Ìû ðàññìîòðèì ñóùíîñòü ýòèõ êðèçèñîâ ìàòåìàòèêè, èìåÿ â âèäó ïðåèìóùåñòâåííî ïîäòâåðæäåíèå âûâîäîâ, ñäåëàííûõ ðàíåå î çàêîíîìåðíîñòÿõ ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè êàê òåîðèè.
Ìàòåìàòèêà êàê òåîðèÿ ïîëó÷èëà ðàçâèòèå â øêîëå Ïèôàãîðà (571–479 ãã. äî í. ý.).
Ãëàâíîé çàñëóãîé ïèôàãîðåéöåâ â îáëàñòè íàóêè ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííîå ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè êàê ïî ñîäåðæàíèþ, òàê è ïî ôîðìå. Ïî ñîäåðæàíèþ — îòêðûòèå íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ. Ïî ôîðìå — ïîñòðîåíèå ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêè êàê òåîðåòè÷åñêèõ, äîêàçàòåëüíûõ íàóê, èçó÷àþùèõ ñâîéñòâà îòâëå÷åííûõ ïîíÿòèé î ÷èñëàõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîðìàõ.
Äåäóêòèâíîå ïîñòðîåíèå ãåîìåòðèè ÿâèëîñü ìîùíûì ñòèìóëîì å¸ äàëüíåéøåãî ðîñòà.
Ïèôàãîðåéöû ðàçâèëè è îáîñíîâàëè ïëàíèìåòðèþ ïðÿìîëèíåéíûõ ôèãóð: ó÷åíèå î ïàðàëëåëüíûõ ëèíèÿõ, òðåóãîëüíèêàõ, ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ, ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêàõ. Ïîëó÷èëà ðàçâèòèå ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ îêðóæíîñòè è êðóãà. Íàëè÷èå ó ïèôàãîðåéöåâ ó÷åíèÿ î ïàðàëåëüíûõ ëèíèÿõ ãîâîðèò î òîì, ÷òî îíè âëàäåëè ìåòîäîì äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî è âïåðâûå äîêàçàëè òåîðåìó î ñóììå óãëîâ òðåóãîëüíèêà. Âåðøèíîé äîñòèæåíèé ïèôàãîðåéöåâ â ïëàíèìåòðèè ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïèôàãîðà. Ïîñëåäíÿÿ çà ìíîãî ñòîëåòèé ðàíüøå áûëà ñôîðìóëèðîâàíà âàâèëîíñêèìè, êèòàéñêèìè è èíäèéñêèìè ó÷åíûìè, îäíàêî å¸ äîêàçàòåëüñòâî èì íå áûëî èçâåñòíî.
Óñïåõè ïèôàãîðåéöåâ â ñòåðåîìåòðèè áûëè çíà÷èòåëüíûìè. Îíè çàíèìàëèñü èçó÷åíèåì ñâîéñòâ øàðà, îòêðûëè ïîñòðîåíèå ÷åòûðåõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ — òåòðàýäðà, êóáà, îêòàýäðà è äîäåêàýäðà (èêîñàýäð èññëåäîâàë âïîñëåäñòâèè Ãåýòåò).
Îäíàêî îíè íå ñìîãëè îáîñíîâàòü óòâåðæäåíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê îáúåìàì òåë (ïèðàìèäû, êîíóñà, öèëèíäðà è øàðà), õîòÿ, êîíå÷íî, ýòè óòâåðæäåíèÿ áûëè óñòàíîâëåíû ýìïèðè÷åñêè ìíîãî âåêîâ ðàíüøå. Íå çíàëè ïèôàãîðåéöû è îòíîøåíèÿ ïîâåðõíîñòè øàðà ê áîëüøîìó êðóãó.  îáëàñòè àðèôìåòèêè ïèôàãîðåéöû èçó÷àëè ñâîéñòâà ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ, ïðîñòûõ è ñîñòàâíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, èñêàëè ñîâåðøåííûå ÷èñëà, ò. å. òàêèå, êîòîðûå ðàâíû ñóììå âñåõ ñâîèõ äåëèòåëåé (íàïðèìåð, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14). Ïî âèäèìîìó, îíè óñòàíîâèëè, ÷òî åñëè ÷èñëî 2ï–1 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì, òî ÷èñëî 2ï–1´(2ï–1) — ñîâåðøåííîå. Ïèôàãîðåéöû çíàëè òàêæå äðîáíûå ÷èñëà è â ýòîé ñâÿçè ðàçðàáîòàëè òåîðèþ àðèôìåòè÷åñêîé è ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîïîðöèé. Îíè âëàäåëè ïîíÿòèÿìè ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî, ñðåäíåãî ãåîìåòðè÷åñêîãî è ñðåäíåãî ãàðìîíè÷åñêîãî.
Êàê íè âåëèêè çàñëóãè ïèôàãîðåéöåâ â ðàçâèòèè ñîäåðæàíèÿ è ñèñòåìàòèçàöèè ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêè, îäíàêî âñå îíè íå ìîãóò ñðàâíèòüñÿ ñî ñäåëàííûì èìè æå îòêðûòèåì íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí. Ýòî îòêðûòèå ÿâèëîñü ïîâîðîòíûì ïóíêòîì â èñòîðèè àíòè÷íîé ìàòåìàòèêè.
Ïî ïîâîäó ýòîãî îòêðûòèÿ Àðèñòîòåëü ãîâîðèë, ÷òî Ïèôàãîð ïîêàçàë, ÷òî åñëè áû äèàãîíàëü êâàäðàòà áûëà áû ñîèçìåðèìà ñ åãî ñòîðîíîé, òî ÷åòíîå ðàâíÿëîñü áû íå÷åòíîìó.