Уравнения математической физики (стр. 11 из 19)

Докажем, что интеграл конечен :

Где

Теорема полностью доказана.

Обобщённые и классические решения.

(1)

(2)

Функция

- называется классическим решением задачи (1) (2), если она удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2).

Теорема 1.

Если

, то обобщённое решение

обладает следующими свойствами :

Доказательство.

Пусть

, тогда :

Теорема 2.

Пусть

- ограниченная область;

, тогда обобщённое решение

Доказательство.

Теорема 3.

Пусть

- ограниченная область;

, тогда обобщённое решение

и является классическим решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Доказательство.

, следовательно всюду в Q удовлетворяет уравнению (1) и условию (2).

Теорема 4.

Пусть

- обобщенная собственная функция оператора

с однородными условиями Дирихле, тогда:

Доказательство.

Если

По теореме вложения:

Задача Неймана для уравнения Пуассона.

Определение.

Функция называется обобщенным решением задачи (1) (2), если:

Пусть

- ограниченная область.

Теорема 1.

Задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда , когда правая часть уравнения (1) ортогональна константам, т.е:

Лемма.

Существует линейный ограниченный оператор , такой, что:

- компактный, самосопряженный, положительный оператор.

Доказательство - аналогично.

Рассмотрим однородное уравнение:

для однородной задачи (1) (2)

имеет нетривиальное решение.

По определению обобщенного решения :

Теорема доказана.

Рассмотрим уравнение:

Теорема 2.

1. Если задача (3) (4) имеет единственное решение, то задача (1) (2) также имеет единственное решение для

2. Если задача (3) (4) имеет нетривиальное решение, то задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда

, где w - решение однородной сопряженной задачи.

3. Размерности подпространств в решениях задач (3) (4) и (5) (6) совпадают и конечны.

Задача Неймана:

Рассмотрим задачу на собственные значения:

Теорема 3.

1. Собственные значения оператора Лапласа с "-" с условиями Неймана вещественные, конечнократные, неотрицательные и состоят из следующих чисел:

2. Соответствующие собственные функции

составляют ортонормированный базис в

Доказательство.

Первая часть теоремы доказана.

По Гильберту-Шмидту строится

- ортогональный базис в

и пусть

- ортонормированный базис в

Теорема 3 доказана.

Задача Дирихле - однозначная разрешимость.

Теорема 4 о гладкости решения задачи Неймана.

Пусть

- правая часть уравнения. Пусть

- обобщенное решение задачи (1) (2), тогда:

Доказательство - аналогично теореме 3.

Теорема 5.

Пусть граница

; пусть правая часть

- обобщенное решение задачи (1) (2), тогда:

Теорема 6.

Пусть граница

; правая часть -

;

- обобщенное решение задачи (1) (2), тогда:

Доказательство.

Обобщенное решение:

для

Уравнение (1) выполняется почти всюду в Q , и:

Метод Ритца.

Суть: сведение бесконечномерного случая к конечномерному.

Рассмотрим:

, где:

l(u) - линейный, ограниченный функционал в

Найдем минимум квадратичного функционала:

- конечное число.

Найдется

такая, что:

- минимизирующая последовательность.