òåñíîé ñâÿçè ñ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ÷èñëà è ñ íîâûìè ñïîñîáàìè îáîñíîâàíèÿ ó÷åíèÿ î ÷èñëå íàõîäèòñÿ âîçíèêíîâåíèå èñõîäíûõ èäåé “ôîðìàëüíîé” àëãåáðû. Ýòèìè èäåÿìè ìàòåìàòèêà îáÿçàíà Ïèêîêó, Ãàìèëüòîíó, À. äå Ìîðãàíó, Ãðåãîðè è Ãàíêåëþ.
 ãåîìåòðèè áûëè ñäåëàíû îòêðûòèÿ, èìåþùèå äëÿ å¸ îñíîâàíèé ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå.
Ëîáà÷åâñêèé è Áîéëè îòêðûëè íååâêëèäîâó ãåîìåòðèþ. Ïîíñåëå ðàçðàáîòàë ïðîåêòèâíóþ ãåîìåòðèþ, Ãðàññìàí — ãåîìåòðèþ ï-ìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïðèíöèïû ýòèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ òåîðèé ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò ïîñûëîê “Íà÷àë” Åâêëèäà.
Îäíàêî, â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà íååâêëèäîâà ãåîìåòðèÿ ïðèçíàíèÿ íå ïîëó÷èëà. Ïðîåêòèâíàÿ ãåîìåòðèÿ áûëà ðàçðàáîòàíà Ïîíñåëå êàê íàäñòðîéêà íàä ãåîìåòðèåé Åâêëèäà; å¸ áîëåå îáùåå ñîäåðæàíèå è ñïåöèôèêà å¸ ïðèíöèïîâ áûëè îñîçíàíû âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà. Ã. Ãðàññìàí ðàçâèë ñâîå ó÷åíèå íà ðóáåæå ñåðåäèíû XIX âåêà. Áëàãîäàðÿ ýòîìó óêàçàííûå âûâîäû ïîëó÷èëè âïîñëåäñòâèè øèðîêîå ïðèçíàíèå.
Âîò åù¸ îäèí ðåçóëüòàò, èìåþùèé ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè. Ìàòåìàòèêè XVII–XVIII âåêîâ ïûòàëèñü äîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå óðàâíåíèå ïÿòîé ñòåïåíè ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ.  1827 ãîäó Àáåëü äîêàçàë, ÷òî ýòî íåâîçìîæíî. Ïîñêîëüêó âñå æå ñóùåñòâóþò óðàâíåíèÿ ïÿòîé, øåñòîé è äðóãèõ ñòåïåíåé, ðàçðåøàåìûå â ðàäèêàëàõ, åñòåñòâåííî âîçíèêàë âîïðîñ: êàê îõàðàêòåðèçîâàòü êëàññ óðàâíåíèé äàííîé ñòåïåíè, êîòîðûå äîïóñêàþò ðåøåíèå â ðàäèêàëàõ? Ýòîò âîïðîñ èìåë è ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Êàê ïîêàçàëè Ýéëåð è Äàëàìáåð, èíòåãðèðîâàíèå ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ï-ãîïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ êîðíåé àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ï-é ñòåïåíè. Òàêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì àïïàðàòîì òåîðèè êîëåáàíèé. ×òîáû ðåøèòü óêàçàííûé âûøå âîïðîñ, Ý. Ãàëóà ïîñòðîèë îñîáûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, â êîòîðîì ãëàâíàÿ ðîëü îòâîäèòñÿ ïîíÿòèþ ãðóïïû. Âûÿñíèëîñü, ÷òî ïîä ïîíÿòèå ãðóïïû ïîäõîäÿò ðàçëè÷íûå îáëàñòè îáúåêòîâ, áëàãîäàðÿ ÷åìó îíî íàõîäèò ïëîäîòâîðíîå ïðèìåíåíèå â ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèíàõ. Îêàçàëîñü òàêæå, ÷òî ïîíÿòèå ãðóïïû îáíàðóæèâàåò ñâîþ äåéñòâåííîñòü íàèëó÷øèì îáðàçîì, êîãäà åãî òåîðèÿ îáîñíîâûâàåòñÿ àáñòðàêòíî, íåçàâèñèìî îò îïèñàíèÿ ïðèðîäû îáúåêòîâ, îòíîøåíèÿ êîòîðûõ åþ îïèñûâàþòñÿ. Âïåðâûå âñå ýòè ôàêòû îò÷åòëèâî îñîçíàë è îïèñàë Êýëè â 1854 ãîäó; ýòîò ãîä ïîýòîìó ñ÷èòàþò ãîäîì íà÷àëà àáñòðàêòíîé òåîðèè ãðóïï.
Ïîä âëèÿíèåì âñåõ ýòèõ ôàêòîâ â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ïðåäïðèíèìàþòñÿ ïîïûòêè ðàñøèðèòü òðàäèöèîííîå îïðåäåëåíèå ïðåäìåòà ìàòåìàòèêè êàê íàóêè òîëüêî î âåëè÷èíàõ è èõ èçìåðåíèè. Íàïðèìåð, äëÿ Ïóàíñî ìàòåìàòèêà — ýòî íàóêà î ñâîéñòâàõ ÷èñåë, âåëè÷èíàõ è ïîðÿäêå. Áîëüöàíî è Ãðàññìàí ñ÷èòàëè, ÷òî òðàäèöèîííàÿ òðàêòîâêà î ïðåäìåòå ìàòåìàòèêè íå îõâàòûâàåò å¸ ñîäåðæàíèÿ â öåëîì: íàïðèìåð, îíî íå ïðèëîæèìî ê ó÷åíèþ î ñî÷åòàíèÿõ. Äëÿ Ãðàññìàíà ìàòåìàòèêà — ó÷åíèå î ôîðìàõ, îäíàêî ãåîìåòðèÿ ê ìàòåìàòèêå íå ïðèíàäëåæèò.  1854 ãîäó Äæ. Áóëü ïîä÷åðêèâàë, ÷òî “â ïðèðîäå ìàòåìàòèêè íå çàëîæåíà íåîáõîäèìîñòü çàíèìàòüñÿ èäåÿìè ÷èñëà è âåëè÷èíû”.