Íàèáîëüøóþ èçâåñòíîñòü ïðèîáðåë ïàðàäîêñ, îòêðûòûé Á. Ðàññåëîì â 1902 ãîäó è îïóáëèêîâàííûé èì â 1903 ãîäó. Ýòîò ïàðàäîêñ îòêðûë è Ý. Öåðìåëî, íî â ïå÷àòè åãî íå îïóáëèêîâàë.
Парадокс Рассела.
Î íåêîòîðûõ ìíîæåñòâàõ ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îíè ñîäåðæàò ñåáÿ â êà÷åñòâå ñâîåãî ýëåìåíòà; òàêîâî, íàïðèìåð, ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ. Ðàñïðåäåëèì âñå âîçìîæíûå ìíîæåñòâà íà äâà êëàññà. Ê ïåðâûì îòíåñåì òå ìíîæåñòâà, êîòîðûå íå ñîäåðæàò ñåáÿ â êà÷åñòâå ñâîèõ ýëåìåíòîâ. Êî âòîðîìó îòíåñåì âñå îñòàëüíûå, ò. å. êîòîðûå ñîäåðæàò ñåáÿ â êà÷åñòâå ñâîèõ ýëåìåíòîâ. Ðàññìîòðèì ïåðâûé êëàññ ìíîæåñòâ. Ýòîò êëàññ ìíîæåñòâ â ñâîþ î÷åðåäü ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ìíîæåñòâîì N, à ïîòîìó ïðèíàäëåæèò ê ïåðâîìó èëè êî âòîðîìó êëàññó.
Äîïóñòèì, ÷òî ìíîæåñòâî N ïðèíàäëåæèò ê ïåðâîìó êëàññó. Ïåðâûé êëàññ — ýòî êëàññ ìíîæåñòâ, êàæäîå èç êîòîðûõ íå ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Íî åñëè N ïðèíàäëåæèò ê ïåðâîìó êëàññó, òî òàê êàê ìíîæåñòâî N åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ ïåðâîãî êëàññà, îíî äîëæíî ñîäåðæàòü è ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Èòàê, åñëè ìíîæåñòâî N íå ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà, òî îíî ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà, ñëåäîâàòåëüíî íåëüçÿ ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìíîæåñòâî N ïðèíàäëåæèò ê ïåðâîìó êëàññó.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ìíîæåñòâî N ïðèíàäëåæèò êî âòîðîìó êëàññó, ò. å. ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Íî ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà N ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ìíîæåñòâà, íå ñîäåðæàùèå ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè N ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà, òî N íå ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Ìû îïÿòü ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ è âûíóæäåíû ïðèçíàòü, ÷òî ìíîæåñòâî N íå ìîæåò íè ïðèíàäëåæàòü, íè íå ïðèíàäëåæàòü ê ïåðâîìó êëàññó.
 íàøå âðåìÿ èçâåñòíû è äðóãèå ïàðàäîêñû.
Ñ íà÷àëà XX âåêà è äî íàøèõ äíåé íå ïðåêðàùàþòñÿ ïîïûòêè ïðåîäîëåòü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ïîñòðîåíèåì è ïàðàäîêñàìè òåîðèè ìíîæåñòâ. Óñòàíîâëåííûå â ýòîì íàïðàâëåíèè ðåçóëüòàòû íå ïîëó÷èëè, îäíàêî, âñåîáùåãî ïðèçíàíèÿ. Åñëè è ìîæíî ãîâîðèòü î öåííûõ ðåçóëüòàòàõ, çäåñü íàéäåííûõ, òî â ïåðâóþ î÷åðåäü â ñâÿçè ñ ðàçëè÷íûìè âàðèàíòàìè àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ.
Âïåðâûå àêñèîìàòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå òåîðèè ìíîæåñòâ îñóùåñòâèë Ý. Öåðìåëî â 1908 ãîäó. Âïîñëåäñòâèè àêñèîíîìàòèêà Öåðìåëî áûëà äîïîëíåíà è âèäîèçìåíåíà â ðàáîòàõ À. Ôðåíêåëÿ (1922, 1925), Ò. Ñêîëåìà (1922-1923, 1929), Äæ. Íåéìàíà (1925, 1928), Ï. Áåðíàéñà (1937-1954) è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ. Òàê, Ôðåíêåëü äîïîëíèë àêñèîíîìàòèêó Öåðìåëî îäíîé àêñèîìîé, ïîñëå ÷åãî ïîëó÷èëàñü íîâàÿ ñèñòåìà àêñèîì — å¸ íàçâàëè ñèñòåìîé Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ — áîëåå ñèëüíàÿ, ÷åì èñõîäíàÿ ñèñòåìà àêñèîì Öåðìåëî.  îòëè÷èå îò ñèñòåìû Öåðìåëî, îáîçíà÷àåìîé îáû÷íî áóêâîé Z, ñèñòåìó Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ îáîçíà÷àþò äâóìÿ áóêâàìè: ZF. Ñ ïîìîùüþ ZF ìîæíî ïîëó÷èòü ðÿä ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ, íå äîêàçóåìûõ ñ ïîìîùüþ Z.