòîðè÷åñêè ñàìûå ñòîéêèå, à ïîýòîìó â ïîíèìàíèè ìàòåìàòèêîâ XVII–XVIII âåêîâ ñîñòàâëÿþùèå îñíîâó “íåèçìåííîé ñóùíîñòè” ïîíÿòèÿ ÷èñëà îêàçàëèñü çàêîíàìè ñ îãðàíè÷åííîé îáëàñòüþ äåéñòâèÿ.
Ìåòàôèçè÷åñêîå ðàçäåëåíèå ÷èñåë íà “ðåàëüíûå” è “âîîáðàæàåìûå”, òðåáîâàíèå ñòðîèòü ó÷åíèå î ÷èñëàõ íà îáû÷íûõ îïðåäåëåíèÿõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé, ÷èñòî ôîðìàëüíîå ïîäâåäåíèå íîâûõ ÷èñåë ïîä âñå çàêîíû ÷èñåë èçâåñòíûõ — âñå ýòî îêàçàëîñü îêîí÷àòåëüíî äèñêðåäèòèðîâàííûì.
Ýòè ôàêòû (ñ ó÷åòîì îáùèõ òåíäåíöèé ðàçâèòèÿ ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè) ïîêàçàëè, ÷òî äëÿ îáîñíîâàíèÿ àðèôìåòèêè êàêîãî óãîäíî âèäà ÷èñåë, îáúåêòèâíîñòü êîòîðûõ óæå äîêàçàíà, äîñòàòî÷íî ïåðå÷èñëèòü å¸ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, îïðåäåëåíèÿ è ïîñûëêè, âûÿñíèòü, êàêèå çàêîíû ñ÷åòà âûïîëíÿþòñÿ â îáîñíîâûâàåìîé îáëàñòè ÷èñåë, à âñå îñòàëüíûå å¸ óòâåðæäåíèÿ ïîëó÷èòü â ðåçóëüòàòå äåäóêöèé. Íà ýòîì ïóòè óäàëîñü îáîñíîâàòü àðèôìåòèêè öåëûõ, ðàöèîíàëüíûõ, êîìïëåêñíûõ è ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Àðèôìåòèêà íàòóðàëüíûõ è àðèôìåòèêà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ïîëó÷èëà ðåàëüíîå îáîñíîâàíèå âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà.