Öåðìåëî ñôîðìóëèðîâàë ñèñòåìó àêñèîì, â êîòîðîé îïèñàë íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ. Îñòàëüíûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ, óñòàíîâëåííûå â òåîðèè ìíîæåñòâ Êàíòîðà, Öåðìåëî ïûòàëñÿ âûâåñòè èç ñâîèõ àêñèîì.
Îñíîâíîé çàìûñåë Öåðìåëî ñîñòîÿë â òîì, ÷òîáû îãðàíè÷èòü îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ àêñèîíîìàòèêè Z òîëüêî òàêèìè ìíîæåñòâàìè, ðàññìîòðåíèå êîòîðûõ íå ïðèâîäèò ê ïàðàäîêñàì. Âïîñëåäñòâèè, ïðè ðàçðàáîòêå íîâûõ âàðèàíòîâ àêñèîíîìàòèêè òåîðèè ìíîæåñòâ, ýòà îãðàíè÷èòåëüíàÿ òåíäåíöèÿ ïîëó÷èëà âñåîáùåå ïðèçíàíèå. Ïîçâîëèòåëüíî, îäíàêî, äóìàòü, ÷òî â îäíîì ñóùåñòâåííîì ïóíêòå îíà íå îòâå÷àåò îñíîâíûì óñòàíîâêàì è çàìûñëó ñàìîãî Ã. Êàíòîðà. Êàíòîð ñòðåìèëñÿ ðàçâèòü òåîðèþ ìíîæåñòâ âî âñåé îáùíîñòè, êàê òåîðèþ, îòíîñÿùóþñÿ ê ëþáûì ìíîæåñòâàì; íàçâàííàÿ îãðàíè÷èòåëüíàÿ òåíäåíöèÿ áûëà äëÿ íåãî ñîâåðøåííî ÷óæäîé.
Åñëè ïðèíÿòü ñèñòåìó Z, òî â íåêîòîðûõ ñóùåñòâåííûõ ïóíêòàõ òåîðèÿ ìíîæåñòâ Êàíòîðà ïîëó÷èò äîñòàòî÷íîå îáîñíîâàíèå. Îáóñëîâëèâàåòñÿ ýòî ñëåäóþùèìè ïðè÷èíàìè.  ñèñòåìå Öåðìåëî èìååòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ àêñèîìà âûáîðà (ðàíüøå å¸ îáû÷íî íàçûâàëè ïðîñòî àêñèîìîé Öåðìåëî: â äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì íàçûâàòü å¸ èìåííî òàê):
Åñëè äàíî ìíîæåñòâî Ì, ñîñòîÿùåå èç ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è áåç îáùèõ ýëåìåíòîâ, òî èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N ìîæíî âûáðàòü ïî îäíîìó ýëåìåíòó; ñîâîêóïíîñòü âûáðàííûõ ýëåìåíòîâ îáðàçóåò íîâîå ìíîæåñòâî Ð.
Âïîñëåäñòâèè îðòîäîêñàëüíûå ïîñëåäîâàòåëè Ã. Êàíòîðà íåðåäêî èçìåíÿëè ôîðìóëèðîâêó àêñèîìû Öåðìåëî òàê, ÷òî îíà ñòàíîâèëàñü óòâåðæäåíèåì ñóùåñòâîâàíèÿ: Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà Ì ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è íå èìåþùèõ îáùèõ ýëåìåíòîâ, ñóùåñòâóåò (ïî êðàéíåé ìåðå îäíî) ìíîæåñòâî Ð, ñîäåðæàùåå ïî îäíîìó è òîëüêî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N.
Óòâåðæäåíèå ñóùåñòâîâàíèÿ ìíîæåñòâà Ð ïîíèìàëîñü, êîíå÷íî, â ñìûñëå Êàíòîðà.
Îïèðàÿñü íà ýòó àêñèîìó Öåðìåëî äîêàçàë, ÷òî âñÿêîå ìíîæåñòâî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â ôîðìå âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà, ò. å., ÷òî ìîùíîñòü ëþáîãî ìíîæåñòâà åñòü àëåîð. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, ýòîò ôàêò îáåñïå÷èâàåò âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ àðèôìåòèêè êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë ïî÷òè âî âñåé îáùíîñòè. Äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî àêñèîìà Öåðìåëî ïîçâîëÿåò ðåøèòü â óòâåðäèòåëüíîì ñìûñëå ïðîáëåìó òðèõîòîìèè è äàåò îáîñíîâàíèå òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè. Òîëüêî ãèïîòåçà êîíòèíóóìà îñòàâàëàñü ïî ïðåæíåìó çàãàäêîé. Öåðìåëî ìîã óòâåðæäàòü, ÷òî ìîùíîñòü êîíòèíóóìà åñòü àëåîð, íî êàêîå ìåñòî íà øêàëå àëåîðîâ çàíèìàåò Ñ — ýòî îñòàâàëîñü íåèçâåñòíûì. Ê ýòîìó ìîæíî òîëüêî ïðèáàâèòü, ÷òî äîêàçàòåëüñòâà ýêâèâàëåíòíîñòè äðóã äðóãó íåêîòîðûõ ôîðì ãèïîòåçû êîíòèíóóìà òàêæå îïèðàþòñÿ íà àêñèîìó Öåðìåëî.
Áîëåå äåñÿòè ëåò ñ ìîìåíòà îïóáëèêîâàíèÿ ìåìóàðîâ Öåðìåëî ïðèëîæåíèÿ àêñèîìû âûáîðà îãðàíè÷èâàëèñü îáëàñòüþ òåîðèè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî. Êðîìå óêàçàííûõ, ìîæíî, íàïðèìåð, óïîìÿíóòü ïðèëîæåíèÿ ýòîé àêñèîìû â òåîðèè òî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ è, â ÷àñòíîñòè, â òåîðèè èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.