Три кризиса в развитии математики (стр. 26 из 27)
 òåîðèè ìíîæåñòâ áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè), óñòðàíåíèå êîòîðûõ — êàê ïîêàçàëè èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòèêîâ è ëîãèêîâ, íà÷èíàÿ ñ Ðàññåëà — îêàçàëîñü îòíþäü íå ïðîñòûì äåëîì.
Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ îêàçàëèñü èìåþùèìè íå òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêóþ, íî è ëîãè÷åñêóþ ïðèðîäó; â ýòîé ñâÿçè åñòåñòâåííî âîçíèê âîïðîñ î ñðåäñòâàõ ëîãèêè, äîïóñòèìûõ â ìàòåìàòèêå.
Ýòè òðóäíîñòè ïîñòàâèëè ïåðåä ìàòåìàòèêàìè ïðîáëåìó ïîíèìàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â ïðèìåíåíèè ê ìàòåìàòè÷åñêèì îáúåêòàì.
×òîáû ëó÷øå óÿñíèòü ñìûñë ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, óñòàíîâè ñíà÷àëà ðàçëè÷èå ìåæäó òàê íàçûâàåìûìè ýôôåêòèâíûìè è íåýôôåêòèâíûìè äîêàçàòåëüñòâàìè ñóùåñòâîâàíèÿ. Ýòè ðàçëè÷èÿ ìû ïîñòàðàåìñÿ îïèñàòü ñîîòâåòñòâåííî ïðåäñòàâëåíèÿì, ãîñïîäñòâîâàâøèõ â ìàòåìàòèêå ïðèìåðíî äî êîíöà 20-õ — íà÷àëà 40-õ ãîäîâ ÕÕ âåêà.
Äîêàæåì, ÷òî êàêîâû áû íè áûëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà Ð1, …, Ðï, ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî Ð, âçàèìíî ïðîñòîå ñ êàæäûì èç ýòèõ ÷èñåë. Ðàññìîòðèì ÷èñëî Ð=Ð1*…*Ðï+1; ïðè äåëåíèè íà ëþáîå èç ÷èñåë Ð1, …, Ðï ýòî ÷èñëî äàåò â îñòàòêå 1. Ñëåäîâàòåëüíî, îíî âçàèìíî ïðîñòîå ñ êàæäûì èç ÷èñåë Ð1, …, Ðï. Èòàê, ÷èñëî Ð ñóùåñòâóåò.
Ýòî äîêàçàòåëüñòâî ýôôåêòèâíî. Ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå ÷èñëà Ð òåì, ÷òî ïîêàçàëè, êàê ñ ïîìîùüþ îáû÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàéòè ýòî ÷èñëî. Ê ÷èñëó ýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ îòíîñÿòñÿ òàêæå äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóë äëÿ ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ñòåïåíåé, äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè è ò. ï. Ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, ñ÷èòàþòñÿ îáîñíîâàííûìè ñîîòâåòñòâóþùèå àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, àðèôìåòèêà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è îïåðàöèÿ ïåðåõîäà ê ïðåäåëó.
Âîîáùå âñÿêîå ýôôåêòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî òåì è õàðàêòåðèçóåòñÿ, ÷òî ñ ïîìîùüþ òàê èëè èíà÷å îáîñíîâàííûõ ïîñûëîê îíî ïîçâîëÿåò èíäèâèäóàëüíî îõàðàêòåðèçîâàòü (âû÷èñëèòü, ïîñòðîèòü è ò. ï.) îáúåêò, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî äîêàçûâàþò.
Ðàññìîòðèì òåïåðü äðóãîé ïðèìåð. ÷èñëî íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êàêîãî-ëèáî àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. Íàïðèìåð, ÷èñëî
àëãåáðàè÷åñêîå, ò. ê. îíî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ õ2–2=0. Íàïðîòèâ, ÷èñëî, íå óäîâëåòâîðÿþùåå íèêàêîìó àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, íàçûâàåòñÿ òðàíñöåíäåíòíûì ÷èñëîì. Äîêàæåì, ñëåäóÿ Êàíòîðó, ñóùåñòâîâàíèå òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë. Èçâåñòíî, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë ñ÷¸òíî, â òî âðåìÿ êàê ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íåñ÷¸òíî. Åñëè áû òðàíñöåíäåíòíûå ÷èñëà íå ñóùåñòâîâàëè, êàæäîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî áûëî áû àëãåáðàè÷åñêèì è, ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë áûëî áû ñ÷åòíûì. ÷òîáû èçáåæàòü ïðîòèâîðå÷èÿ îñòàåòñÿ ïðèíÿòü, ÷òî òðàíñöåíäåíòíûå ÷èñëà ñóùåñòâóþò, õîòü äîêàçàòåëüñòâî íå äàåò íàì íè îäíîãî ïðèìåðà òðàíñöåíäåíòíîãî ÷èñëà. Ýòî ïðèìåð íåýôôåêòèâíîãî äîêàçàòåëüñòâà.  íåýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâàõ ñóùåñòâîâàíèÿ (îñíîâàííûå, íàïðèìåð, íà ïðèíöèïå èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî) íå äàåòñÿ íèêàêîãî ïðèìåðà îáúåêòîâ, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðûõ äîêàçûâàåòñÿ.