Три кризиса в развитии математики (стр. 8 из 27)
Ðèñ. 3
Ïîäîáíîãî ðîäà ãåîìåòðèçàöèÿ íåðåäêî âñòðå÷àëàñü â ðóêîâîäñòâàõ ïî àëãåáðå è àðèôìåòèêå.
Íàïðèìåð, äîêàçàòåëüñòâî çàêîíà ïåðåìåñòèòåëüíîñòè ab=ba, ÿêîáû âåðíîãî äëÿ ëþáûõ ÷èñåë è âåëè÷èí, îáû÷íî ñâîäèëè íà äâà ðàâíûõ, íî ðàçëè÷íî ðàñïîëîæåííûõ ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 4).
Ðèñ. 4
Ýéëåð è äðóãèå ìàòåìàòèêè XVIII âåêà çàäàâàëè ôóíêöèþ îäíèì àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì è îò ýòîãî àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ å¸ íå îòäåëÿëè. Ïðè ýòîì, ïîä àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîíèìàëîñü âûðàæåíèå, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü, ñâÿçûâàÿ ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè (àëãåáðàè÷åñêèå è íåêîòîðûå òðàíñöåíäåíòàëüíûå, îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ) ïîñðåäñòâîì ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ, ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñ÷èòàëè, ÷òî çàäàíèå ôóíêöèè íà ëþáîì ïðîìåæóòêå îïðåäåëÿåò å¸ ïîâåäåíèå íà âñåé îñè ÎÕ. Ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿëàñü êðèâîé, ÷àñòè êîòîðîé çàâèñÿò äðóã îò äðóãà è êîòîðóþ ìîæíî çàäàòü îäíèì àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì óêàçàííîãî âèäà. Òàêèå ôóíêöèè ñ÷èòàëè íåïðåðûâíûìè (â ñìûñëå Ýéëåðà), íàçûâàëèñü ïðàâèëüíûìè. Ïðåäñòàâëåííàÿ íà ÷åðòåæå (ðèñ. 5) íåïðåðûâíàÿ â ñîâðåìåííîì ñìûñëå ôóíêöèÿ ó=|õ| â ñìûñëå Ýéëåðà íå áûëà íåïðåðûâíîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè èñïîëüçîâàòü çàïàñ ôóíêöèé, ñ êàêèì ðàáîòàëè â XVIII âåêå, òî ýòà ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü çàäàíà äâóìÿ ôîðìóëàìè:
f(x)=x, 0£x;
f(x)=–x, x£0.
Ðèñ. 5
Âìåñòå ñ äðóãèìè ìàòåìàòèêàìè XVIII âåêà Ýéëåð ñ÷èòàë, ÷òî òàêîå òîëêîâàíèå ôóíêöèè è å¸ íåïðåðûâíîñòè äîñòàòî÷íû äëÿ èíòåãðàëüíîãî è äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ è òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Íî âîïðåêè èì îí ïîëàãàë âîçìîæíûì ðàññìàòðèâàòü â òåîðèè óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè è ôóíêöèè, çàäàíèå êîòîðûõ íà îòðåçêå íå îïðåäåëÿåò èõ ïîâåäåíèÿ â öåëîì, ò. å. â åãî òåðìèíàõ ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè. Ýéëåð òðàêòîâàë íåïðåðûâíîñòü òàêèõ ôóíêöèé â ñîâðåìåííîì ñìûñëå è íàçûâàë èõ ñâÿçíûìè. Ê òàêîìó ðàñøèðåíèþ ïîíÿòèÿ ôóíêöèè Ýéëåð ïðèøåë â ñâÿçè ñ àíàëèçîì ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé (ñâîèõ è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ) î êîëåáëþùèõñÿ ñòðóíàõ.
Ðàññìàòðèâàÿ òîëüêî íåïðåðûâíîå è ìîíîòîííîå èçìåíåíèå ïåðåìåííûõ — â òî âðåìÿ òàê ïîñòóïàëè â ìåõàíèêå è ãåîìåòðèè,— Íüþòîí, Äàëàìáåð è íåêîòîðûå ìàòåìàòèêè XVIII âåêà òîëêîâàëè ïðåäåë òîëüêî êàê òî, ÷òî ïîðîæäàåòñÿ ïåðåìåííîé, ôàêòè÷åñêè êàê ïîñëåäíåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé èëè êàê ïîñëåäíåå îòíîøåíèå ïåðåìåííûõ. Âîïðîñ, äîñòèãàåò ëè ïåðåìåííàÿ ýòîãî ñâîåãî ïîñëåäíåãî çíà÷åíèÿ, èëè ìîæåò ïîäîéòè ê íåìó êàê óãîäíî áëèçêî, íèêàêîé ðîëè íå èãðàåò.  ïðàêòèêå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïðåäåë äåéñòâèòåëüíî èçâëåêàëñÿ èç ïåðåìåííîé êàê å¸ ïîñëåäíåå çíà÷åíèå, êîòîðîå îíà ïðèíèìàåò èëè ìîæåò ïðèíÿòü.  êîíöå XVIII âåêà Ëàçàð Êàðíî íàçûâàåò ïðåäåëîì ïîñëåäíåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, êîòîðàÿ ê íåìó ïðèáëèæàåòñÿ. Äàæå â 40-õ ãîäàõ ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ Â. Â. Áóíèêîâñêèé ñ÷èòàë çàäà÷åé äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ “óëîâèòü îòíîøåíèÿ èçìåíÿþùèõñÿ ïî èçâåñòíîìó çàêîíó âåëè÷èí â òî ñàìîå ìãíîâåíèå, êîãäà ýòè âåëè÷èíû èñ÷åçàþò”, ò. å. óëîâèòü ïîñëåäíåå çíà÷åíèå îòíîøåíèÿ ïåðåìåííûõ. Êàê ìû óâèäèì ýòà óçêàÿ (íî âûäàâàåìàÿ çà âñåîáùóþ) òðàêòîâêà ïîíÿòèÿ ïðåäåëà ñûãðàëà îñîáî âàæíóþ ðîëü â ðàçâåðòûâàíèè òðóäíîñòåé îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà â XVIII è íà÷àëå XIX âåêà.