Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волна (стр. 2 из 5)

Волновое уравнение (1.1) имеет очень важное свойство, суть которого заключена в следующем. Оказалось, что если взять два любых решения этого уравнения, то их сумма снова будет решением этого же уравнения. Это свойство отражает принцип суперпозиции решений уравнения (1.1) и соответствует линейности явления, которое оно описывает. Для нелинейных моделей это свойство не выполняется, что приводит к существенным отличиям протекания процессов в соответствующих моделях. В частности, из выражения для скорости уединенной волны, которую наблюдал Рассел, следует, что ее значение зависит от амплитуды, а для волны, описываемой уравнением (1.1), такой зависимости нет.

Непосредственной подстановкой в уравнение (1.1) можно убедиться, что зависимость

u(x,t)=a cos(kx-wt) (1.3)

в которой а, kи w — постоянные, при w =±k является решением уравнения (1). В этом решении а — амплитуда, k — волновое число, а w — частота. Приведенное решение представляет собой монохроматическую волну, переносимую в среде с фазовой скоростью

c_p=

(1.4)

На практике монохроматическую волну создать трудно, и обычно имеют дело с цугом (пакетом) волн, в котором каждая волна распространяется со своей скоростью, а скорость распространения пакета характеризуется групповой скоростью

C_g=

, (1.5)

определяемой через производную от частоты w по волновому числу k.

Определить, с какой (линейной или нелинейной) моделью имеет дело исследователь, не всегда легко, но когда математическая модель сформулирована, то решение этого вопроса упрощается и выполнение принципа суперпозиции решений можно проверить.

Возвращаясь к волнам на воде, заметим, что их можно анализировать используя хорошо известные уравнения гидродинамики, о которых известно, что они нелинейны. Поэтому и волны на воде в общем случае являются нелинейными. Только в предельном случае малых амплитуд эти волны могут считаться линейными.

Отметим, что и распространение звука не во всех случаях описывается линейным уравнением. Еще Рассел при обосновании своих наблюдений по уединенной волне отметил, что звук от выстрела пушки распространяется в воздухе быстрее, чем команда произвести этот выстрел. Это объясняется тем, что распространение мощного звука описывается уже не волновым уравнением, а уравнениями газовой динамики.

2. Уравнение Кортевега - де Фриса

Окончательная ясность в проблеме, которая возникла после опытов Рассела по уединенной волне, наступила после работы датских ученых Д .Д. Кортевега и Г. де Фриса, которые попытались разобраться в существе наблюдений Рассела. Обобщив метод Рэлея, эти ученые в 1895 году вывели уравнение для описания длинных волн на воде. Кортевег и де Фрис, используя уравнения гидродинамики, рассмотрели отклонение и(х,t) от положения равновесия поверхности воды при отсутствии вихрей и при постоянстве плотности воды. Сделанные ими начальные приближения были естественны. Они также предположили, что при распространении волны выполняются два условия для безразмерных параметров

e=

<<1, d=

(2.1)

Здесь а — амплитуда волны, h — глубина бассейна, в котором рассматриваются волны, l — длина волны (рис. 1).

Суть приближений состояла в том, что амплитуда рассматриваемых волн была много меньше, чем

Рис. 1. Уединенная волна, распространяющаяся по каналу, и ее параметры

глубина бассейна, но в то же время длина волны была много больше, чем глубина бассейна. Таким образом, Кортевег и де Фрис рассматривали длинные волны.

Уравнение, которое было ими получено, имеет вид

u_t + 6uu_x + u_xxx = 0. (2.2)

Здесь u(x,t) - отклонение от положения равновесия поверхности воды (форма волны) - зависит от координаты xи времени t. Индексы у характеристики u означают соответствующие производные по t и по x. Это уравнение, как и (1), является уравнением в частных производных. Изучаемая характеристика у него (в данном случае u) зависит от пространственной координаты xи времени t.

Решить уравнение такого типа - значит найти зависимость uот x и t, после подстановки которой в уравнение мы придем к тождеству.

Уравнение (2.2) имеет волновое решение, известное с конца прошлого века. Оно выражается через специальную эллиптическую функцию, изученную Карлом Якоби, которая носит теперь его имя.

При некоторых условиях эллиптическая функция Якоби переходит в гиперболический секанс и решение имеет вид

u(x,t)=2k²ch^-2{k(x-4k²t)+j₀}, (2.3)

где j₀— произвольная постоянная.

Решение (8) уравнения (7) является предельным случаем бесконечно большого периода волны. Именно этот предельный случай является уединенной волной, соответствующей наблюдению Рассела в 1834 году.

Решение (8) уравнения Кортевега— де Фриса является бегущей волной. Это означает, что оно зависит от координаты xи времени tчерез переменную x=x-c₀t.Эта переменная характеризует положение точки координат, движущейся со скоростью волны с₀, то есть она обозначает положение наблюдателя, который постоянно находится на гребне волны. Таким образом, уравнение Кортевега— де Фриса в отличие от решения Д'Аламбера (1.2) волнового решения (1.1) имеет волну, распространяющуюся лишь в одном направлении. Однако оно учитывает проявление более сложных эффектов вследствие дополнительных слагаемых uu_x и u_xxx.

В действительности это уравнение является также приближенным, поскольку при его выводе использованы малые параметры (2.1) e иd. Если пренебречь влиянием этих параметров, устремляя их к нулю, мы получим одну из частей решения Д'Аламбера.

Конечно, при выводе уравнения для длинных волн на воде влияние параметров е и 6 может быть учтено более точно, но тогда получится уравнение, содержащее гораздо больше слагаемых, чем уравнение (2.2), и с производными более высокого порядка. Из сказанного следует, что решение уравнения Кортевега-де Фриса для описания волн справедливо только на определенном расстоянии от места образования волны и на определенном промежутке времени. На очень больших расстояниях нелинейные волны уже не будут описываться уравнением Кортевега-де Фриса, и для описания процесса потребуется более точная модель. Уравнение Кортевега-де Фриса в этом смысле следует рассматривать как некоторое приближение (математическую модель), соответствующее с определенной степенью точности реальному процессу распространения волн на воде.

Используя специальный подход, можно убедиться, что принцип суперпозиции решений для уравнения Кортевега-де Фриса не выполняется, и поэтому это уравнение является нелинейным и описывает нелинейные волны.

2.1. Солитоны Кортевега - де Фриса

В настоящее время кажется странным, что открытие Рассела и его последующее подтверждение в работе Кортевега и де Фриса не получили заметного резонанса в науке. Эти работы оказались забытыми почти на 70 лет. Один из авторов уравнения, Д.Д. Кортевег, прожил долгую жизнь и был известным ученым. Но когда в 1945 году научная общественность отмечала его 100-летний юбилей, то в списке лучших публикаций работа, выполненная им с де Фрисом, даже не значилась. Составители списка сочли эту работу Кортевега не заслуживающей внимания. Только спустя еще четверть века именно эта работа стала считаться главным научным достижением Кортевега.

Однако если поразмыслить, то такое невнимание к уединенной волне Рассела становится понятным. Дело в том, что в силу своей специфичности это открытие долгое время считалось довольно частным фактом. В самом деле, в то время физический мир казался линейным и принцип суперпозиции считался одним из фундаментальных принципов большинства физических теорий. Поэтому никто из исследователей не придал открытию экзотической волны на воде серьезного значения.

Возвращение к открытию уединенной волны на воде произошло в какой-то степени случайно и вначале, казалось, не имело к нему никакого отношения. Виновником этого события стал величайший физик нашего столетия Энрико Ферми. В 1952 году Ферми попросил двух молодых физиков С. Улама и Д. Паста решить одну из нелинейных задач на ЭВМ. Они должны были рассчитать колебания 64 грузиков, связанных друг с другом пружинками, которые при отклонении от положения равновесия на Dl приобретали возвращающуюся силу, равную kDl+a(Dl)². Здесь kи a - постоянные коэффициенты. При этом нелинейная добавка предполагалась малой по сравнению с основной силой kDl. Создавая начальное колебание, исследователи хотели посмотреть, как эта начальная мода будет распределяться по всем другим модам. После проведения расчетов этой задачи на ЭВМ ожидаемого результата они не получили, но обнаружили, что перекачивание энергии в две или три моды на начальном этапе расчета действительно происходит, но затем наблюдается возврат к начальному состоянию. Об этом парадоксе, связанном с возвратом начального колебания, стало известно нескольким математикам и физикам. В частности, об этой задаче узнали американские физики М. Крускал и Н. Забуски, которые решили продолжить вычислительные эксперименты с моделью, предложенной Ферми.