Три кризиса в развитии математики (стр. 25 из 27)
 20-õ è 30-õ ãîäàõ ÕÕ âåêà ïîëå ïðèëîæåíèÿ àêñèîìû Öåðìåëî çíà÷èòåëüíî ðàñøèðèëîñü. Ìîæíî, íàïðèìåð, óêàçàòü íà èññëåäîâàíèÿ Áèðêãîôà ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, â êîòîðûõ îí ïðèìåíÿë òðàíñôèíèòíóþ èíäóêöèþ. Îñîáåííî âàæíî óêàçàòü íà òåîðèþ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, êîòîðóþ Æ. Àäàìàð â íà÷àëå 30-õ ãîäîâ íàçûâàë íàèáîëåå ñèëüíûì ìåòîäîì èññëåäîâàíèÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ðàçâèâàåòñÿ íà áàçå îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ è ïîëüçóåòñÿ àêñèîìîé Öåðìåëî äëÿ óñòàíîâëåíèÿ íåêîòîðûõ âàæíåéøèõ ñâîèõ ïðåäëîæåíèé. Øèðîêîå ïîëå äëÿ ïðèìåíåíèÿ àêñèîìû Öåðìåëî äàëè àëãåáðà è òîïîëîãèÿ.
Ñâîåîáðàçèå àêñèîìû Öåðìåëî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà íå òîëüêî ÿâëÿåòñÿ îðóäèåì îòûñêàíèÿ íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ è ïðèäàåò èçâåñòíóþ îáùíîñòü ó÷åíèþ î ìíîæåñòâàõ, íî è óñóãóáëÿåò òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè.
Îäíà èç òðóäíîñòåé ñîñòîèò â òîì, ÷òî, ðàññìàòðèâàÿ âïîëíå îïðåäåëåííûå (â ñìûñëå Êàíòîðà) ìíîæåñòâà, ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ìîæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâ, íåîïðåäåëèìûõ â ñìûñëå Êàíòîðà. Âîò ïðèìåð.
Ðàññìîòðèì âñå ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî õ, îïðåäåëåííûå íà ñåãìåíòå [0, 1] è íå ðàâíûå íà ýòîì ñåãìåíòå òîæäåñòâåííî íóëþ. Ðàçäåëèì ýòè ôóíêöèè íà ïàðû, îòíîñÿ â îäíó ïàðó òàêèå äâå ôóíêöèè, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêîì, ò. å. ôóíêöèè f(x)ï–f(x). Ïî àêñèîìå Öåðìåëî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî Ð, âêëþ÷àþùåå ïî îäíîé è òîëüêî îäíîé ôóíêöèè êàæäîé ïàðû. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî àêñèîìå Öåðìåëî, ìîæíî óòâåðæäàòü ñóùåñòâîâàíèå Ð ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî õ, îïðåäåëÿåìûõ íà ñåãìåíòå [0, 1] è íå ðàâíûõ íà ýòîì ñåãìåíòå òîæäåñòâåííî íóëþ, òàêîãî, ÷òî
à) êàêîâû áû íè áûëè ôóíêöèè f1è f2 ìíîæåñòâà Ð, âñåãäà
;á) êàêîâà áû íè áûëà ôóíêöèÿ j(õ), îïðåäåëåííàÿ íà ñåãìåíòå [0, 1] è íå ðàâíàÿ íà íåì òîæäåñòâåííî íóëþ, ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ôóíêöèÿ f ìíîæåñòâà Ð, òàêàÿ, ÷òî ëèáî f+j=0, ëèáî f–j=0 äëÿ ëþáîãî õ,
.Îäíàêî ìíîæåñòâî Ð íå îïðåäåëåíî â ñìûñëå Êàíòîðà, òàê êàê ìû íå ìîæåì ñêàçàòü î ëþáîé ôóíêöèè j(õ), ïîä÷èíÿþùåéñÿ âûñòàâëåííûì óñëîâèÿì, ïðèíàäëåæèò ëè îíà Ð èëè íå ïðèíàäëåæèò.
Äðóãàÿ òðóäíîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ÷àñòî âîçìîæíî îïðåäåëèòü êëàññ ìíîæåñòâ, â òî âðåìÿ êàê íè îäíîãî îáúåêòà èç ýòîãî êëàññà îïðåäåëèòü (ðàçëè÷èòü) íå óäàåòñÿ. Íàïðèìåð, ñîãëàñíî àêñèîìå Öåðìåëî ñóùåñòâóåò êëàññ íåèçìåðèìûõ ìíîæåñòâ. Îäíàêî äî ñèõ ïîð íèêòî íå ñìîã ïîñòðîèòü (äàòü) èíäèâèäóàëüíîãî ïðèìåðà íåèçìåðèìîãî ìíîæåñòâà.
5. Проблема существования в математике
 êîíöå XIX è íà÷àëå ÕÕ âåêà èññëåäîâàíèÿ ïî âîïðîñàì îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè èìåëè ïðåèìóùåñòâåííî ïðåîäîëåíèå ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ òðóäíîñòåé.
Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà â ýòî âðåìÿ ôóíäàìåíòîì ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — îñíîâîé ìåòîäîâ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí. Âìåñòå ñ òåì ñàìà òåîðèÿ ìíîæåñòâ îêàçàëàñü íåîáîñíîâàííîé â ðÿäå ðåøàþùèõ ïóíêòîâ (ãèïîòåçà êîíòèíóóìà, ïðîáëåìà óïîðÿäî÷èâàíèÿ).