Три кризиса в развитии математики (стр. 7 из 27)
Èíà÷å ãîâîðÿ, â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïðèíöèïû è óòâåðæäåíèÿ “íèçøåé” ìàòåìàòèêè ìåòàôèçè÷åñêè àáñîëþòèçèðîâàëèñü, ðàññìàòðèâàëèñü êàê íåçûáëåìûé ôóíäàìåíò êàæäîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè.
 êîíöå XVII è îñîáåííî â ïåðâûõ òðåõ ÷åòâåðòÿõ XVIII âåêà îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû, óñòàíîâëåííûå â îäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ÷àñòî ïåðåíîñèëèñü â íîâûå îáëàñòè èññëåäîâàíèÿ, ñîâåðøåííî ôîðìàëüíî, ò. å. áåç îáîñíîâàíèÿ.
Çàêîíû àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ôîðìèðîâàëèñü áåç óêàçàíèÿ ïåðåìåííûõ, äëÿ êîòîðûõ îíè ñïðàâåäëèâû, è áåç óêàçàíèÿ ãðàíèö èõ ïðèìåíèìîñòè. Òàêàÿ òðàêòîâêà çàêîíîâ àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, åñòåñòâåííî, ðàñïðîñòðàíÿëàñü è íà îñíîâûâàþùèåñÿ íà íèõ àëãîðèòìû.
Ê ñåðåäèíå XVIII âåêà îïèñàííàÿ òðàêòîâêà çàêîíîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è àëãåáðû ñòàëà íàñòîëüêî îáùåïðèíÿòîé, ÷òî Ë. Ýéëåð ñ÷åë âîçìîæíûì èñòîëêîâàòü å¸ êàê îñíîâíîé ïðèíöèï ìåòîäîëîãèè àíàëèçà âîîáùå. Ñëó÷èëîñü ýòî ïðè ñëåäóþùèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ.
 íà÷àëå XVIII âåêà ìåæäó Ëåéáíèöåì è È. Áåðíóëëè âîçíèê ñïîð î “ïðèðîäå” ëîãàðèôìîâ îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë. È. Áåðíóëëè ïîëàãàë, ÷òî ïðè õ>0, ln(–x)=ln x, òàê êàê
.Ëåéáíèö íå ñîãëàñèëñÿ ñ È. Áåðíóëëè; îí óòâåðæäàë, ÷òî îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ëîãàðèôìîâ, ïðè÷åì âñå îíè — ÷èñëà êîìïëåêñíûå. Ñðåäè äðóãèõ ñâîèõ àðãóìåíòîâ Ëåéáíèö óêàçàë, ÷òî ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ln x, óñòàíîâëåííîå äëÿ õ>0, íå îáÿçàòåëüíî äîëæíî áûòü ñïðàâåäëèâûì è äëÿ ln(–x).
Ïðè ïîìîùè îñîáîé àðãóìåíòàöèè Ë. Ýéëåð ðåøèë ñïîð â ïîëüçó Ëåéáíèöà. Îäíàêî óêàçàííûé àðãóìåíò Ëåéáíèöà Ýéëåð ðåøèòåëüíî îòêëîíèë. “Ýòî âîçðàæåíèå,— óêàçûâàë Ýéëåð,— åñëè áû îíî áûëî âåðíî, ïîêîëåáàëî áû îñíîâíîå ïîëîæåíèå âñåãî àíàëèçà, çàêëþ÷àþùååñÿ, â îñíîâíûõ ÷åðòàõ, â îáùíîñòè ïðàâèë è îïåðàöèé, ïðèçíàâàåìûõ ñïðàâåäëèâûìè, êàêîâà áû íè áûëà ïðèðîäà êîëè÷åñòâ, ê êîòîðûì îíè ïðèëàãàþòñÿ”.
Êàê ìû âèäèì, ïîäõîä ìàòåìàòèêîâ â XVIII âåêå ê âûÿñíåíèþ ãðàíèö ïðèëîæèìîñòè ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè è òðàêòîâêà å¸ ïðèíöèïîâ áûëè ÿâíî ìåòàôèçè÷åñêèìè.
 XVIII âåêå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íåðåäêî ïðîâîäèëè, îïèðàÿñü íà ãîñïîäñòâîâàâøèå òîãäà ìåõàíè÷åñêèå è ãåîìåòðè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ. Íà÷àëî øèðîêîìó èñïîëüçîâàíèþ ìåõàíè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé êàê áàçû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïîëîæèë Íüþòîí â ñâîåì ó÷åíèè î ôëþåíòàõ è ôëþêñèÿõ. ×òî æå êàñàåòñÿ óêàçàííîãî èñïîëüçîâàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, òî ïðîùå âñåãî âûÿñíèòü ñóòü äåëà íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.
 íàøå âðåìÿ òåîðåìà î ïðîõîæäåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ÷åðåç íóëåâîå çíà÷åíèå äîêàçûâàåòñÿ â êëàññè÷åñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ÷èñòî àíàëèòè÷åñêè ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîíÿòèÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà.  XVIII âåêå åñëè ýòà òåîðåìà è äîêàçûâàëàñü, òî ÷àùå âñåãî óêàçàíèåì íà òî, ÷òî íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ f(x), ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè À è Â, ðàñïîëîæåííûå â ïëîñêîñòè ïî ðàçíûå ñòîðîíû îñè ÎÕ, ñóùåñòâóåò ïî ìåíüøåé ìåðå îäíà òî÷êà ñ àáñöèññîé õ=ñ, a<c<b, äëÿ êîòîðîé f(ñ)=0 (ðèñ. 3).