Три кризиса в развитии математики (стр. 5 из 27)
“Ахиллес и черепаха”. Ìåäëåííûé â áåãå íèêîãäà íå áóäåò ïåðåãíàí áûñòðûì, ïîòîìó ÷òî òîò, êòî ïðåñëåäóåò, äîëæåí ñíà÷àëà äîñòè÷ü òî÷êè, èç êîòîðîé íà÷àë óáåãàþùèé, òàê ÷òî óáåãàþùèé âñåãäà áóäåò íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè âïåðåäè.
Çàñëóãà Çåíîíà Ýëåéñêîãî â ðàçâèòèè ôèëîñîôèè è ìàòåìàòèêè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí âûÿâèë ðåàëüíóþ ïðîòèâîðå÷èâîñòü âðåìåíè, äâèæåíèÿ è ïðîñòðàíñòâà, à çíà÷èò è áåñêîíå÷íîñòü. Â. È. Ëåíèí ïèñàë, ÷òî Çåíîí íå îòðèöàë ÷óâñòâåííóþ äîñòîâåðíîñòü äâèæåíèÿ; åãî èíòåðåñîâàë âîïðîñ, êàê âûðàçèòü ñóùíîñòü äâèæåíèÿ â ëîãèêå ïîíÿòèé.
Îäíàêî, Çåíîí ïîñëåäíþþ çàäà÷ó íå ðåøèë, íå ðåøèëè å¸ è äðóãèå ó÷åíûå äðåâíåé Ãðåöèè.
3. Три знаменитых задачи древности
 ðàçâèòèè ñîäåðæàíèÿ è ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè äðåâíåé Ãðåöèè âûäàþùóþñÿ ðîëü ñûãðàëè òðè çàäà÷è: òðèñåêöèÿ óãëà, óäâîåíèå êóáà (äåëèéñêàÿ çàäà÷à) è êâàäðàòóðà êðóãà.
Ïðîáóæäåíèå îñîáîãî èíòåðåñà ê ýòèì çàäà÷àì èìåííî â äðåâíåé Ãðåöèè íå ñëó÷àéíî. Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòèêè êàê äåäóêòèâíîé ñèñòåìû, áàçèðóþùåéñÿ íà ãåîìåòðè÷åñêîì ôóíäàìåíòå äâå ïåðâûå çàäà÷è ïîÿâëÿþòñÿ êàê åñòåñòâåííûå îáîáùåíèÿ áîëåå ýëåìåíòàðíûõ çàäà÷. Çàäà÷à î êâàäðàòóðå êðóãà áûëà ïîëó÷åíà “ïî íàñëåäñòâó” îò äðåâíèõ åãèïòÿí è âàâèëîíÿí.
Трисекция угла. Äàí ÐÀÂÑ, òðåáóåòñÿ ðàçäåëèòü åãî íà òðè ðàâíûå ÷àñòè. Ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è îòíîñèòñÿ ê ëþáîìó óãëó è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì çàäà÷è î äåëåíèè äàííîãî óãëà íà äâå ðàâíûå ÷àñòè.
 Ðèñ. 2 |
Удвоение куба. Ïîñòðîèòü êóá, îáúåì êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå îáúåìà äàííîãî êóáà. Ïîñòðîèòü êâàäðàò, ïëîùàäü êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå ïëîùàäè äàííîãî êâàäðàòà. Åñëè ñòîðîíà äàííîãî êâàäðàòà à, à èñêîìîãî õ, òî õ2=2à2;
. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòîðîíà èñêîìîãî êâàäðàòà ðàâíà äèàãîíàëè äàííîãî. Îòñþäà îñóùåñòâèìîñòü ïîñòðîåíèÿ öèðêóëåì è ëèíåéêîé èñêîìîãî êâàäðàòà AA`CC` (ðèñ. 2).Âïîëíå åñòåñòâåííî áûëî ïåðåéòè îò ýòîé çàäà÷è íà ïëîñêîñòè ê ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è â ïðîñòðàíñòâå: ïîñòðîèòü êóá, îáúåì êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå îáúåìà äàííîãî êóáà.
Квадратура круга. Ïîñòðîèòü êâàäðàò, ïî ïëîùàäè ðàâíûé äàííîìó êðóãó.
Íè îäíà èç óêàçàííûõ çàäà÷ íå ðàçðåøèìà öèðêóëåì è ëèíåéêîé.
4. Преодоление кризиса основ
древнегреческой математики
Ïèôàãîðåéöû çàëîæèëè îñíîâû ãåîìåòðè÷åñêîé àëãåáðû. Òåýòåò è Åâêëèä óñòàíîâèëè êëàññèôèêàöèþ êâàäðàòè÷íûõ èððàöèîíàëüíîñòåé.
Åâäîïñ ðàçâèë îáùóþ òåîðèþ ïðîïîðöèé — ãåîìåòðè÷åñêèé ýêâèâàëåíò òåîðèè ïîëîæèòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë — è ðàçðàáîòàë ìåòîä èñ÷åðïûâàíèÿ — çà÷àòî÷íóþ ôîðìó òåîðèè ïðåäåëîâ, îñíîâàííóþ íà ãåîìåòðè÷åñêîé áàçå. Ýòè òåîðèè ñîçäàëè ïðî÷íûé êàðêàñ çäàíèÿ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè, ôóíäàìåíòîì êîòîðîãî áûëà ãåîìåòðèÿ; òåì ñàìûì ïðåîäîëåâàëèñü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ôàêòîì ñóùåñòâîâàíèÿ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí.
×òîáû èçáåæàòü òðóäíîñòåé â îáîñíîâàíèè ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííûõ ñ ïàðàäîêñàìè áåñêîíå÷íîñòè (Çåíîí, Àðèñòîòåëü), áîëüøèíñòâî ó÷åíûõ äðåâíåé Ãðåöèè ïðåäïî÷ëè îòêàçàòüñÿ îò èñïîëüçîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå èäåé áåñêîíå÷íîñòè è äâèæåíèÿ èëè ñâåñòè èõ ïðèìåíåíèå ê ìèíèìóìó.  êà÷åñòâå òàêîãî ìèíèìóìà áûëî ïðèíÿòî óòâåðæäåíèå î íåîãðàíè÷åííîé äåëèìîñòè ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí.